高考数学压轴题常考题型81页(70页).doc

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1、-高考数学压轴题常考题型81页-第 69 页高考数学压轴题常考题型 20 组 类 型1二次函数2复合函数3创新性函数4抽象函数5导函数（极值，单调区间）-不等式6函数在实际中的应用7函数与数列综合8数列的概念和性质9Sn与an的关系 10创新型数列11数列与不等式12数列与解析几何13椭圆14双曲线15抛物线16解析几何中的参数范围问题17解析几何中的最值问题18解析几何中的定值问题19解析几何与向量20探究性问题1.二次函数1. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为 的不动点（1）当时，求的不动点；（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（3）在(2)的条件下，若的

2、图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围分析 本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力 函数与方程思想解： ，（1）当时，设为其不动点，即，则所以，即的不动点是.（2）由得.由已知，此方程有相异二实根，所以，即对任意恒成立（3）设，直线是线段的垂直平分线，记的中点，由(2)知在上，化简得：，当时，等号成立即例2 已知函数，若对任意，且，都有 （）求实数的取值范围；（）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得 时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值解：（） ， ，实数的取值范围为 （），显然，对称轴。（1）当，即时，且令，解得，此时取

3、较大的根，即， （2）当，即时，且令，解得，此时取较小的根，即， 当且仅当时，取等号，当时，取得最小值3 2 复合函数1已知函数满足，其中，且。（1）对于函数，当时，求实数m的取值范围；（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。解： 且设，则 当时， 在其定义域上当时， ， 在其定义域上 且，都有为其定义域上的增函数又 为奇函数（1） 当时， （2）当时， 在上，且值域为 例2. 函数是的反函数，的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形，记。 （1）求的解析式及其定义域；（2）试问的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。解：（1）

4、 的图象与的图象关于直线成轴对称图形 的图象与的图象关于直线对称即：是的反函数 （2）假设在的图象上存在不同的两点A、B使得轴，即使得方程有两不等实根设，则在（，1）上且 ， 使得方程有两不等正根设，由函数图象可知：，方程仅有唯一正根 不存在点A、B符合题意。3. 设且为自然对数的底数，函数f（x） （1）求证：当时，对一切非负实数x恒成立； （2）对于（0，1）内的任意常数a，是否存在与a 有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由.分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归（转化）思想方法解：（1）当

5、令上单调递增，（2）（1），需求一个，使（1）成立，只要求出的最小值，满足上在，只需证明内成立即可，令为增函数，故存在与a有关的正常数使（1）成立。3.创新型函数1.在R上定义运算（b、c为实常数）。记，.令.（）如果函数在处有极值,试确定b、c的值；（）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；（）记的最大值为.若对任意的b、c 恒成立，试示的最大值。解：（）由在处有极值，可得，解得或若，则，此时没有极值；若，则。当变化时，、的变化情况如下表： 0+单调递减极小值-12单调递增极大值单调递减当是，有极大值，故即为所求。（）设曲线在处的切线的斜率为，即。解得或。若，则，得切点为，切线方程为；若，

6、则，得切点为，切线方程为。若，解得，则此时切线与曲线的公共点为，；(2)若，解得，此时切线与曲线的公共点为，。综合可知，当时，斜率为c的切线与曲线有且只有一个公共点；当，斜率为c的切线与曲线有两个不同的公共点，分别为和或，。(1)当时，函数的对称轴位于区间外，在上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个。，即(2)当得对称轴x=b位于区间之内此时由若于是若，则，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 。例2设函数,其中表示不超过的最大整数,如. ()求的值; ()若在区间上存在x,使得成立,求实数k的取值范围;()求函数的值域. 解:()因

7、为,所以 ()因为,所以, 则. 求导得,当时,显然有, 所以在区间上递增, 即可得在区间上的值域为, 在区间上存在x,使得成立,所以 ()由于的表达式关于x与对称,且x0,不妨设x1. 当x=1时,=1,则; 当x1时,设x= n+,nN*,01. 则x= n,所以 , 在1,+)上是增函数,又, , 当时, 当时, 故时,的值域为I1I2In 设, 则. , 当n2时,a2= a3 a4 an b3 bn a2,b2)= I2I3I4In I1I2In=I1I2 =. 综上所述,的值域为例3.我们用和分别表示实数中的最小者和最大者.（1）设，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）提出下面的

8、问题：设，为实数，求函数（）的最小值或最大值为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决两个特例：求函数和的最值。得出的结论是：，且无最大值；，且无最小值请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）解：（1）， （2）若选择学生甲的结论，则说明如下， ，于是在区间上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，所以函数的最小值是，且函数没有最大值 若选择学生乙的结论，则说明如下， ，于是在区间上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数 所以函数的最大值是，且函数没有

9、最小值（3）结论：若，则；若，则；若，则， 以第一个结论为例证明如下： ， 当时，是减函数，当时，是增函数当时，函数的图像是以点，为端点的一系列互相连接的折线所组成，所以有4.抽象函数1. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+),求解：(1)因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2，f()=f(+)=f()f()=f（）

10、2又f(1)=a0f()=a,f()=a证明：(2)依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.解：(3)由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()=a，f()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a，例2. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(

11、x)1。（1）判断f(x)的单调性；（2）设，若，试确定a的取值范围。解：（1）在中，令，得，因为，所以。在中，令因为当时，所以当时而，所以又当x=0时，所以，综上可知，对于任意，均有。设，则所以所以在R上为减函数。（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有，又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。5.导函数不等式1. 已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：分析：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方

12、法，考查分析问题、解决问题的能力。解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是由此得，故2. 设，对任意实数，记（）求函数的单调区间；（）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、化归（转化）思想方法（I）解：由，得因为当时

13、，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，；当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任

14、意正实数成立3. 定义函数f n( x )(1x)n1, x2，nN*(1)求证：f n ( x ) nx；(2)是否存在区间 a，0 (a0)，使函数h( x )f 3( x )f 2( x )在区间a，0上的值域为ka，0?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间a，0，若不存在，说明理由.分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力分类讨论、数形结合思想方法解：(1)证明：f n( x )nx(1x)n1nx，令g( x )(1x)n1nx , 则g( x )n(1x)n11.当x(2，0)时， g( x )0,当x(0，）

15、时，g( x )0，g( x )在x0处取得极小值g( 0 )0，同时g( x )是单峰函数，则g( 0 )也是最小值.g( x )0,即f n ( x )nx(当且仅当x0时取等号). 注：亦可用数学归纳法证明.(2)h( x )f 3( x )f 2( x )x( 1x )2h( x )(1x)2x2(1x)(1x)(13x)令h(x)0, 得x1或x ，当x(2，1)，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0；当x( ,)时，h(x)0.故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：当时，h(x)最小值h(a)ka k(1a)2当时h(x)最小值h(a)h()ka 当时h( x )最小值h( a

16、 )a(1a)2ka k(1a)2，时取等号.综上讨论可知k的最小值为，此时a，0，0.例4. 已知在区间上是增函数。（1）求实数的值组成的集合A；（2）设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否，使得不等式对及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力函数方程思想、化归（转化）思想方法解：（1） 在上 对恒成立即，恒有成立设 （2） 、是方程的两不等实根，且， 对及恒成立 对恒成立设， 对恒成立 满足题意5. 已知函数。（1）求函数的反函数和的导函数；（2）假设对，不等式成

17、立，求实数的取值范围。分析：本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力化归（转化）思想方法解：（1） （2） ，成立设， 恒有成立 ，在上即 在上 的取值范围是6.设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得a恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有，由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，

18、原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。6.函数在实际中的应用1. 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；

19、（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。A B C x 解:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则因为1600m1m2400,所以491

20、60160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.7. 函数与数列综合1. 已知函数与函数的图像关于直线对称（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；（2）数列中，当时，数列中，点在函数的图像上，求的值；（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在轴上的截距为，求数列的通项公式分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。转化（化归）思想，解：（1）由题可知：与函数互为反

21、函数，所以，（2）因为点在函数的图像上，所以， (*)在上式中令可得：，又因为：，代入可解得：所以，(*)式可化为： （3）直线的方程为：，在其中令，得，又因为在轴上的截距为，所以，=，结合式可得： 由可知：当自然数时，两式作差得：结合式得： 在中，令，结合，可解得：，又因为：当时，所以，舍去，得同上，在中，依次令，可解得：，猜想：下用数学归纳法证明 （1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立（2）假设时命题成立，即，则由式可得：把代入上式并解方程得： 由于，所以，所以，符合题意，应舍去，故只有所以，时命题也成立综上可知：数列的通项公式为 2、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点

22、的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；若时，不等式恒成立，求实数的取值范围解：由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证由可知：对任意自然数，恒成立由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，等价于 依题意，式应对任意恒成立显然，因为（），所以，需且只需对任意恒成立即：对恒成立记（） ，（）的最大值为， 3 已知函数，数列满足：，（1）求证：；（2）求证数列是等差数列；（3）求证不等式：分析：本小题主要考查反函数的概念、单调性、导函数、数列、不等式等基本知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力。转化（化归）思想，解：（1）由得当时，即是单调递

23、增函数；当时，即是单调递减函数；且，即是极大值点，也是最大值点，当时取到等号。(4分)（2）由得，故， 即数列是等差数列，首项为，公差为 (8分)（3）由（2）可知所以又时，有，令，则4已知函数f(x)=ln(1+x)-x1）求f(x)的单调区间；（）记f(x)在区间（nN*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.（）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（）求证： 解法一：（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f(x)=-1=.由f(x)0得-1x0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由f(x)0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(

24、II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i)又lim,因此c1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知因为2所以(nN*),则N*）解法二：（）同解法一.（）因为f(x)在上是减函数，所以则（i）因为对nN*恒成立.所以对nN*恒成立.则对nN*恒成立.设 nN*，则cg(n)对nN*恒成立.考虑因为0，所以内是减函数；则当nN*时，g(n)随n的增大而减小，又因为1.所以对一切因此c1,即实数c的取值范围是(-，1.() 由()知 下面用数学归纳法证明不等式 当n=1时，

25、左边，右边，左边右边.不等式成立. 假设当n=k时,不等式成立.即当n=k+1时，即nk1时，不等式成立综合、得，不等式成立.所以即.5. 已知Sn=1+,(nN*)，设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力 知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙 错解分析 本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把f(n)(nN*)看作是

26、n的函数，此时不等式的恒成立就转化为 函数f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2 解 Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是关于n的增函数f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此时设logm(m1)2=t 则t0于是解得0t1，由此得0logm(m1)21，解得m且m2 6. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意

27、。 分类讨论的思想方法解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n

28、2, 所以 0，且g(sn) = g(bn) + g(2+bn) - 2,(n N* )，其中Sn是数列bn的前n项和（1）求数列an、bn的通项公式；（2）若(n) = 是否存在N*，使得(+5)=2()-2成立？若存在，求出值；若不存在，说明理由；（3）求证：+ + + 0，且g(Sn) = g(bn) + g(2+bn) - 2,（ nN* ）所以2 + g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn )，即g(4) +g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn ) 所以4Sn = bn（2+bn）b2 = 2, b2 b1 = 2；由4Sn = bn (2+bn)及

29、4Sn+1 = bn+1(2 + bn+1) bn+1 - bn = 2所以bn是以0为首项，2为公差的等差数列，bn = 2n-2因为Pn( an，bn)( n N )在直线y = 2 + 2上，则bn = 2an + 2，an = n - 2（2）为偶数时，( + 5) = ak+ 5 =+ 3，2 () 2 = 2( 2 2 ) 2 = 4- 6由+ 3 = 4- 6= 3 ，与为偶数矛盾，为奇数时， (+5) = bk+5 = 2+ 8，2 () 2 = 2- 6由2+ 8 = 2- 6得不存在故满足条件的不存在（3）| P1Pn |2 =( n 1 )2 + ( 2n 2 )2 =

30、5( n 1 )2,n 2，8.数列的概念与性质1.设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和分析：本题主要考查二次方程、求数列的通项、等差等比数列的概念和性质，综合运送知识分析问题和解决问题的能力。 等价转化的思想【解析】（1）由求根公式，不妨设，得（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，综上所述，（3）把，代入，得，解得2. 设正

31、整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，；（2）求数列的通项分析：本题主要考查求数列的通项、不等式、数学归纳法证明问题等知识，以及分析问题、解决问题的能力。 分类讨论思想解：（1）据条件得 当时，由，即有，解得因为为正整数，故当时，由，解得，所以（2）方法一：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，（2）方法二：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得即由左式，得，即，因为两端为整数，则于是又由右式，则因为两端为正整数，则，所以又因时，为正整数，则据，

32、即时，成立由1，2知，对任意，3. 已知数列，其中，（），记数列的前项和为，数列的前项和为。（）求；（）设（），（其中为的导数），计算。解：（）由题意，是首项为1、公差为2的等差数列，前项和，。4已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.解：（1） ，当时，.当2时，=， 此时=，设+，6分（2）由可得当时，由，可得 对一切都成立，此时的解为.当时，由 可得对一切都成立，此时的解为.由，可知对一切，都有的的取值范围是或5数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存

33、在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有9. Sn与an的关系1 .数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. 分析：本题主要考查求数列的通项、等差等比数列的概念和性质、不等式、函数的单调性，综合运送知识分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）的思想答案：（）解：由已知：对于，总有 成立 （

34、n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1（）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 2已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：分析：本小题主要考查数列、不等式、数学归纳法、二项式定理等基本知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力。转化（化归）思想，分类讨论的思想（）解：由，解得或.由假设，因此.又由，得，即或.因，故不成立，舍去.因此，从而

35、是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为.（）证法一：由可解得从而.因此.令，则因，故.特别地，从而，即.证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式成立.由此不等式有证法三：同证法一求得及.下面用数学归纳法证明：.当时，因此，结论成立.假设结论当时成立，即，则当时，因，故.从而.这就是说当时结论也成立.综上对任何成立。10.创新型数列1.对于数列若存在常数M0,对任意的，恒有则称数列为B-数列首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；设是数列的前项和，给出下列两组论断；A

36、组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。分析：本题主要考查数列的概念和性质、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题、探索问题的综合能力。 转化思想解：（1）设满足题设的等比数列为,则，于是因此- +-+-=因为所以即 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：若数

37、列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有即。于是所以数列是B-数列。（III）若数列 是数列，则存在正数，对任意的有注意到同理：记，则有因此 故数列是数列11.数列不等式例1. 数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2.71828.（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.例2.已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（）求；（）求数列的前项的和；（）记，求证：（I）解：方程的两个根为，当时，所以；当时，所以；当时，所以时；当时，所以（II）解：（III）证明：，所以，当时，同时，综上，当时，例3. 设数列满足,其中为实数。（）证明：对任意成立的充分必要条件是,