高中数学复习专题：导数及其应用.doc

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1、第1课时变化率问题、导数的概念不断往上爬，不是为了被世界看见，而是想看见整个世界。Fighting！核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2P6的内容，回答下列问题(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V) .当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：0.62(dm/L)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：0.16(dm/L)当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：.(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面

2、的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：S)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.在0t0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？提示：4.05(m/S)在1t2这段时间里，运动员的平均速度是多少？提示：8.2(m/S)在t1tt2这段时间里， 运动员的平均速度 又是多少？提示：.2归纳总结，核心必记(1)函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，

3、yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为.(2)瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度若物体运动的路程与时间的关系式是Sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度(3)导数的定义一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是： ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .问题思考(1)设A(x1，f(x1)，B (x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，则函数yf(x)的平均变化率表示什么？提示：表示割线AB的斜率(2)x，y的值一定是正值吗？平均变化

4、率是否一定为正值？提示：x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为0，平均变化率可正、可负、可为零(3)在高台跳水中，如何求在1,1t这段时间内的平均速度？当t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？提示：.当t趋近于0时，平均速度即为t1时的瞬时速度(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值课前反思(1)平均变化率的定义是：(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？(3)导

5、数的定义是什么？如何表示？(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？知识点1求函数的平均变化率思考1平均变化率可用式子表示，其中y、x的意义是什么？提示：y、x分别表示函数值和自变量的变化量思考2如何求函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率？提示：平均变化率为.讲一讲1已知函数f(x)3x25，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率尝试解答(1)因为f(x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f(x0x)f(x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f(x)

6、在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.类题通法(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1.第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1)第三步，求平均变化率.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式练一练1已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为0，故t03，所以物体在3 S时的瞬时速度为27 m/S.题组3利用定义求函数在某一点处的导数7设函数f(x)可

7、导，则 等于()Af(1) B3f(1)C.f(1) Df(3)解析：选A f(1)8设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2 B2 C3 D3解析：选Cf(1) a，a3.9求函数f(x)在x1处的导数f(1)解：由导数的定义知，函数在x1处的导数f(1) ，而，又 ，所以f(1).能力提升综合练1若f(x)在xx0处存在导数，则 ()A与x0，h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D以上答案都不对解析：选B由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关2函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大

8、小关系为()Ak1k2 Bk20)上的平均变化率不大于1，求x的范围解：因为函数f(x)在2,2x上的平均变化率为：3x，所以由3x1，得x2.又因为x0，即x的取值范围是(0，)第2课时导数的几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P6P9的内容，回答下列问题观察教材P7图1.12，回答下列问题(1)割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn.(2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT

9、的斜率k.(4)如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即k f(x0)2归纳总结，核心必记(1)导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0) .(2)导函数从求函数f(x)在xx0处导数的过程可以看到，当xx0时，f(x0)是一个确定的数这样，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作y.即f(x)y .问题思考(1)若函数yf(x)在点x0处的导数存在，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方

10、程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数yf(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f(x1)、f(x2)和f(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kAkB，在C处的切线斜率小于零，所以f(x1)f(x2)f(x3)(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点(4)f(x0)与f(x)有什么区别？提示：f(x0)是一个确定的数，而f(x)是一个函数课前反思(1)导数的几何意义是：(2)导数的概念是：(3)如何求函数f(x)在xx0处的切线方程

11、？知识点1求曲线的切线方程思考1直线的点斜式方程是什么？提示：yy0k(xx0)思考2如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？名师指津：根据导数的几何意义，求出函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程思考3曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也

12、不一定是切点讲一讲1已知曲线yx2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程尝试解答(1)设切点为(x0，y0)，yxx0 2x0，yx12.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，yxx02x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得x01或x05.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5,25)

13、时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，即y10x25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.类题通法利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(x-x0)(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程练一练1已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4

14、xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解：y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.知识点2求切点坐标思考如何处理切点问题？名师指津：切点问题的处理方法：(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的

15、导数，进而求出点的横坐标(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等讲一讲2若曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，求P点坐标及切线方程尝试解答设P点坐标为(x0，y0)，(x)23x0x3x3x6x0.所以f(x0)(x)23x0x3x3x6x03x6x0，于是3x6x09，解得x03或x01，因此，点P的坐标为(3,1)或(1，3)又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y9(x3)1或y9(x1)3，即y9x26或y9x6.类题通法根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)

16、；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标练一练2已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解：设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，

17、斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9).知识点3导数几何意义的应用讲一讲3(1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是下图中的()(2)已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是() gx斜率越来越大 fx斜率越来越小，越平缓尝试解答(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出yf(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢

18、变小，排除A.答案(1)A(2)D类题通法导数与函数图象升降的关系若函数yf(x)在xx0处的导数存在且f(x0)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)0(即切线的斜率小于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是下降的导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢练一练3如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()解析：选D函数的定义域为(0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S越来越大，即斜率f(x)在0,2内越来越大，因此，函数

19、Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线课堂归纳感悟提升1本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程2本节课要重点掌握的规律方法(1)求曲线的切线方程的方法，见讲1；(2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；(3)导数几何意义的应用，见讲3.3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线

20、上，这是本节课的易错点如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点课下能力提升(二)2020-03-06晚（P1-P20）加油！学业水平达标练题组1求曲线的切线方程1曲线yx311在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15解析：选C切线的斜率k 33(x)(x)23，切线的方程为y123(x1)令x0得y1239.2求曲线y在点的切线方程解：因为y ，所以曲线在点的切线斜率为kyx4.故所求切线方程为y24，即4xy40.题组2求切点坐标3若曲线yx

21、2axb在点(0，b)处的切线方程是xy1（）Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选A点(0，b)在直线xy10上，b1.又y 2xa，过点(0，b)的切线的斜率为y|x0a1.4已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为_解析：设P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，又f(x0)16，4x0416，x03，P(3,30)答案：(3,30)5曲线yf(x)x2的切线分别满足下列条件，求出切点的坐标(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)切线的倾斜角为135.解：f(x)li li 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)

22、切线与直线y4x5平行，2x04，x02，y04，即P(2,4)，显然P(2,4)不在直线y4x5上，符合题意(2)切线与直线2x6y50垂直，2x01，x0，y0，即P.(3)切线的倾斜角为135，其斜率为1，即2x01，x0，y0，即P.题组3导数几何意义的应用6下面说法正确的是() 导数几何意义是切线斜率A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在

23、解析：选C根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误7设曲线yf(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线()A垂直于x轴B垂直于y轴C既不垂直于x轴也不垂直于y轴 极值点，导数为零，切线垂直于y轴D方向不能确定解析：选B由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直8如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图象是() 吧 2020-03-07（P20-21）先排除A，B运动到AB为直径的过程，阴影面积变大，fx斜率变大运动到直径继

24、续运动，阴影面积变小，斜率变小。解析：选D不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量x，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量x，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢由上可知函数yf(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确9已知函数yf(x)的图象如图所示， 则函数yf(x)的图象可能是_(填序号)原

25、函数图像先增后减，函数增，导数大于零，减则小于零解析：由yf(x)的图象及导数的几何意义可知，当x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，故符合答案：能力提升综合练1.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()0斜率最小，a时斜率最大A0f(a)f(a1)f(a1)f(a)B0f(a1)f(a1)f(a)f(a)C0f(a1)f(a)f(a1)f(a)D0f(a1)f(a)f(a)f(a1)0，而f(a1)f(a)表示(a，f(a)与(a1，f(a1)两点连线的斜率，且在f(a)与f(a1)之间0f(a1)f(a1)f(a)f(a)2曲线y在点P(2,1)处的切线的倾斜角为()

26、A. B. C. D.解析：选Dy1， 1，斜率为1，倾斜角为.3曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cy2x2 Dy2x2解析：选A由y(1x)32(1x)1(121)(x)33(x)2x得 (x)23x11，所以在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为yx1.4设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1,0) B(2,8)C(1,0)或(1，4) D(2,8)或(1，4)解析：选Cf(x) 3x21.由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，

27、所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f(x0)3x14，解得x01，P0的坐标为(1,0)或(1，4)5.已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)在A、B两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”)解析：f(a)与f(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f(a)f(b)答案：6过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为_解析：曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.所以过点P(1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线

28、方程为2xy40.答案：2xy407甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？解：(1)图中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；(2)图中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快8.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(S)之间的关系式为h(t)4.9t214.7t.其示意图如图所示根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t1.5 S附近曲线比较平

29、坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在01.5 S之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 S后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则fighting核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P12P16的内容，回答下列问题已知函数：yf(x)c，yf(x)x，yf(x)x2，yf(x)，yf(x).(1)函数yf(x)c的导数是什么？提示：0，y 0.(

30、2)函数的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x)1，(x2)2x，() .(3)函数均可表示为yx(Q*)的形式，其导数有何规律？提示：(x)1x11，(x2)2x21，()x1，(x)x1.2归纳总结，核心必记(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)(2)导数运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；当g(x)c时，cf(x)cf(x)(g(x)0)问题思考(1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f(x)c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴(2)对于公式“若f(x)x(Q*)，则f(x)x1”，若把“Q*”改为“R”，公式是否仍然成立？提示：当R时，f(x)x1仍然成立(3)下面的计算过程正确吗？coS.提示：不正确因为Sin是一个常数，而常数的