高三数学经典示范 集合间的基本关系2教案 新人教A版 .doc

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1、集合间的基本关系集合间的基本关系整体设计整体设计教学分析教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 Venn 图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如与的区别.三维目标三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情

2、境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排课时安排1 课时教学过程教学过程导入新课导入新课思路思路 1.1.实数有相等、大小关系,如 5=5,53 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路思路 2.2.复习元素与集合的关系属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.类比实数的大小关系,如 57,22

3、,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：答案：(1);(2);(3)推进新课推进新课新知探究新知探究提出问题提出问题(1)观察下面几个例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合;设 C=x|x 是两条边相等的三角形,D=x|x 是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合 A 是集合 B 的子集,例子中集合 E 是集合 F 的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子,类比实数中的结论:“若 ab,且 ba,则 a=b”,在集合中,你发现了什么结论

4、?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用 Venn 图表示例子中集合 A 和集合 B.(6)已知 AB,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么 x2+1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若 ab,且 bc,则 ac”相类比,在集合中,你能得出什么结

5、论?活动：活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果 AB,但存在 xB,且 xA,我们称集合 A 是集合B 的真子集,记作 AB(或 BA).(3)实数中的“”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当 AB 时,AB 或 A=B.(7)方程 x2+1=0 没有实数解.(8)空

6、集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即 A;空集是任何非空集合的真子集,即 A(A).(9)类比子集.讨论结果：讨论结果：(1)集合 A 中的元素都在集合 B 中;集合 A 中的元素都在集合 B 中;集合 C 中的元素都在集合 D 中;集合 E 中的元素都在集合 F 中.可以发现:对于任意两个集合 A,B 有下列关系:集合 A 中的元素都在集合 B 中;或集合 B 中的元素都在集合 A 中.(2)例子中 AB,但有一个元素 4B,且 4A;而例子中集合 E 和集合 F 中的元素完全相同.(3)若 AB,且 BA,则 A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图

7、1121 所示表示集合 A,如图 1122 所示表示集合 B.图 1-1-2-1 图 1-1-2-2(6)如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示.图 1-1-2-3 图 1-1-2-42+1=0 没有实数解.(8)空集.(9)若 AB,BC,则 AC;若 AB,BC,则 AC.应用示例应用示例思路思路 1 11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用 A 表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合 A、B、C 均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)试用 Venn 图表示集合 A、B、C

8、间的关系.活动活动：学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式.当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,则AB 成立,否则 AB 不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合 A、B、C 间的关系来画出 Venn 图.解：解：(1)包含关系成立的有:BA,CA.(2)集合 A、B、C 间的关系用 Venn 图表示,如图 1-1-2-5 所示.图 1-1-2-5变式训练变式训练课本 P7练习 3.点评：点评：本题主要考查集合间的包含

9、关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合 A、B 之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合 A、B 中的元素,再分析集合 A、B 中的元素之间的关系,得:当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,有 AB;当集合 A 中的元素都属于集合 B,当集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A 时,有 AB;当集合 A 中的元素都属于集合 B,并且集合 B 中的元素也都属于集合 A 时,有 A=B;当集合 A 中至少有一个元素不属于集合 B,并且集合 B 中至少有一个元素也不属于集合 A 时,有 AB,且 BA,即集合 A、B 互不包含.2.写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子

10、集.活动：活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的个数分类讨论.解：解：集合a,b的所有子集为,a,b,a,b.真子集为,a,b.变式训练变式训练2007 山东济宁一模,1已知集合 P=1,2,那么满足 QP 的集合 Q 的个数是()A.4B.3C.2分析:集合 P=1,2含有 2 个元素,其子集有 22=4 个,又集合 QP,所以集合 Q 有 4 个.答案：答案：A点评：点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:

11、集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集？多少个真子集？解：解：当 n=0 时,即空集的子集为,即子集的个数是 1=20;当 n=1 时,即含有一个元素的集合如a的子集为,a,即子集的个数是 2=21;当 n=2 时,即含有一个元素的集合如a,b的子集为,a,b,a,b,即子集的个数是 4=22.集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有 2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A 有(2n-1)个真子集.思路思路 2 21.2006 上海高考,理 1 已知集合 A=-1,3,2m-1,集合 B=3,m2.若 BA,则实数 m=_.活动：活动：先让学生思考 BA

12、 的含义,根据 BA,所以 3A,m22的值分类讨论.解：解：BA,3A,m2A.m2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=1.m=1.答案：答案：1点评点评：2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得 m 的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练变式训练已知集合 M=x|2-x2,由于 NM,则 N=或 N,要对集合 N是否为空集分类讨论.解：解：由题意得 M=x|x2,则 N=或 N.当 N=时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0;当 N时,关于 x 的方程 ax=1

13、中有解,则 a0,此时 x=,又NM,M.2.0a.综上所得,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0a,即实数 a 的取值范围是a|0a2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素,则集合 M 有多少个子集？活动活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：答案：(1)的子集有:,即有 1 个子集;a的子集有:、a,即a有 2 个子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有 4 个子集;

14、a,b,c的子集有:、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有 8 个子集.(2)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=20个子集;当 n=1 时,集合 M 有 2=21个子集;当 n=2 时,集合 M 有 4=22个子集;当 n=3 时,集合 M 有 8=23个子集;因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n个子集.变式训练变式训练已知集合 A2,3,7,且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合 A 有()A.3 个分析:对集合 A 所含元素的个数分类讨论.A=或2或3或7或2,3或2,7共有 6 个.答案：答案：D点评：点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的

15、能力.集合 M 中含有 n 个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练知能训练课本 P7练习 1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集.()(2)空集是任何一个集合的真子集.()(3)任一集合必有两个或两个以上子集.()(4)若 BA,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B.()分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：解：该题的 5 个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(

16、3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当 xB 时必有 xA,则 xA 时也必有 xB.2.集合 A=x|-1x3,xZ Z,写出 A 的真子集.分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n 个元素的子集有 2n个,真子集有 2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.解：解：因-1x3,xZ Z,故 x=0,1,2,即 a=x|-1x3,xZ Z=0,1,2.真子集:、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共 7 个.3.(1)下列命题正确的是()D.1是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为()10,1,21,-3=-3,

17、10,1,21,0,20,1,20B.2C.3(3)M=x|3x4,a=,则下列关系正确的是()MMC.aMD.aM分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,无限集的真子集有可能是无限集,如 N N 是 R R 的真子集,排除 A;由于只有一个子集,即它本身,排除 B;由于 1 不是质数,排除 D.(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.应是10,1,2,应是0,1,2,应是0.故错误的有.(3)M=x|3x4,a=.因 3a4,故 a 是 M 的一个元素.a是x|3x2m-1 即 m2m-1,得 m4.综上有 m4.点评：点评：此问题解决要注意：注意

18、：不应忽略;找 A 中的元素;分类讨论思想的运用.拓展提升拓展提升问题:已知 AB,且 AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合 A 共有多少个？活动：活动：学生思考 AB,且 AB 说明集合 A 是集合 B 的子集,即集合 A 中元素属于集合 B,同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B 和集合 C 的公共元素.思路思路 1 1:写出由集合 B 和集合 C 的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合 A;思路思路 2 2:分析题意,仅求满足条件的集合 A 的个数,转化为求集合 B 和集合 C 的公共元素所组成的集合的子集个数.解法一：解

19、法一：因 AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,满足 AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共 25=32(个).又满足 AC 的集合 A 有:,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4,0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共 24

20、=16(个).其中同时满足 AB,AC 的有 8 个:,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出,上述解法太繁.解法二解法二：题目只求集合 A 的个数,而未让说明 A 的具体元素,故可将问题等价转化为 B、C 的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有 0、2、4,组成集合的子集有 23=8(个).点评：点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.课堂小结课堂小结本节课学习了:子集、真子集、空集、Venn 图等概念;能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业作业课本 P11习题组 5.设计感想设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.