北师大版九年级数学下册-3.8--圆内接正多边形--同步测试题(有答案).docx

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1、3.8 圆内接正多边形 同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A.1:2:3B.1:2:3C.1:2:3D.1:2:32. 已知圆的半径是R，则圆内接正十边形的边长是（ ） A.525RB.5-12RC.5+12RD.5-14R3. 圆与正方形ABCD内切，BEFG为边长1的正方形求正方形ABCD的边长（ ） A.4+22B.2C.52D.52E.42+14. 正六边形的半径为R，则它的边心距为（ ） A.33RB.32RC.RD.3R5. 已知，正六边形的半径是4，

2、则这个正六边形的边长是（ ） A.24B.6C.4D.236. 用一枚直径为25mm的硬币完全覆盖一个正六边形，则这个正六边形的最大边长是（ ） A.252mmB.2523mmC.254mmD.2543mm7. 圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为( ) A.123B.66C.12D.68. 两圆半径之比为2:3，小圆外切正六边形与大圆内接正六边形面积之比为（ ） A.2:3B.4:9C.16:27D.4:339. 如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：BAC=36；PB=PC；四边形APDE是菱形；AP=2BP其中正确的结论是（

3、） A.B.C.D.10. 如图，O沿凸多边形A1A2A3.An-1An的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动假设O的周长是凸多边形A1A2A3.An-1An的周长的一半，那么当O回到出发点时，它自身滚动的圈数为（ ） A.1B.2C.3D.4 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 11. 正方形的边长为a，其内切圆的内接正方形的面积为_ 12. 如图，正五边形ABCDE的对角线为BE，则ABE的度数为_ 13. 设正n边形的半径为R，边长为an，边心距为rn，则它们之间的数量关系是_这个正n边形的面积Sn=_ 14. 小强用一张直径为10的圆形纸片，剪出一个

4、面积最大的正六边形，这个正六边形的周长是_，面积是_ 15. 如图，正方形的边长为8，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的面积为_ 16. 在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为_ 17. 已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形的边长为_ 18. 一个正八边形要绕它的中心至少转_度，才能和原来的图形重合，它有_条对称轴 19. 如图，正六边形ABCDEF中阴影部分面积为123平方厘米，则此正六边形的边长为_ 20. 已知正六边形的边长为3，则它的外接圆的周长是_ 三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计60分 ， ） 21. 如图，相交两圆的公共弦AB长为1

5、20cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积 22. 如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积 23. 求证：一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆那么这个六边形是正六边形，写出已知，求证，并证明 24. 如图1，T1，T2分别为O的内接正六边形和外切正六边形 （1）请你在备用图中画出圆O的内接正六边形，并简要写出作法； （2）设圆O的半径为R，求T2的面积（用含R的式子表示）； （3）设O的半径为R，求图2中阴影部分的面积（用含R的式子表示）25. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点

6、，连接AP，求AP的长 26. 如图1、图2、图3，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，以AE为边作平行四边形AEFG，使点D在AE的对边FG上， （1）如图1，试说明：平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等； （2）如图2，若平行四边形AEFG是矩形，EF与CD交于点P，试说明：A、E、P、D四点在同一个圆上； （3）如图3，若ABBC又 BP=PC 2BPBC 2BPAP故错误故选B10.【答案】C【解答】解：由于凸多边形周长是圆周长的2倍，另外凸多边形的外角和是360，所以O回到出发点时共滚动2+1=3圈故选C二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分

7、 ） 11.【答案】12a2【解答】解：如图： AB=a， EG=A， FE2+FG2=EG2， 2FG2=a2， FG2=12a2， 正方形的面积为12a2，故答案为12a212.【答案】36【解答】解： 3605=72，180-72=108， 正五边形每个内角的度数为108，即A=108，又 ABE是等腰三角形， ABE=12(180-108)=36故答案为3613.【答案】an=2Rsin180n，rn=Rcos180n,2nR2sin180ncos180n【解答】解：如图所示，过点O作OFAB于点F交圆O于点E，设正n边形的半径为R，则圆的半径为R， AOF=3602n=180n， A

8、B=2AF=2Rsin180n；同理， ODE=3602n=180n， OF=Rcos180n， 边长为an=2Rsin180n，边心距为rn=Rcos180n，则它们之间的数量关系是：an=2Rsin180n，rn=Rcos180n，正n边形的面积Sn=n2Rsin180nRcos180n=2nR2sin180ncos180n故答案为：an=2Rsin180n，rn=Rcos180n，2nR2sin180ncos180n14.【答案】30,7532【解答】解： 正六边形的边长等于半径5， 正六边形的周长是：65=30，正六边形的面积=61255sin60=7532故答案是：30，753215

9、.【答案】1282-128【解答】设三角形的边为x，则由2x+2x8，解得x4(2-2)， S64-2(8-42)21282-128，16.【答案】2:1【解答】解：如图1，在圆内接正方形ABCD中，OA=OD=R，AOD=36014=90，则内接正方形的边长为Rsin45=2R；如图2，在圆内接正六边形ABCDEF中，AOB=60，AOB为正三角形，则内接正六边形的边长为R，所以其比为2:1故答案为2:117.【答案】1【解答】解：如图(1)所示，过O作ODAB于D，连接OA，OB； 四边形是圆内接四边形， AOB=3604=90； OA=OB，ODAB， AOD=902=45， OD=AD

10、=12AB=22，OA=OD2+AD2=(22)2+(22)2=1如图(2)所示，连接OA，OB，过O作ODAB于D； 四边形是圆内接四边形， AOB=3606=60， OA=OB， AOB是正三角形， OA=OB=AB=1即该圆的内接正六边形的边长为1故答案为：118.【答案】45,8【解答】解： 正八边形的中心角=3608=45， 正八边形要绕它的中心至少旋转45，才能和原来的图形重合，它有8条对称轴；故答案为：45，819.【答案】4cm【解答】解：设正六边形的边长为xcm，如图，过点B作BHAC于H， 六边形ABCDEF是正六边形， BAF=180-3606=120，由正六边形的对称性

11、得，BAC=12(120-60)=30， BH=12AB=12x，AH=32AB=32x， AC=2AH=3x， 阴影部分的面积=3123x12x=334x2， 阴影部分面积为123平方厘米， 334x2=123，解得x=4cm，即此正六边形的边长为为4cm故答案为：4cm20.【答案】6【解答】解：如图，连接OA，OB O是正六边形ABCDEF的外接圆， AOB=3606=60， OA=OB， OAB是等边三角形， OA=OB=AB=3， 它的外接圆的周长是：23=6故答案为：6三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：如图，连接O1O2，O1

12、A，O1B，O2A，O2B；则O1O2垂直平分AB，而AB=120， AC=BC=60；由题意得：AO1B=16360=60，AO2B=14360=90； O1A=O1B，O2A=O2B， O1AB，O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形， O1A=AB=120，O2C=12AB=60；O2A=2O2C=602 S扇形O1AB=601202360=2400，S扇形O2AB=906022360=1800，SAO1B=121202sin60=36003，SAO2B=1212060=3600， S阴影=2400+1800-36003-3600=4200-3600-36003(cm2)【解答】解：如

13、图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B；则O1O2垂直平分AB，而AB=120， AC=BC=60；由题意得：AO1B=16360=60，AO2B=14360=90； O1A=O1B，O2A=O2B， O1AB，O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形， O1A=AB=120，O2C=12AB=60；O2A=2O2C=602 S扇形O1AB=601202360=2400，S扇形O2AB=906022360=1800，SAO1B=121202sin60=36003，SAO2B=1212060=3600， S阴影=2400+1800-36003-3600=4200-3600-36003(

14、cm2)22.【答案】如图1，连接OB、OC，过O作ODAB于D， O是正三角形ABC的外接圆， AOB=3603=120， OAOB， AODBOD60，在RtADO中，AOR，ADRsin60=32R，ODRcos60=12R， ODAB， AB2AD=3R， 正ABC的周长是3AB33R；面积是312ABOD3123R12R=334R2；如图2，连接OA、OB、OD， O是正方形ABCD的外接圆， COD=3604=90， ODOCR，由勾股定理得；CD=R2+R2=2R， 正方形ABCD的周长为42R42R，面积为2R2R2R2【解答】如图1，连接OB、OC，过O作ODAB于D， O是

15、正三角形ABC的外接圆， AOB=3603=120， OAOB， AODBOD60，在RtADO中，AOR，ADRsin60=32R，ODRcos60=12R， ODAB， AB2AD=3R， 正ABC的周长是3AB33R；面积是312ABOD3123R12R=334R2；如图2，连接OA、OB、OD， O是正方形ABCD的外接圆， COD=3604=90， ODOCR，由勾股定理得；CD=R2+R2=2R， 正方形ABCD的周长为42R42R，面积为2R2R2R223.【答案】已知：六边形ABCDEF有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆O求证：六边形ABCDEF是正六边形证明：如图

16、，连接OM、OE；则OMEF、ONAF； OM=ON， AF=EF（同圆中，相等的弦心距所对的弦相等），同理可证：AB=BC=CD=DE=EF； 该六边形六条边相等；在AOF与EOF中，AO=OFOF=OEAF=EF， AOFEOF(SSS)， AOF=EOF，同理可证：DOE=DOC=COB=AOB=AOF， 六边形ABCDEF是正六边形【解答】已知：六边形ABCDEF有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆O求证：六边形ABCDEF是正六边形证明：如图，连接OM、OE；则OMEF、ONAF； OM=ON， AF=EF（同圆中，相等的弦心距所对的弦相等），同理可证：AB=BC=CD=D

17、E=EF； 该六边形六条边相等；在AOF与EOF中，AO=OFOF=OEAF=EF， AOFEOF(SSS)， AOF=EOF，同理可证：DOE=DOC=COB=AOB=AOF， 六边形ABCDEF是正六边形24.【答案】解：（1）如图作法：在O中做圆心角AOB=60；在O上依次截取与弧AB相等的弧，得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F；顺次连接各点，六边形ABCDEF即为所求正六边形（2）如图： 由（1）知AOB为等边三角形， T1的半径为R，连接OG，可知RtOGBRtOGA， OGB=60， BG=12，设BG为x，由勾股定理有：x2+R2=(2x)2，解得：x=33R，外切正六边形

18、的边长为233R（3）由图知：阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积， 内接正六边形的面积为SAOB的六倍，SAOB=34R2， 内接正六边形的面积为：S内=6SAOB=332R2 外切正六边形的面积为SOGH的六倍，SOGH=33R2， 外切正六边形的面积为：S外=6SOGH=23R2， S阴=S外-S内=32R2【解答】解：（1）如图作法：在O中做圆心角AOB=60；在O上依次截取与弧AB相等的弧，得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F；顺次连接各点，六边形ABCDEF即为所求正六边形（2）如图： 由（1）知AOB为等边三角形， T1的半径为R，连接OG，可知RtOGBR

19、tOGA， OGB=60， BG=12，设BG为x，由勾股定理有：x2+R2=(2x)2，解得：x=33R，外切正六边形的边长为233R（3）由图知：阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积， 内接正六边形的面积为SAOB的六倍，SAOB=34R2， 内接正六边形的面积为：S内=6SAOB=332R2 外切正六边形的面积为SOGH的六倍，SOGH=33R2， 外切正六边形的面积为：S外=6SOGH=23R2， S阴=S外-S内=32R225.【答案】解：连接AE，过点F作FHAE， 六边形ABCDEF是正六边形， AB=BC=CD=DE=EF=2，AFE=DEF=120， FAE

20、=FEA=30， AEP=90， FH=1， AH=3，AE=23， P是ED的中点， EP=1， AP=AE2+EP2=12+1=13【解答】解：连接AE，过点F作FHAE， 六边形ABCDEF是正六边形， AB=BC=CD=DE=EF=2，AFE=DEF=120， FAE=FEA=30， AEP=90， FH=1， AH=3，AE=23， P是ED的中点， EP=1， AP=AE2+EP2=12+1=1326.【答案】解：（1）过D点作DP垂直AE于点P；SABCD=ABAD，SAEFG=AEDP=ABcosBAE(ADcosADP)，BAE=ADP，所以SAEFG=ABAD，所以，SAE

21、FG=SABCD（2）因为平行四边形AEFG是矩形，四边形ABCD也是矩形；所以ADC=FEA=90，则ADC+FEA=180，所以A、E、P、D四点在同一个圆上（3）相切过D作DHAP于H； 2+3=90，1+2=90， 3=1，2=4， ADGAEB， D是FG的中点， AGDF=GDPF=ADDP=2，在ADG与APD中，AGDF=GDPF=ADDP=2； DF=GD， AGGD=ADDP=2， ADP=AGD=90， ADGAEBAPD， 1=DAP，即AD是GAH的平分线， DG=DH=DF， DP=DP，DHP=DFP=90， 以FG为直径的圆与直线PA相切【解答】解：（1）过D点

22、作DP垂直AE于点P；SABCD=ABAD，SAEFG=AEDP=ABcosBAE(ADcosADP)，BAE=ADP，所以SAEFG=ABAD，所以，SAEFG=SABCD（2）因为平行四边形AEFG是矩形，四边形ABCD也是矩形；所以ADC=FEA=90，则ADC+FEA=180，所以A、E、P、D四点在同一个圆上（3）相切过D作DHAP于H； 2+3=90，1+2=90， 3=1，2=4， ADGAEB， D是FG的中点， AGDF=GDPF=ADDP=2，在ADG与APD中，AGDF=GDPF=ADDP=2； DF=GD， AGGD=ADDP=2， ADP=AGD=90， ADGAEBAPD， 1=DAP，即AD是GAH的平分线， DG=DH=DF， DP=DP，DHP=DFP=90， 以FG为直径的圆与直线PA相切30 / 30