专题5.7-用待定系数法确定二次函数的表达式(知识讲解).pdf

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1、1专题专题 5.7用待定系数法确定二次函数的表达式用待定系数法确定二次函数的表达式（知识讲解）（知识讲解）【学习目标】【学习目标】1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2.经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的【要点梳理】【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2yaxbxc(a，b，c 为常数，a0)；(2)顶点式：2()ya xhk(a，h，k 为常数，a0)；(3)交点式：12(

2、)()ya xxxx(1x，2x为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a0)2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2yaxbxc或2()ya xhk，或12()()ya xxxx，其中 a0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释：要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物

3、线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2yaxbxc；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为2()ya xhk；当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为12()()ya xxxx【典型例题】【典型例题】2类型一、类型一、用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式1已知二次函数的图象过（1，9）、（1，3）和（3，5）三点，求此二次函数的解析式.【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，由题意得：53939cbacbacba解得531cba所求的二次函数的解

4、析式为 y=-x2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c(a0).举一反三：举一反三：【变式】【变式】已知二次函数图象过点 O（0，0）、A（1，3）、B（2，6），求函数的解析式和对称轴【答案与解析】解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，把 O（0，0）、A（1，3）、B（2，6）各点代入上式得解得，抛物线解析式为 y=2x2+x；抛物线的对称轴 x=2 已知抛物线的顶点坐标为 M（1，2），且经过点 N（2，3），求此二次函数的解析式【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为 M（1，2），设此二次函数的解析式为 y=a（x1）22，把

5、点（2，3）代入解析式，得：3a2=3，即 a=5，此函数的解析式为 y=5（x1）22【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：举一反三：【变式】变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A，且过点(3 0)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223yxx（2）令0y，得2230 xx，解方程，得13x，21x 二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3 0)，和(10)，二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点平移后所得图象与x轴的另一

6、个交点坐标为(4 0)，.3 抛物线的图象如图，则它的函数表达式是当 x时，y0【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式y0 时，求 x 的取值范围，即求抛物线落在 x 轴上方时所对应的 x 的值【答案】y=x24x+3x1，或 x3【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），由“交点式”，得抛物线解析式为 y=a（x1）（x3），将（0，3）代入，43=a（01）（03），解得 a=1故函数表达式为 y=x24x+3由图可知当 x1，或 x3 时，y0【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关

7、系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解类型二类型二、用待定系数法解题用待定系数法解题4已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与 y 轴交于点 C(1)求二次函数解析式；(2)求ABC 的面积【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)ya xx(a0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a，1a (2)(4)yxx 即228yxx(2)由(1)知 C(0，8)，1(42)8242ABCS【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点将抛物线解析式设成顶点式