在柱坐标系和球坐标系下计算三重积分.ppt

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9.5 在柱坐标系和球坐标系下 计算三重积分,一、在柱坐标系下的计算法,规定：,？图形,？图形,？图形,Z轴为轴的圆柱面,通过z轴的半平面,平行于xy面的平面,体积元,三次积分,次序一般是先 z 次 r后,例1,解,将 投到xoy 面得 D:,注:,若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下考虑使用柱坐标来计算。,先单后重:,解,例2,注意到,1,2,二、在球坐标系下的计算法,规定,球 面,圆锥面,半平面,如图，球面坐标系中体积元素,然后把它化成对 的三次积分,具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示,积分次序通常是,（1）如积分区域的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面，其球面坐标为：,=,解,注,若:积分区域为球体、球壳或其一部分;,被积函数呈,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单,通常采用球坐标。,类似，例如：P245 例9.5.2,三、小结,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,球 面,圆锥面,半平面,圆柱面,半平面,平面,解一,用球坐标,解二,用柱坐标,