【初中数学解题技法】圆中最定值（修订版）.docx

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1、圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、如图，AB是O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_1、已知圆O的面积为3，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为_2、如图，菱形ABC中，A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_ 类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,最大值为A

2、 P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，请求出AB长度的最小值1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB的最小值为_2、四边形ABCD中，ADBC，A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将ABP沿BP所在直线翻折得到QBP，则CQD的面积最小值为_类型三、 随动位似隐圆例、在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6点D是边AC上一

3、点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD，点F始终为BD的中点，则将线段CF最大值为_分析：易知D轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=1/2 AD=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。思路2：倍长BC到B，则CF为BDB的中位线，CF=1/2 BD,当BD最大时，CF也取最大值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。 【方法归纳】、如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1中点。、构造中

4、位线1、如图，在RtABC中，ACB = 90，D是AC的中点，M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是_ 2、如图，ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为_类型四、定性分析垂线段最短例、如图，半圆O的半径为1，ACAB，BDAB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_【分析】：思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC面积取最大值，

5、则使CPD面积取最小即可，CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点P到CD距离最小。C、D、O为定点，则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长，由勾逆知OCCD，设点P到CD距离为h，则h+rOC，hOC-r，即当O、P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故OC与圆O交点即为所求点P。思路2：P点的确定也可以这样想，平移CD，设平移后的直线为m，则直线m与CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线m与圆O相切时，高h有最小值。 1、如图，P为圆O内一个定点，A为圆O上一个动点，射线AP,AO分别与圆O交于B，C两点，若圆O

6、的半径为3，OP=3 ，则弦BC的最大值为_2、如图，AB为O的直径，C为半圆的中点，C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与C切于点M，则PM的取值范围为_ 类型五、定弦定角【基本原理】如图1O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则ACB的度数不变逆运用如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且ACB=（为固定值）点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合） 图1 图2例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤1、_步骤2、_练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB

7、外一点，且满足ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角AOB=_2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹, 【实战应用】例、如图，O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C，则ABC的最大面积是_1、如图，ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BEAD于E，则CE的最小值为_2、如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为_类型六、定弦定角反客为主例、如图，XOY = 45，一把直角三角尺ABC的两个顶点

8、A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到顶点A的距离最大值为_点O到AB的距离的最大值为_【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将ABC固定，将XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点O在圆上运动至何处时，点O到AB距离最大。1、如图，D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点，且DE=22 ,以DE为边向外作正方形DEFG，则AF的最大值为_2、如图，ABC中，ABC= 45，AC=

9、2，半径为5的圆O始终过A、C两点，连接OB，则线段OB长的的最大值为_ 类型七、定弦定角条件的确定例、如图，扇形AOD中，AOD=90，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQOD于点Q，点I为OPQ的内心，则当点P在弧AD上运动时，求I点运动路径长。分析：由内心的基本结论知 PIO=90o+1/2PHO=135o为定角，但其所对的边OP并非定弦，连ID，易证 AIOOID，OID=PIO=135O,且其所对的边为OD，符合定弦定角条件，故I点轨迹为圆弧，问题易解。1、如图，边长为3的等边ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BDCE，AD、BE交于P点，则CP的最小值

10、为_2、如图，AC3，BC5，且BAC90，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）类型八、隐切线例、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当 ACB最大时，则点C的坐标为_分析：将 ACB看作以AB为弦的圆上的角，则圆心在AB的垂直平分线上，当圆心运动时， ACB的大小也随之改变，又因为点C为为y轴上的点，所以可将点C理解为圆O与y轴交点。Y轴与圆o的位置关系有两种：相交或相切，当圆O与y轴相交时，记交点为C1，当圆O与y轴相切时，记交点为C，如图所示， AC1B= AC2B,由圆上的角大于圆外的角可知， ACB AC

11、2B，故当圆O于y轴相切时， ACB有最大值。考虑对称性可知，点C的位置有两个，y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点。 1、已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当 ACB最大时，点C的坐标为_2、在RtABC中，BAC=30，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且CPQ=90，则线段CQ长的最小值=_类型九、捆绑旋转例、已知A（2，0），B（5，0），点P为圆A上一动点，圆A半径为2，以PB为边作等边PMB，求线段AM的取值范围。 分析：思路1：要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和PBM共顶点B

12、的等边ABH，则APBHBMHM=PA=2，所以点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点。AM过圆心时取得相应最大和最小值。思路2：线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到，当点P在圆A上运动时，作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，则其应点的集合就是点M运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到，所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时针旋转60度得到。想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度 1、如图，已知A（2，0），圆O半径为1，点B为圆O上一动点，点C在第一象限，且ABC为等腰直角三角形，BAC=90度，求线段OC的最大值_

13、2、如图，AB为O的直径，AB=4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在O外作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD当点C运动时，则线段OD的最大值为_ 类型十、半径不确定的处理策略例、在ABC中,AB=4,BC=6,ACB=30,将ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_,最小值为_分析:显然BP=BP1,P1点轨迹为以B为圆心，BP为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定，因为点P为AC上动点，则BP长度有最小值和最大值。如图当BP垂直AC时，半径最小，当P与C重合时，半径最大，由图可知P1点轨迹为以B为圆心的无数个同心圆。不难确定其最小值和最大值1、在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180），得ABCE为AC的中点，AB中点为P，AC=4cm，则EP的最大值为_2、在ABC中，AB=AC=5，BC=6，将ABC绕点C顺时针方向旋转，得到A1B1C, 点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差14