高中数学必考点1：《函数与导数》（中档提高）.docx

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1、高中数学必考点1：函数与导数（中档提高）一、单选题1若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）ABCD2若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）ABCD3已知为上的奇函数，为偶函数，若当，则（ ）ABC1D24设函数，若，则下列不等式正确的是（ ）（参考数据：）ABCD5函数的零点的个数为（ ）A3B4C5D66设函数满足，且对，都有令集合，则集合中的元素个数为（ ）A2020B2021C4040D40427已知、为函数的两个零点，若存在唯一的整数则实数的取值范围是（ ）ABCD8函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD9已知函数满足，且时，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）A

2、BCD10已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD二、多选题11函数在区间上的值域为，则的值可能是（ ）ABCD12已知，函数满足：存在，对任意的，恒有，则可以是（ ）ABCD13已知是定义在上的偶函数，且当时，则下列说法正确的是（ ）A是以为周期的周期函数BC函数的图象与函数的图象有且仅有个交点D当时，14已知函数是上的奇函数，且满足，当时，则下列四个命题中正确的是（ ）A函数为奇函数B函数为偶函数C函数的周期为8D函数在区间上有4个零点15已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）ABCD16已知，是自然对数的底数，则下列结论中正确的

3、是（ ）ABCD17已知函数，若函数在上不存在零点，则的取值范围可以是（ ）ABCD18已知函数，若方程有三个不同的实数根、，且，则（ ）ABCD的取值范围是19已知函数，则下列说法正确的是（ ）A在上单调递减B有两个零点C若恒成立，则实数D是奇函数20定义：若对于上的连续函数，存在常数，使得对任意的实数成立，则称是上的类函数.下列命题中正确的是（ ）A函数是上的类函数B若函数是上的类函数则C若函数是上不恒为零的类函数，则是周期为的函数的充要条件是D若是上的类函数，且，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题21已知四面体，点为其内部一点，满足，当四面体体积最大时，四面体外

4、接球的表面积为_22已知函数若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是_.23已知函数是奇函数，当时，.若不等式（ 且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是_.24如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”设，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为_25设函数，若存在、使得成立，则的最小值为时，实数_26已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_.27已知函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，若，则的所有取值构成的集合为_.28已知函数有个不同的零点，且对任意实数，均有，则函数的最大值为_.29已知是函数的导函数，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为_30已

5、知函数，其中，为的导函数若存在使得成立，则的最大值为_参考答案1B【分析】令，将问题转化为使，结合函数图象，即可确定的取值范围.【解析】由题设，知：使成立，令，时有，而，仅需时，在，使得成立.故选：B.【小结】令，将问题转化为两个函数在第一象限内存在，应用数形结合的思想求参数范围.2B【分析】设，由导数求函数的极值，即可得当时，有三个不同的实数根，从而可选出正确答案.【解析】解：设，令，解得或，则随的变化如下表 0 2 +0-0+ 则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，又当时，当时，所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选:B.【小结】关键点睛:本题的关键是由方程的根和函数零点的关系，将已

6、知条件转化为与图象有三个交点，结合导数确定的图象趋势，从而可得.3C【分析】根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.【解析】解：为上的奇函数，且当时，即，当时，为偶函数，又为上的奇函数，是周期为4的周期函数，故选：C.【小结】本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解.4D【分析】先求出的解析式，利用导数讨论单调性，再对四个选项一一验证：对于A：由，再利用单调性得出，即可判断；对于B：由再利用单调性得出，即可判断；对于C：先计算和，利用单调性比较.即可判断；对于D：先计算和，利用单调性比较.即可判断.【解析】因为函数，且，所以

7、整理得：，即，解得：，所以.所以所以在上单增，在上单减，在上单增.因为，所以.对于A：由得：.因为，所以，所以.故A错误；对于B：由得：.因为，所以，所以.故B错误；对于C：.因为，所以，而，所以，所以，故C错误；对于D：，而，所以，所以，故D正确.故选：D【小结】利用单调性比较大小：（1）指、对数构造函数比较大小；（2）抽象（复合）函数利用单调性比较大小；（3）利用同构结构，构造新函数比较大小.5C【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像可得它们交点的个数，此数即为函数零点的个数.【解析】函数零点的个数就是与的图像交点的个数，在同一直角坐标系中作图，如下，它们共有5个不同的交点，故零点的个数

8、为5，故选：C.【小结】方法点睛：函数零点的个数判断，可以依据函数的单调性和零点存在定理，如果函数 比较复杂，则可以把的零点问题转化为的方程的解问题，其中，而后者又可以看成两个函数图像的交点问题，注意都是常见函数.6D【分析】令，可求得，集合满足，可得，必定为一奇一偶，即可得出结果.【解析】令，则有，又，从而集合中，可化为即，必定为一奇一偶若为偶数时，的取值可以为，共有2021个若为偶数时，同理也有2021个集合中的元素个数共有（个）【小结】关键点睛：解决本题的关键是求出，得出，判断出，必定为一奇一偶7D【分析】可得，作出函数的图象，可知满足不等式的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数的不等

9、式，由此可解得实数的取值范围.【解析】由可得，令，其中，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.且当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，满足不等式的整数解有且只有一个，所以，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：D.【小结】本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.8D【分析】由函数定义域的求解方法可求得定义域，由奇偶性定义可知为偶函数，由单调性性质和复合函数单调性的判断方法可确定当时，单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.【解析

10、】由得：或，定义域为；，为偶函数；当时，又在上单调递增，在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减；由得：，解得：；又，或，即使得成立的的取值范围为.故选：D.【小结】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范围求解错误.9C【分析】由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【解析】因为，所以函数的图像

11、关于直线对称.当时，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.当时，函数，设切点为，切线的斜率，则切线方程为，把点代入得，所以；当直线过点时，所以的取值范围为，故选：C.【小结】此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意画出函数的图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题10D【分析】由偶函数得函数在上递增，比较自变量的大小后可得函数值大小【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在上递增，且，所以故选：D【小结】方法点睛：本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查对数函数的性质，幂的运算法则

12、这类问题常常由奇偶性得出函数的单调性，同时由奇偶性化函数值中自变量的值到同一单调区间上，然后根据指数函数、对数函数、三角函数等的性质比较自变量的大小，然后由单调性得出结论11BCD【分析】解方程、，分析二次函数的单调性，求出的取值范围，即可得出合适的选项.【解析】解方程，解得或，解方程，解得，由于函数区间上的值域为.若函数在区间上单调，则或，此时取得最小值；若函数在区间上不单调时，且当取最大值时，所以，的最大值为.所以，的取值范围是.故选：BCD.【小结】本题考查利用二次函数在区间上的值域参数，解题的关键在于充分分析二次函数的单调性，结合二次函数的基本性质求解.12AB【分析】设，则由题可判断

13、在有最大值，故只需依次判断每个选项是否满足此条件即可.【解析】设，若存在，对任意的，恒有，则在有最大值，对A，在有最大值，故A正确；对B，在有最大值，故B正确；对C，在无最大值，故C错误；对D，在无最大值，故D错误.故选：AB.【小结】本题考查对函数最值的理解，解题的关键是判断出在有最大值.13ACD【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，由已知条件可得，所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；对于B选项，则，B选项错误；对于C选项，作出函数与函数的图象如下图

14、所示：当时，结合图象可知，.当时，即函数与函数在上的图象无交点，由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；对于D选项，当时，则，所以，D选项正确.故选：ACD.【小结】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.14BC【分析】先利用条件中的等式得到，再利用函数的奇偶性得到，然后结合条件中的等式逐个对选项进行分析判断即可【解析】令，得，故，又是上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为8，选项C正

15、确因为，所以，又是上的奇函数，所以，即，故，所以函数的图象关于直线对称，所以为偶函数，选项B正确是上的奇函数，则，又，且当时，所以当时，只有2个根又函数的图象关于直线对称，所以当时，只有，故当时，只有2个根，由对称性知，当时，只有2个根，所以函数在区间上有5个零点，故选项D错误若函数为奇函数，则，令，则，又，所以又函数的图象关于直线对称，所以，故，与当时，矛盾，故选项A错误故选：BC【小结】本题的关键是利用已知关系式及奇偶性得出函数的周期为8，且函数的图象关于直线对称15AC【分析】根据题设条件，借助函数的最值求出原命题为真命题的充要条件，在选项中找出这个充要条件所对集合的所有真子集即可得解.

16、【解析】，令，则，则函数在上单调递增，所以原命题为真命题的充要条件为，而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.故选：AC【小结】记，对应的集合分别为A，是的充分条件是的必要条件是的充要条件且是的充分不必要条件且AB是的充必要不充分条件且AB是的既不充分又不必要条件且且16BC【分析】先将已知不等式变形为，然后构造函数，利用导数研究的单调性，从而得出，的大小关系以及取值范围，最后利用不等式的性质及函数的单调性对各选项作出判断【解析】由得，令，则，易知在单调递增，因为，所以可得，故A选项错误；由A得，故B选项正确；因为，所以，即，故C选项正确；

17、令，则，当时，所以在上单调递减，于是有，即，故D选项错误故选：BC【小结】解决本题的关键是由得，进而利用导数工具得到，的大小关系以及取值范围17AC【分析】先将已知函数解析式变换为，然后根据函数在上不存在零点得到，从而求出在上存在零点时的取值范围，最后取其补集即可得解【解析】，函数的最小正周期，由函数在上不存在零点，可得，则函数的零点为，即，若，则，即，因为，所以或当时，得；当时，得因为函数在上不存在零点，所以的取值范围为故选：AC【小结】本题考查三角函数的周期性，理解掌握余弦函数在上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等）是解题关键解题方法是利用三角函数恒等变换化函数为形式，然后

18、结合余弦函数性质求解18ABD【分析】作出函数的图象，数形结合可判断AB选项的正误，利用对数的运算性质可判断C选项的正误，利用利用导数法可判断D选项的正误.【解析】作出函数与函数的图象如下图所示：对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；对于B选项，由图可知，解得，此时，B正确；对于C选项，当时，；当时，.由图可知，由可得，即，所以，C错误；对于D选项，因为，所以，且，记，则，令，得（舍去），所以当时，当时，所以的极小值也是最小值，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD.【小结】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根

19、，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19AC【分析】求出导函数，为了确定的正负，还需对求导，由导数确定单调性得导数值的正负，然后由的正负确定单调性，极值，结合零点存在定理确定零点个数，由单调性得函数值范围得参数范围，根据奇偶性定义判断奇偶性然后判断各选项【解析】由题可得，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又，当时，所以当时，即，所以在上单调递减，所以A正确；当时，即，在上单调递增，故，所以B不正确；恒成立，则

20、，所以C正确；所以D不正确故选：AC【小结】本题考查导数的应用，解题方法是求出导函数，由导函数的正负确定函数的单调性，函数极值，然后由零点存在定理确定零点个数，利用不等式恒成立确定参数范围，根据奇偶性定义确定奇偶性要求掌握的知识点较多，难度中等20ACD【分析】利用类函数的定义逐个分析判断即可【解析】对于A，当时，满足新定义，故A正确；对于B，若函数是上的，令，则，令，得，则当时，单调递减，当时，单调递增，故，故无解，故B不正确；对于C，由函数是上不恒为零的类函数，是周期为的函数，故C正确；对于D，因为是上的类函数，所以，则，则，即，又，则，故D正确.故选:ACD.【小结】此题考查函数中的新定

21、义，解题关键是对新定义的正确理解， “新定义”主要是指即是定义新概念、新公式、新法则、新运算四种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，透过现象看本质，考查的还是教材知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好“三基”，以不变应万变才是制胜法宝.21【分析】由已知得点位于过的外心且垂直于面的直线上，若要四面体的体积最大，则在平面的同侧，且点满足平面，设外接球的半径，可得利用导数可得答案.【解析】由得，点位于过的外心且垂直于面的直线上，若要四面体的体积最大，则在平面的同侧，且点满足平面，如图所示，设外接球的球心，在平面上的射影为，外接球的半径，设，因为为圆上的三点，所

22、以，所以，设，则，易得在处取得最大值，所以，又，所以，解得，所以球的表面积.故答案为：.【小结】本题考查了球的内接三棱锥的问题，解题的关键点是求得，考查了学生的空间想象能力和计算能力.22【分析】首先根据分段函数的性质，先判断，再根据函数的性质可知，可知，再构造函数，利用导数求函数的最值的取值范围.【解析】当时，当时.当时，方程只有一个实数根.当或时，方程有两个实数根.当时，方程有三个不同的实数根，分别为，又，可知，且，且.记，则.当时，当，当时，的极小值也是最小值，又当时，的取值范围是.故答案为：【小结】本题考查函数与方程，根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是根据函数的图象和

23、绝对值的性质，判断.23【分析】先求出时的解析式，再利用对数的运算性质参变分离后结合导数可求参数的取值范围.【解析】设，则，故，故不等式（ 且）对任意的恒成立即为：对任意的恒成立即对任意的恒成立.设，则，因为，故，故在为减函数，故，故，整理得到，故.故答案为：.【小结】与对数有关的不等式的恒成立问题，我们可以利用对数的函数的图象，也可以利用对数的性质把底数分离出来，再结合导数求新函数的最值，从而求出参数的取值范围.24【分析】求导，易知函数在上单调递增，在上单调递增，不妨设，将转化为令，转化为在上有解，即在上有解求解.【解析】由题可知，在上，因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，不妨设，因为

24、，所以，即令，则，则函数在上存在增区间，则在上有解，即在上有解，所以令，则，令，则，又，所以单调递增，所以，所以所以实数的取值范围为故答案为：【小结】一是理解新定义并结合题中函数的性质去绝对值符号；二是对问题进行合理转化，并构造函数，最终将问题转化为存在性问题，进行分析求解25【分析】分析可知函数在区间上的最小值为，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.【解析】设，由可得，的最小值为，即求函数在区间上的最小值为，且，当时，则，所以，函数在区间上为增函数，所以，解得.故答案为：.【小结】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小

25、值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.26【分析】求得，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【解析】，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.因为函数在上有两个极值点，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【小结】本题考查利用函数在区间上的极值点个数求参数，解题的关键在于将问题转化为导函数的零点个数，并利用导数分析导函数的单调性，通过列不

26、等式组来求解.27【分析】首先得出函数是周期函数，周期是2，然后由偶函数性质得出在上的表达式，求得的解，再由周期性得出结论【解析】由知，是周期为2的周期函数，且函数的图象关于直线对称，所以易知当时，因此图象的对称轴为直线.当时，令，得，由函数的周期性知，所以的所有取值构成的集合为.故答案为：.【小结】本题考查函数的奇偶性与周期性，解题关键是确定函数的周期是2，然后只要由偶函数性质得出在一个周期内解，就可由周期性可得出所有解的形式28【分析】由已知可得的图象关于直线对称，由建立方程组解出、的值，再由函数有个不同的零点确定、的值，然后利用二次函数的基本性质可求得的最大值.【解析】因为对任意实数，均

27、有，所以函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，联立解得或.若，则，易得函数只有个零点，不符合题意；若，则，此时函数只有个零点.则，令，令，当且仅当时，等号成立.综上所述，函数的最大值为.故答案为：.【小结】求解本题时很多考生易因对函数的性质掌握不到位而找不到解题的突破口，不能顺利求解出，；在求出，后，考生容易因忘记检验两组，的值是否都符合题意，从而造成增解.29【分析】构造函数，根据已知判断其导数正负，利用单调性求解.【解析】设，在R上单调递增，由，即，故答案为：【小结】构造恰当的函数，利用其单调性解不等式，是解题的关键，属于中档题.30【分析】令，可将化为，由此确定的范围；根据能成立的方程可构造不等式组，解不等式组可求得，从而利用三角函数值域的求解方法可求得所求最大值.【解析】，可设，存在使得，当时，取得最大值.故答案为：.【小结】本题考查导数与三角函数的综合应用问题，解题关键是能够根据能成立的方程构造出符合题意的不等式组求得的值，从而将所求式子化为关于的三角函数的值域求解问题.