南京农业大学考研真题—高等代数2004.docx

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1、注意：答题一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一律无效一（20分）设f(x), g(x)为数域P上的多项式，求证：(f(x), g(x)=1的充要条件是(f(x)g(x), f(x)+g(x)=1. 二（20分）当xai (i=1, 2, , n)时，计算下列行列式Dn=三（20分）证明：A是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是，存在实矩阵S使A=STS。其中ST表示S的转置矩阵。四（20分）设A，B都是正交矩阵，若A+B=0，证明以下结论：(1) A+B=A(AT + BT)B；(2) A+B是降秩矩阵。五（20分）设f与g是n维向量空间V中的两个线性变换，而且f是幂等的（即f2 =f）。求证

2、：(1) ker f=x-f(x) xV；(2) V=ker f Im f ；(3) 如果ker f与 Im f都是g的不变子空间, 则fg=gf。六（20分）设向量组a1，a2，as线性无关, a1，a2，as，b, g 线性相关, 而且b与g都不能由向量组a1，a2，as线性表示。证明：a1，a2，as，b与a1，a2，as ，g等价。七（20分）设A为n阶实矩阵，Rn为实数域R上n维列向量空间, W=Y Rn XTAY=0, 对一切X Rn均成立, W1=Y Rn AY=0 , 则下列结论成立。(1) W= W1, 且W为Rn的子空间；(2) dim W + R(A)=n。其中dim W表示子空间W的维数。八（10分）求复数域上矩阵A=的若当标准形。 九（10分）当a0时，讨论b取何值时, 方程组有唯一解, 无解, 有无穷多解时, 并说明解集合的几何意义。