学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何..空间中的距离训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx
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1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.5空间中的距离课后篇稳固提升必备知识根底练1.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,那么E,F两点间的距离为()A.1B.52C.62D.32答案C解析以点A为原点,建立如下图的空间直角坐标系,那么点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+(2-22)2=62,应选C.2.平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,那么点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.83D
2、.103答案D解析由得PA=(1,2,-4),故点P到平面的距离d=|PAn|n|=|-2-4-4|3=103.3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,那么点A到直线BE的距离是()A.655B.455C.255D.55答案B解析建立空间直角坐标系如下图,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),那么BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),设ABE=,那么cos=|BABE|BA|BE|=225=55,sin=1-cos2=255.故A到直线BE的距离d=|AB|sin=2255=455.4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB
3、=12,那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5B.8C.6013D.133答案C解析方法一以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系,那么C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=(0,0,-5).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由nBC,nCD1,得nBC=(a,b,c)(-x,0,0)=-ax=0,nCD1=(a,b,c)(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=512c,所以可取n=(0
4、,5,12).又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1Bn|n|=6013.因为B1C1平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.方法二因为B1C1BC,所以B1C1平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1EA1B于点E.因为BC平面A1ABB1,且B1E平面A1ABB1,所以BCB1E.又BCA1B=B,所以B1E平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在RtA1B1B中,B1E=A1B1B1BA1B=12552+122=6013,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为
5、6013.5.ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.假设球O的外表积为16,那么圆心O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.32答案C解析由题意可知图形如图,ABC是面积为934的等边三角形,可得34|AB|2=934,即AB=BC=AC=3,所以AO1=23323=3,球O的外表积为16,设球O的半径为R,所以4R2=16,解得R=2,所以圆心O到平面ABC的距离为4-3=1.6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120的二面角,那么AB的长度为.答案211解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A,B,那么|AA|=3,|BB
6、|=2,|AB|=5,又AB=AA+AB+BB,|AB|2=32+52+22+23212=44,|AB|=211.7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,那么点D1到直线GF的距离为.答案423解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如下图的空间直角坐标系,那么D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以|GFGD1|GF|=2-13=13,|GD1|=5,所以点D1到直线GF的距离为5-13=423.8.如图,在三棱柱
7、ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1底面ABC,那么点B1到平面ABC1的距离为.答案217解析建立如下图的空间直角坐标系,那么A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),那么C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),那么有C1An=32x+12y-1=0,C1Bn=y-1=0,解得n=33,1,1,那么所求距离为|C1B1n|n|=113+1+1=217.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BAC=90,M为BB1的中点,N为BC的中点.(
8、1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.解(1)建立如下图的空间直角坐标系,那么A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=|AM|2-|AMs0|2=5-12=322.(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),那么nA1C1=0,且nA1M=0,即(x,y,z)(0,2,0)=0,且(x,y,z)(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1
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