北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）.docx

《北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）.docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共分）1. 已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，xR)在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是()A. x1B. 1x0C. x0D. 0x1【答案】A【解析】解：复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，xR)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x0，解得x1那么x的取值范围是x1故选：A利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 已知a0，那么下列不等式中一定成立的是()A. ba|b|C.

2、a2abD. 1a1b【答案】D【解析】解：若a0，则a0，则ba0，故A错误，|a|b|不一定成立，a2ab，则C不成立，1a0，则1a1，所以k1=4，k=5故选：D通过椭圆的焦点，确定k1，利用a，b，c的关系，求出k的值即可本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题6. 已知Sn为数列an的前n项和，a1=2，an+1=Sn，那么a5=()A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】解：n2时，an+1=Sn，an=Sn1，可得：an+1an=an，化为an+1=2ann=1时，a2=a1=2数列an从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2那么a5=223=16故选：C利用

3、数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. “直线l/平面”是“直线在平面外”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线l与平面平行”“直线l在平面外”“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件故选：A根据直线l在平面外则直线l与平面平行或相交可判定“直线l与平面平行”与“直线l在平面外”的关系本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件

4、的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题8. 已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面，的法向量(,不重合)那么下列说法中：n1/n2/；n1n2；v/n1l/；vn1l.正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：平面，不重合；平面，的法向量平行(垂直)等价于平面，平行(垂直)；正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面；都错误故选：B可以想象图形即可判断每个说法的正误考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念9. 三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，ABAC，N是BC的中点，点P在A1B

5、1上，且满足A1P=A1B1，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为()A. 12B. 22C. 32D. 255【答案】A【解析】解：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则P(,0，1)，PN=(12,12,1)，平面ABC的一个法向量为n=(0,0，1)sin=|PNn|PN|n|=1(12)2+54，当=12时，(sin)max=255，此时角最大为arcsin255故选：A建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合

6、理运用10. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，第k组：20，21，22，2k1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2k1，每项含有的项数为：1，2，3，k，总共的项数为N=1+2+3+k=(1+k)k2，当k=9时，(1+k)k2=45

7、，故该数列的前50项和为S50=211+221+231+291+1+2+4+8+16=2(129)129+31=1044故选：A将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，第k组：20，21，22，2k1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，共分）11. 命题xR，x2x+30的否定是_【答案】xR，x2x+30【解析】解：原命题为：xR，x2x+30 原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等

8、号须改变原命题的否定为：xR，x2x+30 故答案为：xR，x2x+30根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：(1)“若A，则B”的否定为“若A，则B”；(2)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；(3)切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式，属简单题12. 当且仅当x=_时，函数y=4x+1x(x0)取得最小值【答案】12【解析】解：由于x0，由基本不等式可得y=4x+1x24x1x=4，当且仅当4x=1x(x0)，即当x=12时，等号成立故答案为：12利用基本不等式时，等号

9、成立，即4x=1x(x0)时，得出x的值本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题13. 已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y=2，则抛物线C的标准方程为_【答案】x2=8y【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p0)，准线方程为y=2，p2=2，解得p=4抛物线C的标准方程为x2=8y故答案为：x2=8y由题意可设抛物线C的方程为x2=2py，(p0)，由已知准线方程为y=2可解得p，则抛物线方程可求本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题14. 不等式x1x30的解集为_【答案】1,3)【解析】解：不等式等价为

10、x30(x1)(x3)0，即x31x3，即1x3，则不等式的解集为1,3)，故答案为：1,3)将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键15. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是_【答案】33【解析】解：ABF2是正三角形，AF2B=60，直线AB与椭圆长轴垂直，F2F1是正三角形ABF2的高，AF2F1=1260=30，RtAF2F1中，设|AF1|=m，sin30=|AF1|AF2|=12，|AF2|=2m，|F1F2|=|

11、AF2|2|AF1|2=3m因此，椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=3m椭圆的离心率为e=ca=2c2a=33故答案为：33根据ABF2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到F2F1是正三角形ABF2的高，AF2F1=30.在RtAF2F1中，设|AF1|=m，可得|AF1|AF2|=12，所以|AF2|=2m，用勾股定理算出|F1F2|=3m，得到椭圆的长轴2a=|AF1|+|AF2|=3m，焦距2c=3m，所以椭圆的离心率为e=2c2a=33本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题

12、16. 如图所示，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD=2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60时，那么线段PM的长度是_【答案】344【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，P(0,0，2)，B(2,2，0)，AP=(2,0,2)，E是棱PB的中点，E(1,1，1)，设M(0,m，m)，则EM=(1,m1,m1)，|cos|=|APEM|AP|EM|=|2+2(m1)|221+2(m1)2=12，解得m=34，M(0,34,34)，PM=916+2516=344，故答案为：344建立空间直角坐标系，易得

13、各点坐标，设出点M的坐标，可得向量AP,EM，代入异面直线所成角公式可得点M的坐标，问题得解此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中三、解答题（本大题共4小题，共分）17. 等差数列an中，a3=6，a5=10()求数列an的通项公式；()若a4，a8分别是等比数列bn的第4项和第5项，试求数列bn的通项公式【答案】解：()在等差数列an中，由a3=6，a5=10，得d=a5a353=1062=2，an=a3+2(n3)=6+2n6=2n；()在等比数列bn中，有b4=a4=8，b5=a8=16，公比q=b5b4=2，则bn=b4qn4=82n4=2n1【解析】()在等差数列an中，由

14、已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；()在等比数列bn中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题18. 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点P(3,6)()求抛物线C的标准方程；()经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长【答案】解：()由题意设抛物线C的标准方程为y2=2px，其图象经过点P(3,6)，则62=6p，解得p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x；()抛物线C的标准方程为y2=12x，焦点F(3,0)，准线方程为x=1；过焦点且斜率为2的直线l方程为y

15、=2(x3)，由y2=12xy=2(x3)，消去y，整理得x29x+9=0，由根与系数的关系得x1+x2=9，线段AB的长为|AB|=x1+x2+p=9+6=15【解析】()利用待定系数法求出p的值，写出抛物线C的标准方程；()写出抛物线C的焦点坐标和准线方程，写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得x1+x2的值，再求线段AB的长本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题19. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90.点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4，AB=2()

16、求证：MN/平面BDE；()求直线MN到平面BDE的距离；()求二面角BDEP的大小【答案】证明：()在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90.点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4，AB=2以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，M(0,0，1)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，N(1,2，0)，D(0,0，2)，P(0,0，4)，E(0,2，2)，MN=(1,2，1)，BD=(2,0，2)，BE=(2,2，2)，设平面BDE的法向量n=(x,y，z)，则nBD=2x+2z=0nBE=2x+2y+2z=

17、0，取x=1，得n=(1,0，1)，nMN=0，MN平面BDE，MN/平面BDE()BM=(2，0，1)，直线MN到平面BDE的距离：d=|BMn|n|=12=22()平面BDE的法向量n=(1,0，1)，平面DEP的法向量m=(1,0，0)，设二面角BDEP的大小为，则cos=|mn|m|n|=12=22=4二面角BDEP的大小为4【解析】()以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN/平面BDE()求出BM=(2,0，1)，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离d=|BMn|n|()求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二

18、面角BDEP的大小本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为22，离心率为33()求椭圆C的方程；()若过点P(1,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；()一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，OMN的面积为62.求证：|OM|2+|ON|2为定值【答案】解：()设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，即有2b=22，即b=2，e=ca=33，即a=3c，由a2b2=c2，可得a=

19、3，则椭圆方程为x23+y22=1；()设A(x1,y1)，B(x2,y2)，点P(1,1)为AB的中点，可得x1+x2=2，y1+y2=2，由2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，相减可得2(x1x2)(x1+x2)=3(y1y2)(y1+y2)，可得kAB=y1y2x1x2=2(x1+x2)3(y1+y2)=23，即有直线AB的方程为y1=23(x+1)，化为2x3y+5=0；()证明：设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即x3=x4，y3=y4，由x323+y322=1，OM

20、N的面积为62，可得12|x3|2y3|=62，即有|x3|=62，|y3|=1，可得|OM|2+|ON|2=2(32+1)=5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m(m0)，代入椭圆方程2x2+3y2=6，可得(2+3k2)x2+6km+3m26=0，可得x3+x4=6km2+3k2，x3x4=3m262+3k2，=36k2m212(2+3k2)(m22)0，可得3k2+2m2，|MN|=1+k2(6km2+3k2)24(3m26)2+3k2=1+k2263k2+2m22+3k2，O到直线l的距离为d=|m|1+k2，则SMNO=12d|MN|=12|m|1+k21+k2263

21、k2+2m22+3k2=6|m|2+3k2m22+3k2=62，化为2+3k2=2m2，即有x32+x42=(x3+x4)22x3x4=(6km2+3k2)223m262+3k2=3，y32+y42=2(1x323)+2(1x423)=423(x32+x42)=4233=2，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42=5，综上可得，|OM|2+|ON|2为定值5【解析】()设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；()设A(x1,y1)，B(x2,y2)，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；()设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则|OM|2+|ON|2=x32+x42+y32+y42，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程的求法和两点距离的平方和为定值的证明，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题