圆锥曲线中最值问题条件转化的策略.doc

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1、 圆锥曲线中最值问题条件转化的策略一、焦点间的相互转化（核心用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）1.设椭圆（ab0），F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P（x0,y0）为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点.若定点P（x0,y0）在椭圆内部，则2a-+2a+若定点P（x0,y0）在椭圆外部，则+2a+2.设双曲线（a0,b0），F1,F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0,y0）为平面内的一个定点，M为双曲线上的任意一点.若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则-2a +，最大值不存在若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则 +，最大值不

2、存在.1、椭圆【例1】P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值.【答案】12,8.【分析】欲求MP+MF2的最大值和最小值可转化为距离差再求.由此想到椭圆第一定义MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点.oF2F1M1M2【解析】MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知PF1MP-MF1PF1当且仅当M与M1重合时取右等号，M与M2重合时取左等号.因为2a=10, PF1=2所以（MP+MF2）max=12, （MP+MF2）min=8【例2】P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点

3、M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值. 【答案】最大值是10+，最小值是【分析】点P在椭圆外PF2交椭圆于M，此点使MP+MF2值最小，求最大值方法同例1.【解析】MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时MP-MF1取最大值PF1.MP+MF2最大值是10+，最小值是.OPAF2F1yxP/【例3】已知是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B【解析】连接并延长交椭圆是椭圆上一动点，连接 ，而，（当与重合时取“=”号） 【例4】已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，求的最大值与最小值.【解析】由题意

4、，点即椭圆右焦点（如图三），设椭圆左焦点，则，由椭圆定义可知，则，显然，当、三点共线时，所以，.2、双曲线【例5】已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 AP/PYFF/O【答案】9【解析】A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F（4，0），由双曲线性质|PF|PF|=2a=4而|PA|+|PF|AF|=5两式相加得|PF|+|PA|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立 【例6】P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解

5、析】如图，两定圆的圆心、即双曲线的左右焦点，由双曲线定义可知.又，所以.MPNF1F2xy 已知以原点为中心的双曲线如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 【解析】设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为； 3、抛物线【例7】已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 .【解析】由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+

6、|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值.OF(1,0) xA(3,1)y Q P 如图，, 焦点F(1,0) . 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. . 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 .【感悟】利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法.在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易.又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义. 二、焦点与相应准线的转换椭圆的第二定义：平面上任意一点到定点F（焦点）的距离与到相应定直线（准线，且F不再该直线上）的距离之比为常数e（离心率且e1）的点的轨迹

7、为圆锥曲线;当0e1时，轨迹为椭圆；1,则x=时PAmin=a若a0且x1+x20,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得.【例24】已知A，B，C三点在曲线y上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于()A3 B. C. D.【答案】B【解析】由题意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)直线AC所在的方程为x3y20，点B到该直线的距离为d.SABC|AC|d|m32|()2|.m(1,4)，当时，SABC有最大值，此时m.2.参数法参数为三角函数（若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距

8、离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值.）【例25】椭圆上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值.【分析】若按上例那样d=转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元.【解析】d= 令 则d= 当sin=1时,dmin=, 当sin=1时,dmax=【例26】求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离. 【解析】椭圆的参数方程为则椭圆上任意一点P坐标为.到直线的距离为= ，d取最大值，即；，d取最小值，即【例27】已知点P是椭圆上任意一点，则点P到直线的距离最大值为 【解析】由椭圆的方程，则可设（为参数）设点，则点P到

9、直线的距离为当，距离的最大值为【例28】椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB的最小面积【解析】写出椭圆参数方程，设切点坐标为，可得切线方程，令y=0，得切线与x轴交点：令，得切线与y轴交点，即【例29】已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值.【解析】设P（2cos,sin），(00得，当时，由解得，可得，由 ，可得，由即得相应的，.故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或.法二： 由得 得代入得当且仅当时等式成立.4、三点共线法（对称点法）【例33】已知的焦点为F1、F2，在直线上找一点M,求以F1、

10、F2为焦点，通过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.【解析】F1（-2，0）、F2（2，0），F1关于的对称点为F1(-6,-4),连接F1 、F2交于点M即为所求，,c=2, b2=16，所求椭圆为.oxyF1F2MF1【例34】已知椭圆 和直线，在上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程.【解析】设 是关于对称点 ， 可求出 坐标 ，过的直线方程与联立得交点M为所求.如图所示.由椭圆方程 ，得， 设 是关于对称点 ， 可y lP O xM求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交

11、点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短，由 ,得.,所求椭圆方程为 5.均值不等式法【例35】椭圆上上一点P到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为椭圆第一定义为|PF1|+|PF2|=2a, 2a为定值，这正符合均值不等式和一定时，积有最大值这个结论.因而由|PF1|+|PF2|=10, 所以 ，所以当|PF1|=|PF2|时，|PF1|PF2|=m取最大值，故P是短轴的端点时，m最大. 【例36】过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 .【解析】由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，

12、得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，将表示成k的函数，巧妙运用均值不等式可求其解. 椭圆焦点 ，设直线过焦点F(0,1) ，直线方程与联立 ，消去，得 ，其中两根为A,B两点的横坐标 .将三角形AOB看作与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为., 其中 |OF|=c=1. =. 当 即k=0 时,取等号 ，即当直线为 y=1时 , 得到的面积最大值为 .【例37】设椭圆中心在坐标原点是它的两个顶点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.【解析】依题意设得椭圆标准方程为 直线AB、EF的方程分别为 设根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为四边形AF

13、BE的面积为当且仅当，【例38】、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值 QPNMFO【解析】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即(1)当0时，MN的斜率为，同上可得： 故所求四边形的面积令=得=2 当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数.当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=.S=|PQ|MN|=2

14、综合知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.【例39】如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值，并求出此时直线的方程.【解析】，设，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，（）利用均值不等式不能区取“”利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为【例40】已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点.求：（1）|PF1|PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mn=4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|P

15、F2|42-24=8【例41】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10 【答案】 A 【解析】 由题知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 直线l1的方程为yk(x1)，直线l2的方程为y(x1). 联立 ，得 k2x2(2k24)xk20 由韦达定理，得 x1x22，同理x3x424k2. |AB|DE|(x1x22)(x3x42)(x1x2x3x4)4 224k248216 当且仅当4k2，即k1时

16、，取“”，故选A. 【例42】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）ABCD1【答案】 C【解析】 由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y00，kOM0；当y00，kOM0要求kOM的最大值，设y00，则=+=+=+（）=+=（+，），可得kOM=，当且仅当y02=2p2，取得等号【例43】已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A2 B3 C D【答案】 B【解析】 设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（0，m），由y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，从而，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又，SABO+SAFO=当且仅当，即时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3 24