圆锥曲线的几何性质与应用.doc

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1、第三章 解析几何 专题11 圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等.在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何

2、性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值

3、域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1. (2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C. D.【答案】A【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a，b，c满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件

4、“直线BM经过OE的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式详解：法一：数形结合法如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为1，因此点M的坐标为c，.又OBNFBM，所以，即，解得，所以椭圆C的离心率为.法二：交点法同法一得直线AE的方程为1，直线BN的方程为1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PFx轴，可设M(c，n)则消去n，解得，所以椭圆C的离心率为.法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为1，由题意可知M，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则，解得，所以椭圆C的离心率为.法四：方程法设M(c，m)，

5、则直线AM的方程为y(xa)，所以E.直线BM的方程为y(xa)，与y轴交于点，由题意知，即ac2(ac)，解得，所以椭圆C的离心率为.法五：几何法在AOE中，MFOE，所以.在BFM中，ONMF，所以，即.所以1，即ac2(ac)，解得，所以椭圆C的离心率为.例2.（2019全国高考真题（理）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】分析:通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.详解:如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的

6、斜率为，所以该双曲线的离心率为例3. （2019浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.【答案】【解析】分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.详解:方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.例4.（2019全国高考真题（理）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角

7、形，则的坐标为_.【答案】【解析】分析:根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.详解:由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为例5.（2019全国高考真题（文）设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A例6.（2018全国卷I）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三

8、角形，则|MN|=（ ）AB3CD4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.例7.（2018浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，

9、B满足=2，则当m=_时，点B横坐标的绝对值最大【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以 ，与对应相减得，当且仅当时取最大值.例8. （2019北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.【答案】

10、C【解析】分析：将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.详解：由x2+y2=1+xy得,y2-xy=1-x2,y-|x|22=1-3x24,1-3x240,x243,所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2+y2=1+xy恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由x2+y2=1+xy得,x2+y21+x2+y22,解得x2+y22,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论正确.如图所示,易知A

11、0,-1,B1,0,C1,1,D0,1,四边形ABCD的面积SABCD=1211+11=32,很明显“心形”区域的面积大于2SABCD,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【压轴训练】1（2019天津南开中学高考模拟（理）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线 准线交双曲线左支交于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设抛物线 准线与横轴的交点为,的坐标为，设在第二象限，由双曲线的对称性可知: ，的坐标为，焦距为，设，又， 把的坐标代入双曲线方程中，得，故本题选C.2（2019山东高考模拟（文）如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线

12、部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选 C.3（2019四川棠湖中学高三期末（文）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.4（2019张家口市第四中学高二月考

13、（文）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B5（2019天津市新华中学高考模拟（理）设分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意|PF2|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等

14、腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|24b根据双曲定义可知4b2c2a，整理得c2ba，代入c2a2+b2整理得3b24ab0，求得双曲线渐近线方程为yx，即4x3y0，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，三角形 的面积为：.故选：C.6（2019吉林高考模拟（理）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】由，可知，又的斜率为，所以易得，在中，由余弦定理得，由双曲线的定义得，所以，则，所以此双曲线的标准方程可能为.故选D7（2019天津高考模拟（理）设，分别为具有公共焦点

15、，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）ABC2D不确定【答案】C【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为，焦距为，则：，解得：，由勾股定理可得：，即：，整理可得：.故选：C.8.（2017新课标全国卷文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.9（2019天津高考模拟（理）己知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛

16、物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2【答案】C【解析】设，则 由双曲线方程可得渐近线方程为：若为抛物线与交点，则，可得即： 由对称性可知，为抛物线与交点时，结论一致本题正确选项：10（2019天津高考模拟（理）已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若 ，则抛物线的准线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为，所以.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得.联立双曲线的方程和抛物线的方程得.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.11（2019天津高考模拟（文）已知双曲线的右焦

17、点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为( )ABCD【答案】C【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得：，即,由题意可得，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.12（2018全国卷II）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.13（2019天津高考模拟（理）以双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0上一点M为圆心

18、作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P,Q两点，若PQ=233OF，则双曲线C的离心率是（ ）.A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得Mc,b2a，由圆的弦长公式可得：|PQ|=2R2-d2=2b4a2-c2，结合PQ=233OF可得2b4a2-c2=233c，整理变形可得：3c4-10a2c2+3a4=0，即3e4-10e2+3=0,e2-33e2-1=0，双曲线中e21，故e2=3,e=3.故选：B.14.（2019广东佛山一中高二月考（文）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_.

19、【答案】【解析】 ，因为 ，所以渐近线方程为.15（2019广东高考模拟（理）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_.【答案】2【解析】设，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得：，故A点坐标为：同理可得：B点坐标为：又，又A，B，F三点共线，由，即又，故答案为：216.（2018北京高考真题（理）已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾

20、斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， 17.（2019上海高考模拟）已知是抛物线的焦点，点、在抛物线上且位于轴的两侧，若 （其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是_【答案】3【解析】设直线的方程为，点，直线与轴的交点为.联立，可得，根据韦达定理可得.，即.或（舍），即.点，位于轴的两侧不妨令点在轴的上方，则.，当且仅当时取等号.与面积之和的最小值是3.故答案为3.18. （2017全国卷I）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为_【答案】【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，MAN=60，|AP|=b，|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为，则tan =又tan =，解得a2=3b2，e=答案：