2013中考全国100份试卷分类汇编：二次函数_2.doc

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1、2013 中考全国 100 份试卷分类汇编二次函数1、（2013 杭州）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A，B（点 A，B 在原点 O两侧），与 y 轴相交于点 C，且点 A，C 在一次函数 y2=x+n 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1随着 x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围考点：二次函数的性质；抛物线与 x 轴的交点专题：分类讨论分析：根据 OC 的长度确定出 n 的值为 8 或8，然后分n=8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求

2、出 x 的取值范围；n=8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出 x的取值范围解答：解：根据 OC 长为 8 可得一次函数中的 n 的值为 8 或8分类讨论：n=8 时，易得 A（6，0）如图 1，抛物线经过点 A、C，且与 x 轴交点 A、B 在原点的两侧，抛物线开口向下，则 a0，AB=16，且 A（6，0），B（10，0），而 A、B 关于对称轴对称，对称轴直线 x=2，要使 y1随着 x 的增大而减小，则 a0，x2；（2）n=8 时，易得 A（6，0），如图 2，抛物线过 A、C 两点，且与 x

3、 轴交点 A，B 在原点两侧，抛物线开口向上，则 a0，AB=16，且 A（6，0），B（10，0），而 A、B 关于对称轴对称，对称轴直线 x=2，要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a0，x2点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论2、(2013 年南京)已知二次函数 y=a(xm)2a(xm)(a、m 为常数，且 a0)。(1)求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；(2)设该函数的图像的顶点为 C，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D。当ABC 的面积等于 1 时，求 a

4、 的值：当ABC 的面积与ABD 的面积相等时，求 m 的值。解析：(1)证明：y=a(xm)2a(xm)=ax2(2ama)xam2am。因为当 a0 时，(2ama)24a(am2am)=a20。所以，方程 ax2(2ama)xam2am=0 有两个不相等的实数根。所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点。(3 分)(2)解：y=a(xm)2a(xm)=(x2m12)2a4，所以，点 C 的坐标为(2m12,a4)。当 y=0 时，a(xm)2a(xm)=0。解得 x1=m，x2=m1。所以 AB=1。当ABC 的面积等于 1 时，121|a4|=1。所以121

5、(a4)=1，或121a4=1。所以 a=8，或 a=8。当 x=0 时，y=am2am，所以点 D 的坐标为(0,am2am)。当ABC 的面积与ABD 的面积相等时，121|a4|=121|am2am|。所以121(a4)=121(am2am)，或121a4=121(am2am)。所以 m=12，或 m=1 22，或 m=1 22。(9 分)3、（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数 y=x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）解：在抛物线 y=x2+2x+3 图象上任取两点 A（0，

6、3）、B（1，4），由题意知：点 A 向左平移 1 个单位得到 A（1，3），再向下平移 2 个单位得到 A（1，1）；点 B 向左平移 1 个单位得到 B（0，4），再向下平移 2 个单位得到 B（0，2）设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+bx+c则点 A（1，1），B（0，2）在抛物线上可得：，解得：所以平移后的抛物线的解析式为：y=x2+2根据以上信息解答下列问题：将直线 y=2x3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的直线的解析式考点：二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换专题：阅读型分析：根据上面例题可在直线 y=2x3 上任取两点 A（0，3），由题

7、意算出 A 向右平移 3个单位，再向上平移 1 个单位得到 A点坐标，再设平移后的解析式为 y=2x+b，再把 A点坐标代入解析式即可解答：解：在直线 y=2x3 上任取两点 A（0，3），由题意知 A 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到 A（3，2），设平移后的解析式为 y=2x+b，则 A（3，2）在 y=2x+b 的解析式上，2=23+b，解得：b=8，所以平移后的直线的解析式为 y=2x8点评：此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握一次函数图象平移后 k 值不变4、（2013资阳）在关于 x，y 的二元一次方程组中（1）若 a=3求方程组的解；（2）若 S=a（

8、3x+y），当 a 为何值时，S 有最值考点：二次函数的最值；解二元一次方程组3718684分析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到 3x+y，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答解答：解：（1）a=3 时，方程组为，2 得，4x2y=2，+得，5x=5，解得 x=1，把 x=1 代入得，1+2y=3，解得 y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，所以，当 a=时，S 有最小值点评：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到

9、 3x+y 的表达式是解题的关键5、（2013温州）如图，抛物线 y=a（x1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDx 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形 COBD 的面积考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与 x 轴的交点专题：计算题分析：（1）将 A 坐标代入抛物线解析式，求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）抛物线解析式令 x=0 求出 y 的值，求出 OC 的长，根据对称轴求出 CD 的长，令 y=0 求出 x 的值，确定出 OB 的长，利用梯形面积公式

10、即可求出梯形 COBD 的面积解答：解：（1）将 A（1，0）代入 y=a（x1）2+4 中，得：0=4a+4，解得：a=1，则抛物线解析式为 y=（x1）2+4；（2）对于抛物线解析式，令 x=0，得到 y=3，即 OC=3，抛物线解析式为 y=（x1）2+4 的对称轴为直线 x=1，CD=1，A（1，0），B（3，0），即 OB=3，则 S梯形OCDA=6点评：此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与 x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键6、(2013 浙江丽水)如图，已知抛物线bxxy221与直线xy2交于点 O（0，0），A（a，12），点 B

11、是抛物线上 O，A 之间的一个动点，过点 B 分别作x轴、y轴的平行线与直线 OA 交于点 C，E。来源:21 世纪教育网（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点 C 为 OA 的中点，求 BC 的长；（3）以 BC，BE 为边构造矩形 BCDE，设点 D 的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式。7、（2013牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点 P 使ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质3718684分析：（1）利用待定系数法把 A（1

12、，0），C（0，3）代入）二次函数 y=x2+bx+c 中，即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x3；（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（m，n），根据ABP 的面积为 10 可以计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出 m 的值即可得到 P 点坐标解答：解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，3），解得，二次函数的解析式为 y=x2+2x3；（2）当 y=0 时，x2+2x3=0，解得：x1=3，x2=1；A（1，0），B（3，0），AB=4，设 P（m，n），ABP 的面积为 10，AB|n|=10，解得

13、：n=5，当 n=5 时，m2+2m3=5，解得：m=4 或 2，P（4，5）（2，5）；当 n=5 时，m2+2m3=5，方程无解，故 P（4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式8、（2013湖州）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）根据抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），再整理即可，（2）

14、根据抛物线的解析式为 y=x2+2x+3=（x1）2+4，即可得出答案解答：解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（1，0）抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），即 y=x2+2x+3，（2）抛物线的解析式为 y=x2+2x+3=（x1）2+4，抛物线的顶点坐标为：（1，4）点评：此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式9、（2013宁夏）如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 x=（1）求抛物线的解析式；

15、（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标考点：二次函数综合题3718684专题：综合题分析：（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；（2）首先求得点 B 的坐标，然后分 CM=BM 时和 BC=BM 时两种情况根据等腰三角形的性质求得点 M 的坐标即可解答：解：（1）设抛物线的解析式把 A（2，0）C（0，3）代入得：解得：即（2）由 y=0 得x1=1，x2=3B（3，0）CM=BM 时BO=CO=3即BOC 是等腰直角三角形当 M 点在原点 O 时，MBC 是等腰三角形M 点坐标（0，0）BC=BM 时在

16、 RtBOC 中，BO=CO=3，由勾股定理得BC=BM=M 点坐标（点评：本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强10、（13 年安徽省 8 分、16）已知二次函数图像的顶点坐标为（1，1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式。11、（2013宁波）已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），且过点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=x 上，并写出平移后抛物线的解析式考点：二次函

17、数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式分析：（1）利用交点式得出 y=a（x1）（x3），进而得出 a 求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为 y=x2，进而得出答案解答：解：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为 y=a（x1）（x3），把 C（0，3）代入得：3a=3，解得：a=1，故抛物线解析式为 y=（x1）（x3），即 y=x2+4x3，y=x2+4x3=（x2）2+1，顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=x2，平移后抛物线的顶点为（0

18、，0）落在直线 y=x 上点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键12、（2013绥化）如图，已知抛物线 y=（x2）（x+a）（a0）与 x 轴交于点 B、C，与 y轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线过点 M（2，2），求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出BCE 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 CH+EH 的值最小，直接写出点 H 的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）将 M 坐标代入抛物线解析式求出 a 的值即可；（2）求出的 a

19、代入确定出抛物线解析式，令 y=0 求出 x 的值，确定出 B 与 C 坐标，令 x=0 求出 y 的值，确定出 E 坐标，进而得出 BC 与 OE 的长，即可求出三角形 BCE的面积；根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线 x=1，根据 C 与 B 关于对称轴对称，连接 BE，与对称轴交于点 H，即为所求，设直线 BE 解析式为 y=kx+b，将B 与 E 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 BE 解析式，将 x=1 代入直线 BE 解析式求出 y 的值，即可确定出 H 的坐标解答：解：（1）将 M（2，2）代入抛物线解析式得：2=（22）（2+a），解得：a=4；（2）由（1）抛物线

20、解析式 y=（x2）（x+4），当 y=0 时，得：0=（x2）（x+4），解得：x1=2，x2=4，点 B 在点 C 的左侧，B（4，0），C（2，0），当 x=0 时，得：y=2，即 E（0，2），SBCE=62=6；由抛物线解析式 y=（x2）（x+4），得对称轴为直线 x=1，根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=1 对称，连接 BE，与对称轴交于点 H，即为所求，设直线 BE 解析式为 y=kx+b，将 B（4，0）与 E（0，2）代入得：，解得：，直线 BE 解析式为 y=x2，将 x=1 代入得：y=2=，则 H（1，）点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法

21、确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键13、（13 年北京 7 分 23）在平面直角坐标系O中，抛物线（）与轴交于点 A，其对称轴与轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。解析：【解析】（1）当0 x 时，2y .(02)A，抛物线对称轴为212mxm(1 0)B，（2）易 得A点 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 为(22)A，则直线l经过A、B.没直线的解析式为yk

22、xb则220kbkb，解得22kb 来源:#zzste*p.%co&m直线的解析式为22yx（3）抛物线对称轴为1x 抛物体在23x这一段与在10 x 这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在21x 这一段位于直线l的上方在10 x 这一段位于直线l的下方；抛物线与直线l的交点横坐标为1；当1x 时，2(1)24yx 则抛物线过点（-1，4）当1x 时，224mm，2m 抛物线解析为2242yxx.【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线AB关于对称轴对称，抛物线在23x这一段位于直线AB的下方，关于对称轴对称后抛物线在10 x 这一段位于直线l

23、的下方；再结合抛物线在21x 这一段位于直线l的上方;从而抛物线必过点4,1.来源:中%#&教网考点：代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）14、（2013郴州）如图，ABC 中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P 为 AC 边上一动点，设PC=x，作 PEAB 交 BC 于 E，PFBC 交 AB 于 F（1）证明：PCE 是等腰三角形；（2）EM、FN、BH 分别是PEC、AFP、ABC 的高，用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN，并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系；（3）当 k=4 时，求四边形 PEBF 的

24、面积 S 与 x 的函数关系式x 为何值时，S 有最大值？并求出 S 的最大值考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形3718684分析：（1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两直线平行，同位角相等求出CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出 CM=CP，然后求出 EM，同理求出 FN、BH 的长，再根据结果整理可得 EM+FN=BH；（3）分别求出 EM、FN、BH，然后根据 SPCE，SAPF，SABC，再根据 S=SABCSPCESAPF，整理即可得到 S 与 x 的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答解答：（1）证明：AB=

25、BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE 是等腰三角形；（2）解：PCE 是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于 BH=AHtanA=8k=4k，而 EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当 k=4 时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=816=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当 x=4 时，S 有最大值

26、32点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点15、(2013 年广东省 9 分、23)已知二次函数.（1）当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如题 23 图,当时,该抛物线与轴交于点 C,顶点为 D,求 C、D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下,轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最短?若 P 点存在,求出 P 点的坐标;若 P 点不存在,请说明理由.解析：(1)m=1,二次函数关系式为；（2）当 m=2 时，D(2,1);当时，C(0,3).(3)存在.连

27、结 C、D 交轴于点 P,则点 P 为所求,由 C(0,3)、D(2,1)求得直线 CD 为当时,P(,0).（10 分）（2013佛山）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）分析：（1）把点 A、B、C 代入抛物线解析式 y=ax2+bx+c 利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移

28、的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为 y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 x=2；（3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），PP=1，阴影部分的面积等于平行四边形 AAPP的面积，平行四边形 AAPP的面积=12=2，阴影部分的面积=2点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是

29、解题的关键16、（2013 福省福州 22 压轴题）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax2+bx（a0）（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a=；当顶点坐标为（m，m），m0 时，a 与 m 之间的关系式是（2）继续探究，如果 b0，且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx（k0）上，请用含 k 的代数式表示 b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点 A1，A2，An在直线 y=x 上，横坐标依次为 1，2，n（为正整数，且 n12），分别过每个顶点作 x 轴的垂线，垂足记为 B1，B2，Bn，以线段 AnBn为边向右作正方形 AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过

30、Dn，求所有满足条件的正方形边长考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点坐标公式（，）填空；（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式 y=a（x+）2，则易求该抛物线的顶点坐标（，）；然后，把该顶点坐标代入直线方程 y=kx（k0），即可求得用含 k 的代数式表示 b；（3）根据题意可设可设 An（n，n），点 Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=x2+2x 所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点 Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得 4n=3t然后由 n、t 的取值范围来求点 An的坐标，即该正方形的边长解答：解：（1）顶点坐

31、标为（1，1），解得，即当顶点坐标为（1，1）时，a=1；当顶点坐标为（m，m），m0 时，解得，则 a 与 m 之间的关系式是：a=或 am+1=0故答案是：1；a=或 am+1=0（2）a0，y=ax2+bx=a（x+）2，顶点坐标是（，）又该顶点在直线 y=kx（k0）上，k（）=b0，b=2k；（3）顶点 A1，A2，An在直线 y=x 上，可设 An（n，n），点 Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）由（1）（2）可得，点 Dn所在的抛物线解析式为 y=x2+2x四边形 AnBnCnDn是正方形，点 Dn的坐标是（2n，n），（2n）2+22n=n，4n=3tt、n 是正整数，且 t

32、12，n12，n=3，6 或 9满足条件的正方形边长是 3，6 或 9点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质解答（3）题时，要注意 n 的取值范围17、（2013 甘肃兰州 12 分、28 压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1与经过点 A、D、B的抛物线的一部分 C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点 C 的坐标为（0，），点 M 是抛物线 C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求 A、B

33、 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM 为直角三角形时，求 m 的值考点：二次函数综合题分析：（1）将 y=mx22mx3m 化为交点式，即可得到 A、B 两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线 C1的解析式，过点 P 作 PQy 轴，交 BC 于 Q，用待定系数法得到直线 BC 的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC 面积的最大值；（3）先表示出 DM2，BD2，MB2，再分两种情况：DM2+BD2=MB2时；DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得 m 的值解答：解

34、：（1）y=mx22mx3m=m（x3）（x+1），m0，当 y=0 时，x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0）；（2）设 C1：y=ax2+bx+c，将 A、B、C 三点的坐标代入得：，解得，故 C1：y=x2x 如图：过点 P 作 PQy 轴，交 BC 于 Q，由 B、C 的坐标可得直线 BC 的解析式为：y=x，设 P（x，x2x），则 Q（x，x），PQ=x（x2x）=x2+x，SPBC=PQOB=（x2+x）3=（x）2+，当 x=时，SPBC有最大值，Smax=，（）2 =，P（，）；（3）y=mx22mx3m=m（x1）24m，顶点 M 坐标（1，4m），当 x=0 时，

35、y=3m，D（0，3m），B（3，0），DM2=（01）2+（3m+4m）2=m2+1，MB2=（31）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（30）2+（0+3m）2=9m2+9，当BDM 为 Rt时有：DM2+BD2=MB2或 DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得 m=1（m0，m=1 舍去）；DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得 m=（m=舍去）综上，m=1 或时，BDM 为直角三角形点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，

36、三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度18、（2013 年广州市压轴题）已知抛物线 y1=过点 A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用 a、c 表示 b;（2）判断点 B 所在象限，并说明理由；（3）若直线 y2=2x+m 经过点 B，且于该抛物线交于另一点 C(),求当 x1 时 y1的取值范围。分析：（1）抛物线经过 A（1，0），把点代入函数即可得到 b=ac；（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a0，只需要知道抛物线与 x 轴有几个交点即可解决，判断与 x 轴有两个交点，

37、一个可以考虑，由就可以判断出与 x 轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点 B 所在象限；（3）当 x1 时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与 x 轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=8，a+c=8，还可以发现 C 在 A 的右侧；可以确定直线经过 B、C两点，看图象可以得到，x1 时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道 b=8，a+c=8，算出 a，c 即可，即是要再找出一个与 a，c 有关的式子，即可解方程组求出 a，c，直线经过 B、C 两点，

38、把 B、C 两点坐标代入直线消去m，整理即可得到 ca=4 联立 a+c=8，解得 c，a，即可得出 y1的取值范围解：（1）抛物线 y1=ax2+bx+c（a0，ac），经过 A（1，0），把点代入函数即可得到：b=ac；（2）B 在第四象限理由如下：抛物线 y1=ax2+bx+c（a0，ac）过点 A（1，0），所以抛物线与 x 轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以 a0，且顶点在第四象限；（3），且在抛物线上，b+8=0，b=8，a+c=b，a+c=8，把 B、C 两点代入直线解析式易得：ca=4，即解得：，如图所示，C 在 A 的右侧，当 x1 时，点评：此题主要考查了二次函

39、数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键19、(2013 年广东湛江压轴题)如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴与点，交轴与两点（点在点的左侧），已知点坐标为（）求此抛物线的解析式；（）过点作线段的垂线交抛物线与点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与的位置关系，并给出证明（）在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由解：（）由题意可设此抛物线的解析式为：此抛物线过点，此抛物线的解析式为：，即（）此时抛物线的对称轴与相离。证明：令，即，得或，设直线的解析式为：，则，直线与

40、直线垂直，直线可表示为：，直线为：点到直线的距离为：点为圆心的圆与直线相切，的半径为：又点到抛物线对称轴的距离为：而，。所以此时抛物线的对称轴与相离。（）假设存在满足条件的点，1当时，在中，由勾股定理，得，整理，得点在抛物线上，解得或，或点为或（舍去）2当时，在中，由勾股定理，得，整理，得点在抛物线上，解得或，或点为或（舍去）综上，满足条件的点的坐标为或20、（2013南宁压轴题）如图，抛物线 y=ax2+c（a0）经过 C（2，0），D（0，1）两点，并与直线 y=kx 交于 A、B 两点，直线 l 过点 E（0，2）且平行于 x 轴，过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M

41、、N（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时的值；试说明无论 k 取何值，的值都等于同一个常数考点：二次函数综合题3718684专题：代数几何综合题分析：（1）把点 C、D 的坐标代入抛物线解析式求出 a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点 A 的坐标，然后求出 AO、AM 的长，即可得证；（3）k=0 时，求出 AM、BN 的长，然后代入+计算即可得解；设点 A（x1，x121），B（x2，x221），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表

42、示出x1+x2，x12，并求出 x12+x22，x12x22，然后代入进行计算即可得解解答：（1）解：抛物线 y=ax2+c（a0）经过 C（2，0），D（0，1），解得，所以，抛物线的解析式为 y=x21；（2）证明：设点 A 的坐标为（m，m21），则 AO=m2+1，直线 l 过点 E（0，2）且平行于 x 轴，点 M 的纵坐标为2，AM=m21（2）=m2+1，AO=AM；（3）解：k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、B 在 x 轴上，AM=BN=0（2）=2，+=+=1；k 取任何值时，设点 A（x1，x121），B（x2，x221），则+=+=，联立，消掉 y 得，

43、x24kx4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=4，所以，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16k2+8，x12x22=16，+=1，无论 k 取何值，+的值都等于同一个常数 1点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点 A、B 的坐标，然后用含有 k 的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细21、（2013钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=x2+2x 与x 轴相交于 O、B，顶点为 A，连接 OA（1）求点

44、A 的坐标和AOB 的度数；（2）若将抛物线 y=x2+2x 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 m，其顶点为点 C连接 OC 和 AC，把AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点 C是否在抛物线 y=x2+2x 上，请说明理由；（4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q，使以点 O、P、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题3718684专题：探究型分析：（1）由 y=x2+2x

45、得，y=（x2）22，故可得出抛物线的顶点 A 的坐标，令 x2+2x=0得出点 B 的坐标过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，由ADO=90可知点 D 的坐标，故可得出 OD=AD，由此即可得出结论；（2）由题意可知抛物线 m 的二次项系数为，由此可得抛物线 m 的解析式过点 C 作CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，根据勾股定理可求出 OC 的长，同理可得 AC 的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，由此即可得出结论；（3）过点 C作 CGx 轴，垂足为 G，由于 OC 和 OC关于 OA 对称，AOB=AOH=4

46、5，故可得出COH=COG，再根据 CEOH 可知OCE=COG，根据全等三角形的判定定理可知CEOCGO，故可得出点 C的坐标把 x=4 代入抛物线 y=x2+2x 进行检验即可得出结论；（4）由于点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，故设 Q（a，（a2）24），由于 OC 为该四边形的一条边，故 OP 为对角线，由于点 P 在 x 轴上，根据中点坐标的定义即可得出 a 的值，故可得出结论解答：解：（1）由 y=x2+2x 得，y=（x2）22，抛物线的顶点 A 的坐标为（2，2），令 x2+2x=0，解得 x1=0，x2=4，点 B 的坐标为（4，0），过点 A 作

47、ADx 轴，垂足为 D，ADO=90，点 A 的坐标为（2，2），点 D 的坐标为（2，0），OD=AD=2，AOB=45；（2）四边形 ACOC为菱形由题意可知抛物线 m 的二次项系数为，且过顶点 C 的坐标是（2，4），抛物线的解析式为：y=（x2）24，即 y=x22x2，过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CEEF=2，OC=2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形 ACOC为菱形（3）如图 1，点 C不在抛物线 y=x2+2x 上理由如下：过

48、点 C作 CGx 轴，垂足为 G，OC 和 OC关于 OA 对称，AOB=AOH=45，COH=COG，CEOH，OCE=COG，又CEO=CGO=90，OC=OC，CEOCGO，OG=4，CG=2，点 C的坐标为（4，2），把 x=4 代入抛物线 y=x2+2x 得 y=0，点 C不在抛物线 y=x2+2x 上；（4）存在符合条件的点 Q点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，设 Q（a，（a2）24），OC 为该四边形的一条边，OP 为对角线，=0，解得 x1=6，x2=4，P（6，4）或（2，4）（舍去），点 Q 的坐标为（6，4）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及

49、到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中22、（2013玉林压轴题）如图，抛物线 y=（x1）2+c 与 x 轴交于 A，B（A，B 分别在 y轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A（1，0）（1）求点 B，C 的坐标；（2）判断CDB 的形状并说明理由；（3）将COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t3）得到QPEQPE 与CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围考点：二次函数综合题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点 B，C 的坐标；

50、（2）分别求出CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定CDB 为直角三角形；（3）COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段：（I）当 0t 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形；（II）当 t3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形解答：解：（1）点 A（1，0）在抛物线 y=（x1）2+c 上，0=（11）2+c，得 c=4，抛物线解析式为：y=（x1）2+4，令 x=0，得 y=3，C（0，3）；令 y=0，得 x=1 或 x=3，B（3，0）（2）CDB 为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为（1，4）如答图 1 所示，过点 D 作 DMx