【新高考数学专题】基本不等式中解决最值问题的9种题型.docx

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1、基本不等式中解决最值问题的9种题型题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题例题1 若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）ABCD【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【解析】因为两个不等的实根是和，不妨令，故可得，解得，则=，故选：C.【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.例题2 的最小值为（ ）A2B16C8D12【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.【解析】，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.例题3 已知函数yloga x1(a0且a1)图象恒过定点A，若点A在直线40(m0，n0)上，则mn的最小值为

2、_【解析】由题意可知函数yloga x1的图象恒过定点A(1,1)，点A在直线40上，4，m0，n0，mn(mn)1，当且仅当mn时等号成立，mn的最小值为1.题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4 已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（ ）A3B1C2D【分析】画出可行域，根据目标函数最大值求关系式，再利用不等式求得最小值.【解析】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题例题5 已知递增等差数列中，则的（ ）A最大值为

3、B最小值为4C最小值为D最大值为4或【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。例题6 已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为_【解析】由于2是2a，b的等差中项，故2ab4，又a，b均为正数，故2ab24，当且仅当2ab2，即a1，b2时取等号，所以的最小值为.题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题例题7 如图所示,已知点是的重心,过点作直线

4、分别交，两边于，两点，且，则的最小值为_.【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根据条件：,又,.又,三点共线,.,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题例题8 在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线C（）求C的方程；（）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值【解析】（）设，由已知得，所以=， =(0，)，=(，-2).再由题意可知（+）=0， 即（，）(，2)=0所以曲线C的方程式为（）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，因此直线

5、的方程为，即则点到的距离又，所以当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2例题9 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3（）求椭圆的方程；（）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且面积最大？若存在，求出点坐标及相对应的面积；若不存在，请说明理由【解析】（）由，所以，设是椭圆上任意一点，则，所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（）存在点满足要求，使得面积最大假设直线与圆相交于不同两点,则圆心到的距离， 因为在椭圆上，所以 ，由得：所以，由得代入上式得，当且仅当，此时满足要求的点有四个此时对应的的面积为题型六 基本不等式与圆相结合的

6、最值问题例题10 设，若直线与圆相切，则取值范围是（ ）A BC D【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以，设，则，解得.题型七 基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题例题11 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A BCD【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【解析】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。例题12 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A9B12C16D20【分析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可【解析】， ，当且仅当时，等号成立，故。题型八 基本不等式与立体几何相结合的最值问题例题13

7、如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A B C D【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C题型九 基本不等式与解三角形相结合的最值问题例题14 在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）ABCD【解析】,由正弦定理得，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.例题15 的内角所对的边分别为（I）若成等差数列，证明：；（II）若成等比数列，求的最小值【解析】（1）成等差数列，由正弦定理得，（2）成等比数列，由余弦定理得（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为