高中数学备考——一元三次方程讲练故事.doc
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1、2021高中数学备考一元三次方程讲练故事听说解不开一元二次方程的两个根的人无法寻找到自己的另一半。一元二次方程真的和少男少女们心灵碰撞了好多年,那熟悉的二次三项式轮回轰炸,又有多少青少年从解一元二次方程的枪林弹雨中能够冲过来,于是那些女生们善于直接开方法、公式法走出了困境,那些男生们享用因式分解法、配方法登上山峰,虽然都很艰难,但都做出了像样的努力,从这座山走到了那座山.可是一元三次方程是一座高高的山,能登上山的人却是很少的几个人。那座高高的山,就是那一元三次方程,比那一元二次方程只是多了一个次幂,只是多了一个三次项,可是它的解法好难好难。就像大峡谷中的悬崖古寨,在四周开阔之处兀然伫立,比河谷
2、高出一二百米。相比一元二次方程,一元三次方程的求解像一个非常险要的地形,几乎让人们望而生畏。那标准型的一元三次方程是这样的:aX3+bX2+cX+d=0(a,b,c,dR,且a0),现在流传的解法只有:1.意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2.中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便,相比之下,盛金公式虽然形式简单,但是整体较为冗长,不方便记忆,但是实际解题更为直观。你想看看他们的解法吗?卡尔丹开始将三次四项式化为一元三次方程:x3+px+q=0。它的解是:如果按照标准型的方程直接求解,那么标准型方程中卡尔丹公式的一
3、个实根是:X=+居然这么复杂,你想记住它吗?在你记一元二次方程求根公式时,是否有过为难情绪?现在让你来记住一元三次方程求根公式,你会怎么想啊?原来一元二次方程求根公式是那样的美,那样地简单,不比不知道,一比吓一跳吧。1545年,意大利学者卡尔丹(Cardano G.,1501-1576年)所著的关于代数的大法中给出了一元三次方程x3+px+q=0,(p,qR)的求根公式,对标准型的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0,(a,b,c,dR,a0),则可做变量代换化为x3+px+q=0进行求根。可是发现此公式的真正的人是塔塔利亚,塔塔利亚曾据此与许多人进行过解题竞赛,他往往是胜利者,因而他在意
4、大利名声大震。许多资料都记述过塔塔利亚与卡尔丹在一元三次方程求根公式问题上的争论,但是卡尔丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己,而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现;而且证明过程是卡尔丹自己给出的,说明卡尔丹也做了工作。卡尔丹把求根公式公之于世,加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。一元三次方程应有三个根,塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后,随着人们对虚数认识的加深,到了1732年,才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。解一元三次方程还可以用我们中国的盛金公式求解,算法高效且求出来的解精确。八十年代,中国中学数
5、学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索,发明了比卡尔丹公式更适用的新根公式盛金公式,并建立了简明的、直观的、使用的新判别法 盛金判别法,同时提出了盛金定理,盛金定理清晰地回答了解一元三次方程的疑惑问题,并且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式和总判别式来构成,体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。我们一起来欣赏一下。一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,dR,且a0)。重根判别式:A=b23ac;B=bc9ad;C=c23bd,总判别式:=B24AC。总判别式居然和一元二次方程的判别式一样,是不是有一种老朋友相见的情趣。有了判别式我们可以分类给出方程的解
6、。1.条件一:当A=B=0时,方程有一个三重实根:X=X=X=。2.当=B24AC0时,方程有一个实根和一个共轭虚根:X=(b);X(2,3)=(2b+)i(),其中Y(1, 2)=Ab+,i2=1。3.当=B24AC=0时,方程有三个实根,其中有一个为两重根:X=+K;X=X=K,其中K=,(A0)。4.当=B24AC0,1T1)可见登上一元三次方程的求解山顶确实很难,无论是1545年的意大利的卡尔丹公式法,还是1989年中国学者范盛金发表的盛金公式法,都是经过了艰难的探索才在高高的古寨里凿出一条通道来。那么一元三次方程的古寨再有没有人们探索的足迹?那个高高的山顶可不可以多几条通道让人们登攀
7、。探索的一种新的求解方法,独特而新颖,我们称为一元高次方程的“万高通道方法”,显然,这个方法是我们在攀登一元三次方程那座高山的时候,为你找到了上山的另外一个通道。万丈高楼平地起,盘龙卧虎高山顶,我们的“万高通道方法”既有这首歌词的意境,又有两位作者名字的纪念。是的,我们要寻找出一条从山底走向山顶的通道。我们首先给出一句话,让你有一个大体的了解,我们求解一元二次方程,需要从一元一次方程着手,求解一元三次方程,需要从一元二次方程着手,求解一元k次方程,需要从一元k-1次方程着手,这层层而上的求解过程,令人拍手称快。大家一定想看看吧。我们需要特别指出,原来一元一次方程和一元二次方程存在一个通道,一元
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