高中数学复习专题：椭圆.ppt

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1、(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.,(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). (4)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率). (5)理解直线与圆锥曲线的位置关系；了解圆锥曲线的简单应用. (6)理解数形结合的思想.,圆锥曲线是高中数学主干知识平面解析几何的又一核心内容，考查题型广泛，形式多样，难易题均有涉及.小题主要以椭圆、双曲线、抛物线的

2、定义，标准方程和几何性质为主；大题主要考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，内容涉及交点个数问题，有关弦的中点问题及弦长问题，相交围成三角形的面积问题等.,在解题过程中计算占了很大的比重，对运算求解能力有较高的要求，计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的定义和性质将计算简化，讲求运算的合理性，如“设而不求”，“整体代换”等.试题淡化对图形性质的技巧处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量，解三角形，函数等知识的交汇，关注对数形结合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略，以及待定系数法，换元法等的考查.

3、,预计2011年高考在本章的小题考查重点是椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程和几何性质，特别是椭圆的离心率问题，大题综合考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的几何性质及焦点弦问题，以及与其他知识点的综合交汇.,1.已知两定点A（-1,0）,B（1,0），点M满足 则点M的轨迹是（ ） A.圆B.椭圆 C.线段D.直线 因为AB=2，所以点M在线段AB上，故选C. 易错点：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值，且大于 的动点轨迹才是椭圆.,C,2.已知椭圆 (ab0)的焦点分别为F1、F2，b=4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（ ） A.10B.12 C.16

4、D.20 因为b=4，又b2=a2-c2，得a=5,c=3，由椭圆定义可知ABF2的周长为4a=20，选D.,D,3.椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线y=3x的距离是（ ） A.B.C.1D. 将椭圆方程化为所以其右焦点坐标为（1,0），它到直线y= x的距离为 选B. 易错点：研究椭圆的几何性质，须将椭圆方程化为标准方程.,B,4.已知椭圆G的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为 ,且椭圆G上一点到G的两个焦点之和为12，则椭圆G的方程为 . e= ，2a=12，a=6，b=3， 则所求椭圆方程为,5.椭圆：的两个焦点F1,F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点恰在y轴上，则 =. 由已知

5、椭圆方程得a=2，b=，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.,7,因为焦点F1和F2关于y轴对称，所以,则P（3，）， 所 故填7.,1.椭圆的定义及其标准方程 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.,(2)椭圆的标准方程是 (ab0)或(ab0). (3)椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是a2=b2+c2. (4)形如Ax2+By2=C的方程，只要A、BC为正数，且AB就是椭圆方程，可化为标准形式：,、,2.椭圆的简单几何性质 (1)椭圆 (ab0)上的点中，横坐标x的取值范围是-a,a，

6、纵坐标y的取值范围是-b,b，=2c，若2a，则点P的轨迹不存在，若=2a，则点P的轨迹是线段F1F2.,(2)椭圆的对称轴为x轴和y轴，椭圆的对称中心为原点，对称中心叫椭圆的中心. (3)椭圆 (ab0)的四个顶点是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)，它们是椭圆与其对称轴的交点. (4)离心率范围是(0，1).,重点突破：椭圆的定义及其标准方程 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为2 -2，求此椭圆的方程. 设所求椭圆或 (ab0)，根据题意列出关于a,b,c的方程组，从而求出a,b,c的值.,设所求椭圆或

7、(ab0)， b=c a-c=2 -2 a2=b2+c2 (舍去). 则所求椭圆 求椭圆的方程，借助于数形结合，先定位分析焦点所在的位置，再用待定系数法，将已知条件代入求解.,则,，解得,a=2 b=2 c=2,，或,a=6 -8 b=4 -6 c=4 -6,已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为5和3，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆方程. 设所求椭圆或 (ab0)，两个焦点分别为F1,F2. 则由题意得：所以a=4.,在方程中令x=c，得 在方程中令y=c，得 依题意知 =3，所以b=2 . 则椭圆方程为或 .,重点突破：椭圆的几何性质 已知P点为椭圆

8、+y2=1上的点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且F1PF2=60,求F1PF2的面积. 求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题，常用正，余弦定理进行求解.,依题意得， 在F1PF2中，由余弦定理得 解得 则F1PF2的面积为,圆锥曲线定义与三角形的有关性质相结合是解本题的关键，常用的解题技巧要熟记于心.,已知P为椭圆 +y2=1上的动点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且F1PF2=,求当取最大值时，点P的位置. 设 则m+n=4，,在F1PF2中，由余弦定理得 因为m+n=4,m0,n0，所以mn 当且仅当m=n时“=”取得，所以cos-. 所以当取得最大值时，点P在短轴的两个顶点处.,重点

9、突破：直线与椭圆的位置关系 已知直线l：y=x+m与椭圆 相交于P,Q两点. ()求实数m的取值范围. ()是否存在实数m，使得等于椭圆的短轴长；若存在求出m的值，若不存在，请说明理由.,()联立直线与椭圆的方程，由0解得. ()假设存在，由弦长公式 可解得m的值，检验m是否满足0的条件. y=x+m 整理得5x2+6mx+3m2-6=0. 由已知得，=36m2-20(3m2-6)0，解得- m .,()联立,()设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则由() x1+x2= x1x2= 所以,知,由得 解得 因为0m2=5所以存在实数m=，使得PQ等于椭圆的短轴长. 直线方程与椭圆方程联立，消

10、元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线与椭圆相交，相切，相离.第()题求出m值要检验是否满足0.,在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长. 当直线斜率不存在时，M不可能为弦的中点，所以可设直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程，整理得： (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0， 显然1+4k20，=16(12k2+4k+3)0.,由于 解得k=-. 故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0. x+2y-4=0 x2+4y2=16 所以y1=0,y2=2. 所以弦长,由,得y2-2y=0，,如图所示，已知

11、A,B,C是椭圆E： (ab0)上的三点，其中A点的坐标为（2 ，0），BC过椭圆的中心O,且ACBC,()求点C的坐标及椭圆E的方程； ()若椭圆E上存在两点P,Q,使得PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明.,()利用RtAOC，可求出C点坐标. ()判断向量PQ与AB是否共线，可从PQ与AB的斜率入手. ()因为且BC经过原点，所以 又A(2，0)，ACB=90，所以C(,)，且a=2代入椭圆方程得： 则椭圆E的方程为,解得b2=4.,()对于椭圆上的两点P、Q，若PCQ的平分线总垂直于x轴,则PC与CQ所在直线关于直线x=3对称，设直线PC的斜率为k，则

12、直线CQ的斜率为-k，所以直线PC的方程为y- =k(x- ), 即y=k(x- )+ . 直线CQ的方程为y=-k(x- )+ . 将代入 得： (1+3k2)x2+6 k(1-k)x+9k2-18k-3=0， ,因为C（ , ）在椭圆上，所以x= 是方程的一个根. 所以 所以 同理可得： 所以,因为C（ , ），所以B（- ,- ），又A（2 ，0）， 所以 所以kAB=kPQ，所以向量PQ与向量AB共线. 平面向量作为数学解题工具，常与平面解析几何综合考查，在向量与解析几何的综合性问题中，写出向量的坐标是关键.过在椭圆上的点作直线时，切记此点的横坐标是直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一

13、个根.,1.求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹方程法和待定系数法，(1)由椭圆的几何性质直接求出参数a,b；(2)先设出椭圆的标准方程，根据已知条件列出方程，用待定系数法求出参数a,b.,2.解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决.设直线l与曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点， 则 3.椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形的相关问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.,1.（2009浙江卷）已知椭圆 （ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若则椭圆的离心率是（

14、 ） A.B. C.D.,D,对于椭圆，因为则OA=2OF，所以a=2c，所以e=，选D. 对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用.,2.（2009福建卷）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:（ab0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l:x=分别交于M,N两点. （）求椭圆C的方程； （）求线段MN的长度的最小值；,（）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由.,解法1：()由已知得,椭圆C的左顶点为A(

15、-2，)，上顶点为D(0,1)，所以a=2,b=1. 故椭圆C的方程为 +y2=1. ()直线AS的斜率k显然存在，且k0， 故可设直线AS的方程为y=k(x+2)，从而M y=k(x+2) +y2=1,由,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.,设S（x1,y1），则（-2）x1= 得 从而 即 又B(2,0),故直线BS的方程为y=- (x-2). y=-（x-2） x=,由,，得,x=,所以N 故 又k0,所以 当且仅当即k=时等号成立. 所以k=时，线段MN的长度取最小值.,()由()可知，当MN取最小值时，k= . 此时BS的方程为x+y-2=0,S(), 所以 要使椭

16、圆C上存在点T,使得TSB的面积等于，只须点T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于 的直线l,上.,设直线l:x+y+t=0, 则由 解得t=-或t=-. x+y-=0, 得5x2-12x+5=0. 由于=440,故直线l与椭圆C有两个不同的交点；,当t=-32时，由,x+y-=0, 得5x2-20 x+21=0. 由于=-200，故直线l与椭圆C没有交点. 综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得TSB的面积等于.,当t=-时，由,解法2：()同解法1. ()设S(x0,y0)，则 所以 故 设则yM0,yN0.,则 所以 故 当且仅当yM=(-

17、yN)=时，等号成立. 即MN的长度的最小值为.,()由()可知，当MN取最小值时，N( ),因为B(2,0),所以kBS=kBN=-1. 此时BS的方程为x+y-2=0,S(),所以 设与直线BS平行的直线方程为x+y+t=0. x+y+t=0 +y2=1,由,，得5x2+8tx+4t2-4=0.,当直线与椭圆C有唯一公共点时，有=64t2-20（4t2-4）=0,解得t=. 当t=时，两平行直线BS:x+y-2=0与l1:x+y+ =0间的距离 当t=- 时，两平行直线BS:x+y-2=0与l2:x+y- =0间的距离,因为STSD=，且|BS|=，故TSB在BS边上的高 因为d2dd1，所以椭圆C上存在两个不同的点T,使得TSB的面积等于. 即线段MN的长度最小时，椭圆C上仅存在两个不同的点T,使得TSB的面积等于.,本小题主要考查直线，椭圆，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.,