安徽省宿州市2014-2015学年高中二年级上学期期末考试数学(理)试卷.doc

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1、 . . . . 2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（） A 平行 B 相交且垂直 C 相交成60 D 异面2“a=1”是“函数f（x）=cos2ax的最小正周期为”的（） A 充分条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 充要条件3若|=|=|=1，且，=，则（+）（+）=（） A 0 B 1 C 2 D 34经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（） A x+y+1=0 B x+y1=0 C xy1=0 D xy+

2、1=05若双曲线的标准方程为y2=1，则其渐近线方程是（） A y=4x B y=x C y=2x D y=x6已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点F，P是抛物线上的一动点则|PA|+|PF|的最小值为（） A 1 B 2 C 3 D 47过椭圆+=1（ab0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（） A B C D 8体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是（） A B C D 9如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其主视图是边长为2的正方形，则此三棱柱左视图

3、的面积为（） A 2 B 2 C D 410如图过椭圆+=1（ab0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆+=1的“左特征点”M的坐标为（） A （2，0） B （3，0） C （4，0） D （5，0）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“存在实数x，使x2+2x+20”的否定是12已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是13直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，若弦AB中点为（1，），则直线l的方程为14抛物线y2=12x被直线xy3=0截得

4、弦长为15如下图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出以下五个结论ACBEEF平面ABCD异面直线AE，BF所成的角为60A1点到面BEF的距离为定值三棱柱ABEF的体积为定值其中正确的结论有：（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分75分）16已知p：对任意xR，不等式x2+ax+a0恒成立，q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，如果命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，数a的取值围17如图，在四棱柱PABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=2，M，N分别为AD，BC的中点（1）求证：

5、平面PMN平面PAD（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值18已知圆x2+y26x7=0与抛物线C：y2=2px（p0）的准线相切（）求抛物线C的方程（）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离19已知圆心为C（2，6）的圆经过点M（0，62）（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程20如图，已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为2的正方形，点P，Q分别是ED，AC的中点（1）求几何体EMFABCD的表面积；（2）证明：PQ平面BEF；（3）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值

6、21已知圆M：（x+）2+y2=24，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上；点G在MP上，且满足=2，=0（1）求点G的轨迹C的方程（2）过点（2，0）作直线l与轴线C交于A，B两点；O是坐标原点，设=+；是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（） A 平行 B 相交且垂直 C 相交成60 D 异面考点： 空间中

7、直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征专题： 空间位置关系与距离分析： 将正方体的展开图还原为正方体，得到对应的A，B，C，D，判断AB，CD的位置关系解答： 解：将正方体还原得到A，B，C，D的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC，得到三角形ABC是等边三角形，所以ABC=60；应选：C点评： 此题考查了学生的空间想象能力以与正方体的性质关键是将平面图形还原为几何体2“a=1”是“函数f（x）=cos2ax的最小正周期为”的（） A 充分条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 充要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性与其求法专题： 三角函数的图像与

8、性质；简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的周期公式进行判断即可解答： 解：当a=1，则f（x）=cos2x，则函数的周期T=，若函数f（x）=cos2ax的最小正周期为，则，解得a=1，则“a=1”是“函数f（x）=cos2ax的最小正周期为”的充分条件和必要条件，应选：B点评： 此题主要考查充分条件和必要条件的判断，以与三角函数周期的计算，比较基础3若|=|=|=1，且，=，则（+）（+）=（） A 0 B 1 C 2 D 3考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量与应用分析： 运用向量垂直的条件：数量积为0，以与向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求解答： 解：

9、若|=|=|=1，且，=，则=0，则（+）（+）=（+）22=+22=1+12=0，应选A点评： 此题考查向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题4经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（） A x+y+1=0 B x+y1=0 C xy1=0 D xy+1=0考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程专题： 直线与圆分析： 设与直线x+y=0垂直的直线方程为xy+c=0，把圆心C（1，0）代入，能求出所求直线方程解答： 解：设与直线x+y=0垂直的直线方程为xy+c=0，把圆x2+2x+y2=

10、0的圆心C（1，0）代入，得c=1，所求直线方程为xy+1=0应选：D点评： 此题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质和圆的简单性质的合理运用5若双曲线的标准方程为y2=1，则其渐近线方程是（） A y=4x B y=x C y=2x D y=x考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由双曲线=1的渐近线方程为y=x，求出a，b即可得到渐近线方程解答： 解：双曲线y2=1的a=2，b=1，由于渐近线方程为y=x，即为y=x应选D点评： 此题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题6已知点A（2，1），抛物

11、线y2=4x的焦点F，P是抛物线上的一动点则|PA|+|PF|的最小值为（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可解答： 解：根据题意，作图如右设点P在其准线x=1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，|PA|+|PM|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），点P的纵坐标y0=1，设其横坐标为x0，P（x0，1）为抛物线y2=4x上的

12、点，x0=，则有当P为（，1）时，|PA|+|PF|取得最小值，为3应选C点评： 此题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题7过椭圆+=1（ab0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（） A B C D 考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 把x=c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据F1PF2=60推断出=整理得e2+2e=0，进而求得椭圆的离心率e解答： 解：由题意知点P的坐标为（c，）或（c，），F1PF2=60，=，即2ac=

13、b2=（a2c2）e2+2e=0，e=或e=（舍去）应选：D点评： 此题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题8体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是（） A B C D 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 如下图，设正方体的棱长为a，则=，即可得出解答： 解：如下图，设正方体的棱长为a，则=点评： 此题考查了正方体与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其主视图是边长为2的正方形，则此三

14、棱柱左视图的面积为（） A 2 B 2 C D 4考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积解答： 解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：2=2应选：A点评： 此题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题10如图过椭圆+=1（ab0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆+=1的“左特征点”M的坐标为（） A

15、（2，0） B （3，0） C （4，0） D （5，0）考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，利用韦达定理，即可求得结论解答： 解：设M（m，0）为椭圆+=1的左特征点，椭圆的左焦点F（1，0），可设直线AB的方程为x=ky1（k0）代入+=1得：3（ky1）2+4y2=12，即（3k2+4）y26ky9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=，y1y2=AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即，即y1（ky21）+y2（ky1

16、1）（y1+y2）m=02ky1y2（y1+y2）（m+1）=0于是，2k（）（m+1）=0k0，186（m+1）=0，即m=4，M（4，0）应选：C点评： 此题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky2（k0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“存在实数x，使x2+2x+20”的否定是对任意实数x，使x2+2x+20考点： 特称命题；命题的否定专题： 规律型分析： 根据特称命题与全称命题是互为否定命题求解即可解答： 解：命题为特称命题，其否定为求出命题，其否定命题是：对任意

17、实数x，使x2+2x+20故答案是对任意实数x，使x2+2x+20点评： 此题考查特称命题的否定12已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是考点： 向量语言表述线线的垂直、平行关系专题： 计算题分析： 由已知中向量=（1，1，0），=（1，0，2），我们可以求出向量k+与2的坐标，根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，解方程即可求出a值解答： 解：向量=（1，1，0），=（1，0，2），k+=（k1，k，2），2=（3，2，2）k+与2互相垂直，则（k+）（2）=3（k1）+2k4=5k7=0解得k=故答案为：点评： 此题考查的知识点是向

18、量语言表述线线的垂直关系，其中根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，是解答此题的关键13直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，若弦AB中点为（1，），则直线l的方程为x2y+2=0考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，两式相减可得：+（y1+y2）（y1y2）=0，弦AB中点为（1，），=0，kAB=直线l的方程为y=（x+1），解得x2y+2=0故答案为：x2y+2=0点评： 此题考查

19、了椭圆的标准方程与其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14抛物线y2=12x被直线xy3=0截得弦长为24考点： 抛物线的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直接把直线方程和抛物线方程联立，消去一个未知数，利用韦达定理和弦长公式求解解答： 解：假设直线和哦抛物线的两个交点分别为（x1，y1）、（x2，y2），由，得x218x+9=0，x1+x2=18，x1x2=9，弦长为=24故答案为：24点评： 此题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和弦长公式的应用，是中档题15如下图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，线段

20、B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出以下五个结论ACBEEF平面ABCD异面直线AE，BF所成的角为60A1点到面BEF的距离为定值三棱柱ABEF的体积为定值其中正确的结论有：（写出所有正确结论的编号）考点： 棱柱的结构特征专题： 综合题；空间位置关系与距离分析：ACBE，可由线面垂直证两线垂直；EF平面ABCD，可由线面平行的定义请线面平行；由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值；三棱锥ABEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值解答： 解：ACBE，由题意与图形知，AC面DD1B1B，故可得

21、出ACBE，此命题正确；EF平面ABCD，由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，此命题正确；由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；三棱锥ABEF的体积为定值，由几何体的性质与图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，此命

22、题正确故答案为：点评： 此题考查棱柱的结构特征，解答此题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以与线面垂直的证明是解答此题的知识保证三、解答题（共6小题，满分75分）16已知p：对任意xR，不等式x2+ax+a0恒成立，q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，如果命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，数a的取值围考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 由p：对任意xR，不等式x2+ax+a0恒成立，可得0，解得a的取值围由q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的

23、椭圆，得=1，a1由于命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，解出即可解答： 解：p：对任意xR，不等式x2+ax+a0恒成立，=a24a0，解得0a4，得a的取值围是0a4q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得=1，故a1命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，或，解得0a1或a4综上实数a的取值围是：0a1或a4点评： 此题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准方程、复合命题的判定，考查了推理能力，属于基础题17如图，在四棱柱PABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=2，M，N分别为A

24、D，BC的中点（1）求证：平面PMN平面PAD（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角分析： （1）证明MN平面PAD，即可证明平面PMN平面PAD（2）过M作MO平面PCD，连接PO，则MPO即为所求，利用VMPCD=VPMCD，求出OM，即可求PM与平面PCD所成角的正弦值解答： （1）证明：PA面ABCD，PAMN，PAAB，M、N分别为AD、BC中点，ABMN，ABAD，ADMN=M，AB平面PAD，ABMN，MN平面PAD，MN平面PMN，平面PMN平面PAD（5分）（2）解：过M作MO平面PCD

25、，连接PO，则MPO即为所求VMPCD=VPMCD，=，OM=，sinMPO=（12分）点评： 此题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18已知圆x2+y26x7=0与抛物线C：y2=2px（p0）的准线相切（）求抛物线C的方程（）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离考点： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）求出圆的圆心与半径，利用y2=2px（p0）的准线相切，求出p，得到抛物线方程（）求出抛物线C的焦点坐标为（1，

26、0），准线方程为x=1，求出抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离，然后求解线段AB的中点M到y轴的距离解答： 解：（）圆x2+y26x7=0，即（x3）2+y2=16，所以圆心（3，0），半径为4，抛物线的准线方程为x=，依题意，有3（）=4，得p=2，故抛物线方程为y2=4x；（6分）（）由（）知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=1，由抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离为，故线段AB的中点M到y轴的距离d=（12分）点评： 此题考查圆的方程与抛物线方程的综合应用，点到直线的距离，考查分析问题解决问题的能力19已知圆心为C（2，6）的圆经过点M（0，62）（1）求圆C的

27、标准方程；（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程考点： 直线和圆的方程的应用；圆的标准方程专题： 直线与圆分析： （1）根据题意求得圆的半径，则圆的方程可得（2）先看当斜率不存在时，设出直线的方程，与圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式建立等式求得k则直线的方程可得最后看斜率不存在时，进而验证解答： 解：（1）圆C的半径为|CM|=，圆C的标准方程为（x+2）2+（y6）2=16（2）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y=kx+5，即kxy+5=0联立直线与圆C的方程：，消去y得（1+k2）x2+（42k）x11=0

28、设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得由弦长公式得|x1x2|=4将式代入，并解得k=，此时直线l的方程为3x4y+20=0当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，验算得方程为x=0的直线也满足题意所求直线l的方程为3x4y+20=0或x=0点评： 此题主要考查了直线与圆的方程问题解题过程中对直线斜率不存在的情况一定不要疏漏20如图，已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为2的正方形，点P，Q分别是ED，AC的中点（1）求几何体EMFABCD的表面积；（2）证明：PQ平面BEF；（3）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定

29、；二面角的平面角与求法专题： 空间位置关系与距离分析： （1）设EMFABCD的表面积为S，利用S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+SEAB+SFBC+SMEF+S正BEF，即可得出；（2）P是AM的中点，Q是AC的中点，由三角形中位线定理可得PQBE，再利用线面平行的判定定理即可得出；（3）利用即可得出解答： （1）解：设EMFABCD的表面积为S，则S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+SEAB+SFBC+SMEF+S正BEF=223+3+=18+2（2）证明：P是AM的中点，Q是AC的中点，由三角形中位线定理可得：PQBE，PQ平面BEF，BE平

30、面BEF，PQ平面BEF（3）解：设平面BEF与平面ABCD夹角为由于BEF在平面ABCD的射影是ABC，=点评： 此题考查了三角形中位线定理、线面平行的判定定理、正方形与正三角形的面积计算公式、二面角的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知圆M：（x+）2+y2=24，定点N（，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上；点G在MP上，且满足=2，=0（1）求点G的轨迹C的方程（2）过点（2，0）作直线l与轴线C交于A，B两点；O是坐标原点，设=+；是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点： 直

31、线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）据题意，G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=，半焦距c=，即可得到椭圆方程；（2）据题意，四边形OASB为矩形即=0，即x1x2+y1y2=0设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，据韦达定理表示出则x1x2+y1y2=0，解方程求出参数，即得到直线方程解答： 解：（1）由=2，=0，可得Q为PN的中点且GQPN，GQ为PN的中垂线，|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=2，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=，半焦距c=，短半轴长b=，点G的轨迹方程是（6分）（2）因为=

32、+，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形，=0若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，则A（2，1），B（2，1）=3与=0矛盾，故l的斜率存在设l的方程为y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得（2k2+1）x28k2x+8k26=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=k（x12）k（x22）=x1x2+y1y2=0，k=1存在直线xy2=0或x+y2=0使得四边形OASB的对角线相等（14分）点评： 此题考查椭圆方程的求法；考查直线与椭圆的位置关系，解决的关键是将已知转化为x1x2+y1y2=0，属于一道中档题18 / 18