【高考数学精品】比较大小的方法总结.docx

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1、比较大小的方法总结高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.（一）常用技巧和方法【方法归纳】1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为(0,1) 和(1, +)（1） 如果底数和真数均在(0,1) 中，或者均在(1, +) 中，那么对数的值为正数（2） 如果底数和真数一个在(0,1) 中，一个在(1, +) 中，那么

2、对数的值为负数例如： log3 0.5 0, log2 3 0 等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1） 求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况111例如： 33 , 44 ,52 ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同11111133 = (34 )12 , 44 = (43 )12 ,52 = (56 )12 ，从而只需比较底数的大小即可（2） 利用特殊值作“

3、中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log2 3 ，可知1 = log2 2 log2 3 0, a 1, N 0 )（4） 换底公式： logb = logc bcalog a进而有两个推论： loga b =1logb a（令c = b ） log mN n =n log N maa（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用： f ( x ) 在a, b 单调递增，则x1, x2 a, b, x1 x2 f (x

4、1 ) 0 f (x ) 单调递增； f ( x ) 0 或( x- x ) f (x ) - f (x) 0 ：x - x12 12 12表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1） 此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2） 在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3） 在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量

5、放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1） 若 f ( x ) 关于 x = a 轴对称，且(a, +) 单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2） 若 f ( x ) 关于 x = a 轴对称，且(a, +) 单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同

6、的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】2例 1.【2019 全国卷理数】已知 a = log 0.2，b = 20.2，c = 0.20.3 ，则（）A a b cC c a bB a c bD b c a【答案】B【解析】a = log2 0.2 20 = 1, 0 c = 0.20.3 0.20 = 1, 即0 c 1,则a c b，则（）Aln(ab)0B3a0Dab【答案】C【解析】取a = 2, b = 1，满足a b ，但ln(a - b) = 0 ，则 A 错排除 A； 由9 = 32 31 = 3 ，知 B 错，排

7、除 B；取a = 1,b = -2 ，满足a b ，但|1| b ，所以a3 b3 ，即 a3b30，C 正确. 故选 C例 3.【2019 全国卷理数】设 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，且在(0, +) 单调递减，则1- 3- 2A f （log3 4 ） f （ 2 2 ） f （ 2 3 ）1- 2- 3B f （log3 4 ） f （ 2 3 ） f （ 2 2 ）- 3- 21C f （ 2 2 ） f （ 2 3 ） f （log3 4 ）- 2- 31D f （ 2 3 ） f （ 2 2 ） f （log3 4 ）【答案】C【解析】Q f ( x) 是定义域为R 的

8、偶函数， f (log1 ) =3 4f (log3 4) Qlog 4 log 3 = 1,1 = 20 2- 23 2- 32,log 4 223-3 2 2 ，333又 f ( x) 在(0，+)上单调递减， - 2 - 3 f (log3 4) f 2 3 f 2 3 f log 3 .4 故选 C例 4.【2017 天津】已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， g(x) = xf (x) .若a = g(-log2 5.1) ，b = g(20.8 ) ， c = g (3) ，则 a，b，c 的大小关系为（）（A） a b c（B） c b a（C） b a c（D） b c

9、 0 时， f (x) 0 ， 从而 g(x) = xf (x) 是 R 上的偶函数，且在0, +) 上是增函数，a = g (- log2 5.1) = g (log2 5.1) ，2220.8 2 ，又4 5.1 8 ，则2 log 5.1 3 ，所以即0 20.8 log 5.1 3 ，2g(20.8 ) g(log 5.1) g(3) ， 所以b a b0，且 ab=1，则下列不等式成立的是A. a + 1 bb2a log2(a + b)bB. 2a log2(a + b) a + 1bC. a + 1 logb2(a + b) b2aD. log2(a + b) a + 1 b 0

10、 ，且ab = 1 ，所以a 1, 0 b 1, b2a log2 2ab = 1,a+ 1112 b a + a + b a + log 2 (a + b )bb，所以选 B.50.5例 6.【2019 天津理数】已知a = log 2 ，b = log0.2 ， c = 0.50.2 ，则a, b, c 的大小关系为（）A a c bB a b cC b c aD c a b【答案】A【解析】因为a = log2 log0.5 0.25 = 2 ，0.51 c = 0.50.2 0.50 ，即 1 c 1 ，2所以a c b d aC c b a da = e- 1 ， b = 4e-2

11、， c = 2e-1 ，2B. c d a bD c d b a .d = 3e- 3 ，则a,b,c,d 的大【答案】B【解析】21e3b2 = 16244e2d 2 = 9e23a = e = e4 ，e4 ， c=，e2e4e4 ，由于e 2.7 ， e 7.39 ， e 20.09 ，所以c d a b ，故选：B2（2020湖南高三学业考试）10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有（）.A a b cC c a bB c b aD b c a【答案】B【解析】a =1 (1

12、5 +17 +14 +10 +15 +17 +17 +16 +14 +12) = 14.7 ，10中位数为b = 1 (15 +15) = 15 ，众数为c=17 .故选：B.23.（2020四川省泸县第二中学高三月考（文）已知 p = log3 6 ，q = log5 10 ，r = log7 14 ， 则 p ， q， r 的大小关系为（）A. q p rB. p r qC. p q rD. r q p【答案】C【解析】依题意得 p =1+log3 2 ， q =1+ log5 2 ， r =1+ log7 2 ，而log3 2 log5 2 log7 2 ， 所以 p q r .4. （

13、2020四川省泸县第四中学高三月考（理）设an是等比数列，则“a1a2a3” 是数列an是递增数列的A充分而不必要条件B必要而不充分条件、C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】a a a a a q 0 或a1 10 q b cC c a bB a c bD c b a【答案】C【解析】因为1 = log2018 a = log log= 1 ,201820182018211b = log20192018 20180 = 1，故本题选 C.36（2020北京八十中高三开学考试）设a = 40.1 , b = log 0.1, c = 0.50.1 ，则 （ ）A a b cC

14、a c bB b a cD b c a【答案】C3【解析】a = 40.1 1, b = log 0.1 0, 0 c = 0.50.1 c b ，故选C .4 1 2.97（2020河南高三月考（文）己知a = 4 6 ， b = log5 21 ， c = ，则（）A. a b cC b c a4B. a c bD c a b 3 【答案】B【解析】因为1， b = log54 1 2.9 log5 1 = 0, 0 c = 1 0 60 = 1所以a c b ，故选：B.4 214 3 3 8. （2020广东高三月考（文）已知a = log3 8 ， b = 0.25-0.8 ， c

15、=8 ，则（）A a b cC. b c aB b a cD. a c b【答案】D【解析】log3 8 21.5 = 2 2 2 ， a c b 故选：D.9. （2020新兴县第一中学高三期末（理）函数 f ( x) =-x + b( x + c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A b 0C b 0, c 0,c 0D b 0, c 0 ， -x +bf (x) =(x +c)2 的图象与y 轴交于 M ,且点 M 的纵坐标为正， y = bc2 0 ，故Q f ( x) = -x + b( x + c)2定义域为x | x -c 其函数图象间断的横坐标为正， -c 0 ，故c 1

16、， x= log2 t, y = log3 t, z= log5 t ，则A 2x 3y 5zC 3y 5z 2xB 5z 2x 3yD 3y 2x 5z【答案】D【解析】由题意2x = 2 log2 t = log 5z = 5 log5 t = log 5 5 t ，2 t ， 3y = 3log3 t = log3 3 t ，1111又 2 = 22 = 86 ， 3 3 = 33 = 96 ，11111111易知22 33 ， 55 = 2510 ， 22 = 3210 ，即55 1， 3y 2x 5z ，故选 D1 55 22 0 时， f ( x ) f (x ) 恒成立，则下列判

17、断一定正确的是（）A e5 f (2) f (3)B f (2) e5 f (-3)D f (-2) 0 时， g(x ) =f ( x ) - f (x ) 0 ，ex所以 g ( x) 在(0, +) 上单调递增，所以有 g (3) g (2) ，则 g (-3) g (2) ，即 f (-3) e-3f (2) ，e2即 e5 f (-3) f (2).12. （2020海南中学高三月考）已知函数 f ( x) = ln (x2 +1 - x) ，设a = f (log 0.2) ，3b = f (3-0.2 ) ， c = f (-31.1 )，则（）A a b cC. c b aB

18、b a cD. c a b【答案】D【解析】 f ( x) = ln (x2 +1 - x) f (x) = ln(x2 +1- x) = ln1，x2 +1+ x f (-x) = ln( x2 +1 + x)当 x 0 时，x2 +1 + x 1 ；当 x 0 时， 0 x2 +1 + x 0 时， f (x) = ln(- x) = - ln(- x) = ln(+ x) ，f (-x) = ln(+ x) ；当 x 0 时，易得 f (x) = ln( x2 +1 + x) 为增函数 a = f (log3 0.2) = f (log3 5) ， c = f (-31.1 ) = f

19、(31.1 )，1 log3 5 2 ， 0 3-0.2 3 f (31.1 ) f (log3 5) f (3-0.2 ) ， c a b ，故选 D.13. （2020黑龙江实验中学高三开学考试（文）若a = log2 3 ， b = log4 8 ， c = log5 8 ， 则a, b, c 的从大到小顺序为.【答案】a b c【解析】由于b = log 8 = 1 log 8 = log8 b .4由于b = log 8 =4211222= c ，即b c .所以a b c .log8 4log8 814、（2020山东高三月考）已设a, b 都是正数，则“ loga 3logb 3

20、 ”是“ 3a3b3 ”的 条 件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】由loga 3logb 3 ，得0ba1或0a1b 或ab1，由3a3b3 ，得ab1， “ loga 3logb 3 ”是“ 3a3b3 ”的必要不充分条件15. （2020四川省泸县第四中学高三月考（理）已知 f (x) = xg2|x| ， a =f (log35) ，3 2b = f (log1 ) ， c = f (ln3) ，则a, b, c 的从大到小顺序为.【答案】c a b【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当 x 0 时， f ( x )

21、 = x 2x ，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数 f (x ) 是定义在 R 上的单调递增函数，由于1ln 3 1 log35 0 log3 2 ,故 f (ln3) f (log35 ) f log1 .即c a b .3216. （2020河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数 f (x) = 3x + 2 cos x ,若a = f (3 2 ), b =f (2), c = f (log2 7), 则a, b, c 的从小到大顺序为.【答案】b c 0 在R 上恒成立，所以 f (x ) 在 R 上为增函数，又因为2 = log2 4 log2 7 3 3 2 ，所以b c a ，故选 D.