常微分方程证明题及答案(9页).doc

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1、-常微分方程证明题及答案-第 61 页证 明 题（每题10分）1、设函数f (t)在上连续且有界，试证明方程的所有解均在上有界.证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有 现只证x(t)在t0,+)有界，设|f(t)|M ,t0+)于是对t0t04、设函数y (x)在上连续且可微，且试证05、若y1(x),y2(x)为微分方程的两个解，则它们的朗斯基行列式为其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数6、求微分方程的通解7、解方程8、解方程9、解方程10、解方程11、已知是连续函数。（1）求初值问题的解，其中是正常数。（2）若（为常

2、数），证明当时有。12、已知当时具有一阶连续导数，且满足（1）求；（2）证明：当时有。13、设是方程的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒等式： （为常数）14、当时，连续且。证明：方程 （1）在区间上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。15、设函数连续可微，且，试证方程孙有积分因子 16、证明方程具有形如的积分因子的充要条件为 ，并求出这个积分因子。17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设为非负常数，和是区间上的非负连续函数，且满足不等式 则有 ， 。18、设在方程中，在某区间上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的

3、朗斯基行列式是区间上的严格单调函数。19、假设是二阶齐次线性方程 的解，这里和是区间上的连续函数。试证：为方程的解的以要条件是。其中表示的朗斯基行列式。20、在方程中，在上连续，且。试证明：已知方程的任一解均有。21、设为连续函数，且满足。求证：22、设是常系数线性方程组的基解矩阵，适合条件，试证对任何成立等式 .23、设是连续的阶方阵，存在，且适合关系，.试证：存在阶常值方阵A，使得。证明题附加题1，设方程中的和在上连续，且，试证：对方程任一非零解，函数为单调递增的。2，设函数在上连续，且，且（为常数），试证：方程的解在上有界。3，若为微分方程的两个解，则它们的朗斯基行列式为，其中由确定的常

4、数。4，已知方程 （1）其中是上的连续函数，若为（1）的两个解，则恒等于常数。5。设是二次可微函数，且，证明：若在某不同两点处的函数值为0，则在该两点之间恒为零。6，设是微分方程的一个解，证明此方程满足条件 的特解为。7，设具有连续二阶导数，且曲成积分 与路径无关，证明：。证 明 题 答 案 1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t00+)由一阶线性方程的求解公式有 现只证x(t)在t0,+)有界，设|f(t)|M ,t0+)于是对t0t+有 |x0|+Me-t |x0|+M |x0|+M 即证 2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x

5、0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有现只证y(x)在x0,+)有界，,t0+), 不妨设x0充分大 于是对x0x0,使当x x0时,有|p(x)|M1 |y0|+(-) |y0|+ |y0|+ 即证 3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线形方程的求解公式有 两边取极限4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有两边取极限=0+5、证明：由朗斯基行列式定义有()= 用分离变量法求解有显然k为由确定的常数 6、解：因所以方程仅有与X有关的积分因子 M(x)=则：故：7、解：原方程化为积

6、分得故8、解：方程化为这是齐次方程，令y=ux，则有-lnu-ln(1+lnu)=lnx+lnc从而通积分9、解：首先，易知均x=1,y=1为方程的解其次，由方程得到即10、解：分离变量得 积分得故11、证：（证法一）（1）原方程的通解为记为的任一原函数。由 得到 。所以 （2）（证法二）（1）在方程两边乘以（积分因子） 从而 由 得到： 即 （2）证法同上12、解：（1）由题设知。则 且令 两边求导得到 设 得 两边积分得 代入初始条件 故 （2）利用拉格朗日中值定理知：当时 在0和之间于是 另外 所以 在单调增加，而。故当有。从而 当时 。13、证：由通解公式知：任一解可由公式 （1）表示

7、，其中C为对应的某常数。也应具有上述形式，设它们分别对应常数且，则由（1）式得 14、证：方程（1）的通解为 （2） 1）取（由假设知，此广义积分收敛），得解 （3）则由，易证 此即为（1）的一个有界解。2）若，对（1）中确定的解（3），当有令，则上式右端为 所以也是以为周期的周期函数。15、证：用乘方程两端，得 (1)因为 所以（1）是全微分方程。16、证：方程有积分因子的充要条件是 ，令，则有 即满足下列微分方程 上式右端应为的函数，这就证明了为方程的积分因子的率要条件为 求解（1）式得 。17、证：1）时，令 则，由可得 两边从到积分得 即有 所以 即有 ， 。2）时，对任意，由于，所以

8、。由1），有。当时，有。因为，即得。从而 由1），2）知，不等式成立。证毕。18、证：设是已知方程的定义在区间上的任意两个线性无关的解。根据刘维尔公式有 其中。考察 由于，在上恒不等于零，并且，故在上恒为正或恒为负，从而在上是严格单调函数。19、证：充分性。因为 而是已知方程的解，所以故有 ， 即是已知方程的解。必要性。因为为方程的解的朗斯基行列式即满足 。20、证：已知方程对应的齐次方程的通解为 现在利用常数变易法求已知方程形如 的一个特解。得到所满足的方程组 解得 故已知方程的通解为 （1）由洛必达法则 同理可证 由（1）式即得 即证明了已知方程的任一解，当时，均有趋向于零。21、证：这是一个含求知数的积分方程，将它转化为微分方程求解。即 （1）并且，由已知方程知 （2）解（1）得 再将初始条件（2）代入上式，得 故 .22、证：令 （是常向量）那么 （1） （2）因为是的基解矩阵，所以（1）、（2）两式还成立又因为，所以有 所以根据解的唯一性定理可知 因而有 证毕。23、证：因为 （1）若令，则有 （2）由于，所以存在。那么由（2）式可得 （3） 由（2）、（3）两式可得 ， 即 若在（1）式中令，则有，因而 在两边乘，得 此时若令，并注意到，则有 取，则有 证毕。