学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何单元素养评价含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1设直线l方向向量v，平面的法向量n，若l，则x()A1 B0 C5 D4【解析】选A.由l，则vn，则存在非零常数，使得vn，即解得x1.2空间中，与向量a(3，0，4)同向共线的单位向量为()Ae(1，0，1)Be(1，0，1)或e(1，0，1)CeDe或e【解析】选C.因为|a|5，所以与a同向共线的单位向量e(3，0，4).3已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A， B，C， D，【解析】选A.由于(DD1)，所以m，n.4如图，在棱长为

2、1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是()A B C D【解析】选B.如图建立空间直角坐标系，则O，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，所以，由于AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以ABA1D，又AD1A1D，ABAD1A，所以A1D平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量为(1，0，1)，所以点O到平面ABC1D1的距离为d.5已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(1，3，1)，则()A与是共线向量B的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面ABC的一个法向量是【解析】选D.

3、由题意，对于A中，因为，则与不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为，所以的单位向量为或，所以是错误的；对于C中，向量，所以cos ，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是n，因为，所以令x1，则y2，z5，所以平面ABC的一个法向量为n，所以是正确的6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A B C2 D【解析】选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2).设ADa(0a2)，则点D的坐

4、标为(1，0，a)，(1，0，a)，(0，2，2).设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a，1，1).又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos 60，得，即a，故AD.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：AC1EG；GCED；B1F平面BGC1；EF和BB1所成角为.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选C.设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A，C1，G，C，E，D，B1，F，B.，2200，所以AC1EG，故正确，不存在实数使，故GCED不成立，故错误

5、，0，20，故B1F平面BGC1不成立，故错误，设EF和BB1所成角为，则cos ，由于，所以，故正确综上所述，正确的命题有2个8已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60， 则直线 BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于()A B C D【解析】选B.直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60，取AB中点E，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则B，C1，A(0，0，0)，A1(0，0，2)， ， ，设平面ABB1A1的法向量n，则 ，取x1，得n，设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin ，所以c

6、os ，所以直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9在四面体PABC中，以下叙述正确的有()A若，则可知3B若Q为ABC的重心，则C若0，0，则0D若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则1【解析】选ABC.对于A，因为，所以32，所以22，所以2，所以3，即3，故A正确；对于B，若Q为ABC的重心，则0，所以33，所以3，即，故B正确；对于C，因为0，0，所以0，所以0，所以0，所以0，所以0，所以0，故C正确；对于D，因为，所以，因为2，所以.故D错误10关于空间向量，以下

7、结论正确的是()A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C设是空间中的一组基，则ab，bc，ca也是空间的一组基D若ab0，则a，b是钝角【解析】选ABC.A中根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；B中对空间中任意一点O，有，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；C中由是空间中的一组基，则向量a，b，c不共面，可得向量ab，bc，ca也不共面，所以也是空间的一组基，所以是正确的；D中ab0，由a，b0，所以a，b，所以不正确11如图，在

8、四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4，AC，BD交于点E，则()AM为PB的中点B二面角BPDA的大小为C若O为AD的中点，则OPOED直线MC与平面BDP所成的角为【解析】选ABC.如图，连接ME，因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点如图，取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为AD是平面PAD和平面ABCD的交线，且平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD

9、，所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(2，4，0)，(4，4，0)，(2，0，).设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1，1，).平面PAD的法向量为p(0，1，0)，所以cos n，p.由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为.由题意知M，C(2，4，0)，.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cos n，|，所以直线MC与平面BDP所成角不为.12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持

10、APBD1，则以下结论正确的是()AVPAA1DB点P必在线段B1C上CAPBC1DAP平面A1C1D【解析】选BD.对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1平面AA1D，所以点P到平面AA1D的距离即为点C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以CD111，A错误；对于B，以D为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则A，P，B，D1，B1，C，所以，因为APBD1，所以1x1z0，所以xz，即P，所以，所以xB1C，即B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为，所以1xx1，所以AP与BC1不垂直，C错误；对于D，因为A1，C1，D，所以，设平面A

11、1C1D的法向量n，所以令x1，则z1，y1，所以n，所以nx11x0，即n，所以AP平面A1C1D，D正确三、填空题(每小题5分，共20分)13在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面ABC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，2，3)，若平面ABC的一个法向量为(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为_【解析】在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，所以，而平面ABC的一个法向量为n(1，m，1)，所以n0，即1m30，解得m2，所以n(1，2，1)，点P(0，0，1)，则，则由点到平面的距离公式可得d.答案：14如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为

12、2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，故(2，2，0)，(2，0，a)，(0，0，a).设平面ACD1的一个法向量为n(x，y，z)，则，可取n，故cos n，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以，解得a4.答案：415如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos ，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_【解析】设

13、PDa，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，).所以(0，0，a)，(1，1，).由cos ，得a，所以a2，所以点E的坐标为(1，1，1).答案：(1，1，1)16如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为_，直线SM与平面SAC所成角大小为_【解析】因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点，分别以SA，SB，SC为x，y，z轴建立空间直角坐标系设SASBSC2，则M(1，1，0)，B(0，2，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，0，2).因为(1，1，0)，

14、(0，2，1)，cos ，所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，平面SAC的一个法向量为(0，2，0)，则由cos ，得，即直线SM与平面SAC所成角大小为.答案：四、解答题(共70分)17(10分)已知向量a(1，3，2)，b(2，m，4).(1)若ab，求实数m的值；(2)若ab，求实数m的值【解析】(1)a(1，3，2)，b(2，m，4)，若ab，则(1，3，2)(2，m，4)，解得故m6.(2)若ab，则ab23m80，解得m.18(12分)已知在空间直角坐标系中，A(1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5).(1)求，2，；(2)若点M满足，求点M的坐标；(3)若p，q，

15、求(pq)(pq).【解析】(1)因为A(1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5)，所以(3，5，4)，(1，0，9).所以(4，5，5)，又(4，5，5)，(3，5，4)，所以2(10，15，3)，又(3，5，4)，(1，0，9)，所以303633.(2)由(1)知，(3，5，4)(1，0，9)，设M(x，y，z)，则(x1，y2，z4)，于是解得故M.(3)由(1)知，p(1，0，9)，q(4，5，5).(pq)(pq)|p|2|q|2826616.19(12分)如图所示，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.

16、(1)求证：ABDE；(2)若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值【解析】(1)在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABAD cos DAB，即BD24161612，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均为直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面ABD，所以ABDE.(2)由(1)知ABDCDB90，以D为坐标原点，射线DB，DC，DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2

17、，2，0)，F(，0，1)，所以(2，2，0)，(0，0，2)，(，2，1).设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y，z0，所以n(1，0).设直线AF与平面ADE所成的角为，则有sin |cos n，|.所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为.20(12分)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离【解析】(1)连接AB1交A1B于点E，连接DE，则点E为AB1中点，又D是AC的中点，所以DEB1C，因为DE平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD；(2)因为B1C平面A1

18、BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1，B，A1，.设平面A1BD的法向量为n，所以即即令z1，则n.所求距离为d.21(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，D是棱A1B1的中点，侧棱CC1底面ABC.(1)求异面直线CB1与AC1所成的角的大小；(2)求平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值【解析】(1)因为侧棱CC1底面ABC，所以CC1AC，CC1BC.又因为ACBC，所以可以以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz如图所示因

19、为AA1，BB1，CC1都是三棱柱ABCA1B1C1的侧棱，且CC1底面ABC，所以四边形AA1C1C与CC1B1B都是矩形因为ACBCCC12，所以矩形AA1C1C与CC1B1B都是边长为2的正方形所以C(0，0，0)，A(0，0，2)，B1(2，2，0)，C1(0，2，0).所以(2，2，0)，(0，2，2).所以cos ，所以异面直线CB1与AC1所成的角的大小是60.(2)因为D是棱A1B1的中点，所以D(1，2，1).由(1)，知C(0，0，0)，A(0，0，2)，C1(0，2，0).所以(0，2，0)，(0，2，2)，(1，2，1).因为侧棱CC1底面ABC，所以(0，2，0)是平

20、面ABC的法向量设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则即解得故可取n(1，1，1).所以cos ，n.所以sin ，n.故平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值为.22(12分)如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为4的等边三角形，PAAC，BDCD2，PCPB4，点E为BC的中点，平面BDC平面ABC.(1)求证：DE平面PAC.(2)线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由【解析】(1)因为BDCD2，ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2CD22216BC2，所以BDC是等腰直角三角形，BDC90.又点E为BC

21、的中点，所以DEBC.因为平面BDC平面ABC，平面BDC平面ABCBC，且DE平面BDC，所以DE平面ABC.因为PCPB4，PAACAB4，所以PA2AC2424232PC2，PA2AB2424232PB2，所以PAB与PAC都是直角三角形，故PAAC，PAAB.又ACABA，所以PA平面ABC，所以DEPA.因为PA平面PAC，DE平面PAC，所以DE平面PAC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，设存在T，使得二面角TDAB为直二面角，易知22，且0.设平面BAD的法向量为n1，则即令z11，得x11，y1，故n1.设平面TAD的法向量为n2，则令z21，得x2，y2，故n2.由cos n1，n20，得10，故.所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB为直二面角