5最值系列之阿氏圆问题.doc

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1、 最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，则证明：，即（2）外角平分线定理：如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则证明：在BA延长线上取点E使得AE

2、=AC，连接BD，则ACDAED（SAS），CD=ED且AD平分BDE，则，即接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，故M点为定点，即APB的角平分线交AB于定点；作APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，故N点为定点，即APB外角平分线交直线AB于定点；又MPN=90，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来

3、先看个例子：如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为_【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得CPACMP，故PA：PM=2:1，即PM=问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可【问题剖析】（1）这里为什么是？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是，也只能构造（2）如果问题设计为PA

4、+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=1，即可确定M点位置 如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，P

5、A=6，亦满足PM:PA=1:2【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置，虽不够严谨，却很实用【练习1】如图，在中，ACB=90，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，对于PDM，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值6