09全国高中数学联赛试题及答案.doc

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1、2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。

2、一 试一、填空（每小题7分，共56分）1 若函数且，则 2 已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 3 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 5 椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 6 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的

3、，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）二、解答题1 （14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 2 （15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和 3 （15分）求函数的最大和最小值 加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9 如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆10 求证不等式：，2，11 设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素12 在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质20