修订线性代数作业(old-答案).doc

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1、第一章 行列式1.运用对角线法那么计划以下三阶行列式：122.按天然数从小到大年夜为规范次第，求以下各陈设的逆序数：12413；21324；3132.解1逆序数为3.2逆序数为.3逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由界说知，四阶行列式的普通项为，此中为的逆序数因为已硬朗，只能形如，即1324或1342.对应的分不为或跟为所求.4.计划以下各行列式：解(1)=0(2)=(3)=5、证实：(1)(2)(3)=(4)用数学归结法证实假定关于阶行列式命题成破，即因而，关于阶行列式命题成破.6、计划以下各行列式为阶行列式：(1),此中对角线上元素全然上a,未写出的元素全然上0;解=an-an

2、-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分不加到其他各行,得,再将各列都加到第一列上,得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3)(4)由此得递推公式：即而得(5)=7.用克莱姆法那么解以下方程组：解9.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，那么即,得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1已经清楚两个线性变更求从变量到变量的线性变更。解由已经清楚因而有2设求及.解.3计划；解：.解：。4设,求.解;运用数学归结法证实:事先,显然成破,假定时成破,那么时由数学归结法道理知:.5设求.解起首不美不雅看,由此揣测(*)用数学归结法证实:事先,显然成破.假定时成破

3、，那么时，由数学归结法道理知:(*)成破.6设全然上阶对称阵,证实是对称阵的充要前提是.证实：由已经清楚：充沛性：等于对称矩阵.需求性：.7设,，咨询：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),.那么(2)但故(3)而故8举反例阐明以下命题是过失的:假定,那么;假定,那么或;假定,且,那么.解(1)取,但(2)取,但且(3)取,.且但.9已经清楚线性变更求从变量到变量的线性变更。解：因而即.10求以下方阵的逆阵：解：,.解：故存在从而.3解：由对角矩阵的性子知.11解矩阵方程：解：解：.12、运用逆阵解线性方程组：.解：解、(1)方程组可表现为故从而有.13、设为正整数,证实：.证实：一方面，另

4、一方面，由有故两头同时右乘就有.14、设,求.解由可得故.15、设,此中,求.解故因而而故.16.设矩阵可逆，证实其随同阵也可逆，且。证因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由随同阵的性子，有=.用左乘此式双方得=,比拟下面两个式子，即知论断成破。17、设阶方阵的随同阵为,证实:假定,那么；.证实(1)用反证法证实假定那么有.由此得.这与抵触，故事先,有.(2)因为取行列式失落失落落:假定那么假定由(1)知如今命题也成破故有.18.设，求。解因为所给矩阵方程中含有及其随同矩阵，因而仍从公式=动手。为此，用左乘所给方程双方，得，又，=2AB-8E=8E=4E.留意到=,是可逆矩阵，且=,因

5、而4=.19、设,求及及.解，令,.那么.故.第三章矩阵的初等变更与线性方程组1. 把以下矩阵化为行最简形：解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)(下一步:r2(-4),r3(-3),r4(-5).)(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.).2.运用矩阵的初等变更，求以下方阵的逆：解,故逆矩阵为.(2)解故逆矩阵为.3.设,求X使AX=B.解因为,因而.4.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用已经清楚向量随意形成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:,此矩阵的秩为4,其第2行跟第3行是已经清楚向量.5.求以下矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.解(下一步:r1r2

6、.)(下一步:r2-3r1,r3-r1.)(下一步:r3-r2.),矩阵的,是一个最高阶非零子式.解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)(下一步:r3-3r2.),矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.6.解以下齐次线性方程组：解对系数矩阵A进展初等行变更,有A=,因而,故方程组的解为(k1,k2为恣意常数).解对系数矩阵A进展初等行变更,有A=,因而,故方程组的解为(k1,k2为恣意常数).7.写出一个认为通解的齐次线性方程组.解依照已经清楚,可得,与此等价地能够写成,或,或,这确实是一个满意标题央求的齐次线性方程组.非齐次线性方程组.8解以下非齐次线性方程组：解对增广矩阵B进

7、展初等行变更,有B=,因而,即(k1,k2为恣意常数).解对增广矩阵B进展初等行变更,有B=,因而,即(k1,k2为恣意常数)9.当l取何值时有解？并求出它的解.解.要使方程组有解,必需(1-l)(l+2)=0,即l=1,l=-2.当l=1时,方程组解为或,即(k为恣意常数).当l=-2时,方程组解为或,即(k为恣意常数).10.设.咨询l为何值时,此方程组有独一解、无解或有无量多解?并在有无量多解时求解.解B=要使方程组有独一解,必需R(A)=R(B)=3,即必需(1-l)(10-l)0,因而当l1且l10时,方程组有独一解.要使方程组无解,必需R(A)R(B),即必需(1-l)(10-l)

8、=0且(1-l)(4-l)0,因而当l=10时,方程组无解.要使方程组有无量多解,必需R(A)=R(B)3,即必需(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0,因而当l=1时,方程组有无量多解.如今，增广矩阵为B,方程组的解为,或(k1,k2为恣意常数).线性代数期中温习谜底一、选择题1设有齐次线性方程组Ax=0跟Bx=0,此中A,B均为矩阵，现有4个命题：假定Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)秩(B)；假定秩(A)秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解；假定Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)；假定秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解.以上命题中准确的

9、选项是(A).(B).(C).(D).B【剖析】此题也可寻反例用清扫法进展剖析，但两个命题的反例比拟庞杂一些，要害是捉住与，敏捷清扫不准确的选项.【详解】假定Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题成破，可清扫(A),(C)；但反过去，假定秩(A)=秩(B)，那么不克不及推出Ax=0与Bx=0同解，如，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0差别解，可见命题不成破，清扫(D),故准确选项为(B).(2)设阶矩阵的随同矩阵假定长短齐次线性方程组的互不相称的解，那么对应的齐次线性方程组的根底解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个

10、线性有关的解向量.(D)含有三个线性有关的解向量.B【剖析】要断定根底解系含向量的个数,实际上只需断定未知数的个数跟系数矩阵的秩.【详解】因为根底解系含向量的个数=,同时依照已经清楚前提因而等于或.又有互不相称的解,即解不独一,故.从而根底解系仅含一个解向量,即选(B).3设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交流得B,再把B的第2列加到第3列得C,那么满意AQ=C的可逆矩阵Q为(A).(B).(C).(D).D【剖析】此题考察初等矩阵的的不美不雅念与性子，对A作两次初等列变更，相称于右乘两个照应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有，因而，可见，应选(D).4设阶矩阵与等

11、价,那么必需(A) 事先,.(B)事先,.(C)事先,.(D)事先,.D【剖析】运用矩阵与等价的充要前提:破刻可得.【详解】因为事先,又与等价,故,即,从而选(D).二、填空题1设三阶方阵A,B满意，此中E为三阶单元矩阵，假定，那么.【剖析】先化简剖析出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由知，即，易知矩阵A+E可逆，因而有再双方取行列式，得，因为,因而.2设矩阵，矩阵B满意，此中为A的随同矩阵，E是单元矩阵，那么.【剖析】可先用公式进展化简【详解】已经清楚等式双方同时右乘A，得，而，因而有，即，再双方取行列式，有，而，故所求行列式为（3） 设，此中为三阶可逆矩阵,那么【剖析】将的幂次转化为的幂次

12、,并留意到为对角矩阵即得谜底.【详解】因为,.故,.4已经清楚矩阵，且的秩，那么_-3_应填：5已经清楚线性方程组有解，那么_-1_三.证实R(A)=1的充沛需求前提是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT.证实需求性.由R(A)=1知A的规范形为,即存在可逆矩阵P跟Q,使,或.令,bT=(1,0,0)Q-1,那么a长短零列向量,bT长短零行向量,且A=abT.充沛性.因为a与bT是全然上非零向量,因而A长短零矩阵,从而R(A)1.因为1R(A)=R(abT)minR(a),R(bT)=min1,1=1,因而R(A)=1.四、设阶矩阵跟满意前提：证实：是可逆矩阵，此中是阶单元已经清楚矩

13、阵，求矩阵解：由等式，得，即因而矩阵可逆，同时由知，即五、当、为何值时，线性方程组有独一解，无解，有无量多组解，并求出有无量多组解时的通解解：将方程组的增广矩阵用初等行变更化为途径矩阵：因而，事先，如今线性方程组有独一解当，时，如今线性方程组无解当，时，如今线性方程组有无量多组解如今，原线性方程组化为因而，原线性方程组的通解为或许写为第四章向量组的线性相干性1设,求及.解2.设此中,求.解由收拾得3设,证实向量组线性相干.证实设有使得那么(1)假定线性相干,那么存在不全为零的数,;由不全为零,知不全为零,即线性相干.(2)假定线性有关,那么由知此齐次方程存在非零解.那么线性相干.综合得证.4.

14、设,且向量组线性有关,证实向量组线性有关.证实设那么因向量组线性有关,故因为故方程组只需零解.那么.因而线性有关5.设向量组线性有关，向量可由向量组线性表现，而向量不克不及由向量组线性表现.证实:个向量必线性有关.证实6.当为何值时，向量组，线性相干.解由因而事先，因而.7.CCBC8.(1).线性相干；(2).；(3).线性相干；(4).线性有关。9.求以下向量组的秩，并求一个最大年夜有关组：解线性相干.由秩为2,一组最大年夜线性有关组为.10.运用初等变更求矩阵的列向量组的一个最大年夜有关组，并把不属于最大年夜有关组的列向量用最大年夜有关组线性表现.解因而第1、2、3列形成一个最大年夜有关

15、组，。11.已经清楚向量组，与向量组，存在一样的秩，且可由向量组线性表现，求的值.解因为线性有关，而，因而线性相干，且向量组的秩为2，因而向量组的秩也为2.因为可由线性表现，故可由线性表现，即线性相干.因而有，解得，不的，解得.故，.12.DC13.由所天生的向量空间记作，由所天生的向量空间记作，试证:.证实设,任取中一贯量,可写成,要证,从而得由得上式中,把当作已经清楚数,把当作未知数有独一解同理可证:()故14.验证为的一个基，并把，用那个基表现.解因为即矩阵的秩为3.故线性有关，那么为的一个基.设，那么故设，那么故线性表现为15.求下面齐次线性方程组的根底解系与通解.解(1)因而原方程组

16、等价于获得;获得.因而根底解系为，通解为。16.设，求一个矩阵，使，且.解因为,因而可设.那么由可得,解此非齐次线性方程组可得独一解，故所求矩阵17.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已经清楚是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解因为矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的根底解系含有一个向量，且因为均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的构造性子得为其根底解系向量，故此方程组的通解：，18求以下非齐次方程组的通解.解:通解为19.DBCAD第五章类似矩阵及二次型1. 试用施密特法把向量组正交化.解：依照施密特正交化办法:令，,，故正交化后得2. 揣摸以下矩阵是不是正交阵，并阐明

17、来由:(1)(2)解：(1)第一个行向量非单元向量,故不是正交阵(2) 该方阵每一个行向量均是单元向量，且两两正交，故为正交阵3. 设为n维列向量,令,求证:H是对称的正交阵.证实因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,因而H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,因而H是正交矩阵.4. 设与全然上阶正交矩阵,证实：1也是正交阵；2也是正交阵.证实1由因而阶正交阵，故，因而故也是正交阵正交.正交

18、.2由因而阶正交阵，故，故也是正交阵5. 求以下矩阵的特征值跟特征向量:(1)(2).并咨询它们的特征向量能否两两正交?解：(1).故的特征值为事先,解方程,由,得根底解系因而是对应于的全体特征值向量事先,解方程,由,得根底解系因而是对应于的全体特征向量,故不正交(2).故的特征值为事先，解方程，由,得根底解系故是对应于的全体特征值向量.事先,解方程，由,得根底解系故是对应于的全体特征值向量事先，解方程，由,得根底解系故是对应于的全体特征值向量，因而两两正交6.设为阶矩阵,证实与的特征值一样.证实:因为|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,因而AT与A的特征多项式一

19、样,从而AT与A的特征值一样.7.设,证实的特征值只能取1或2.证实:设l是A的恣意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量,那么(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因为x0,因而l2-3l+2=0,即l是方程l2-3l+2=0的根,也确实是说l=1或l=2.8.设是阶矩阵的特征值,证实也是阶矩阵的特征值.证实:设x是AB的对应于l0的特征向量,那么有(AB)x=lx,因而B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的特征值,且Bx是BA的对应于l的特征向量.9.已经清楚3阶矩阵的特征值为1,2,3,求.解:令j(l)=l3-5l2+7l

20、,那么j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=323=18.10. 设方阵与类似,求x,y.解方阵与类似，那么与的特征多项式一样，即11.设A与B全然上n阶方阵,且,证实AB与BA类似.证实:那么可逆那么与类似12.设矩阵可类似对角化,求.解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可类似对角化,因而关于l2=l3=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性有关的解,因而R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.13. 设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量顺次为求A.解：因

21、为，又，因而，.14.已经清楚是矩阵的一个特征向量，试求参数及特征向量所对应的特征值.解：设l是特征向量p所对应的特征值,那么(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.15. 设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为，求A.解：设.由，知3是的二重特征值,依照实对称矩阵的性子定理知的秩为1，故运用可推出秩为1.那么存在实的使得成破由解得得16. 试求一个正交的类似变更矩阵,将以下对称阵化为对角阵:(1);解：故得特征值为事先，由.解得.单元特征向量可取:事先,由.解得.单元特征向量可取:事先,由.解得单元特征向量可取:,得正交阵.(2)解：，故得特征值为

22、事先，由.解得此二个向量正交,单元化后,得两个单元正交的特征向量;，单元化得事先,由.解得.单元化得.得正交阵.17.设,求解由,得A的特征值为l1=1,l2=5,l3=-5.关于l1=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量p1=(1,0,0)T.关于l1=5,解方程(A-5E)x=0,得特征向量p2=(2,1,2)T.关于l1=-5,解方程(A+5E)x=0,得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3),那么P-1AP=diag(1,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因为L100=diag(1,5100,5100),因而.18.用矩阵暗记表现以下二

23、次型:(1);解：(2).解：19.求一个正交矩阵化以下二次型陈规范形:(1);解：二次型的矩阵为,故的特征值为事先,解方程，由.得根底解系.取事先，解方程，由，得根底解系.取事先，解方程，由得根底解系.取，因而正交变更为.且有(2).解：二次型矩阵为，故的特征值为事先，可得单元特征向量，事先，可得单元特征向量，事先，可得单元特征向量，因而正交变更为且有20.证实:二次型在时的最大年夜值为方阵A的最大年夜特征值.证实为实对称矩阵，那么有一正交矩阵，使得成破此中为的特征值，无妨设最大年夜，为正交矩阵，那么且，故那么此中事先，即即故得证21.用配办法化以下二次构陈规范形,并写出所用变更的矩阵：(1

24、)；解f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3=(x1+x3)2+x32+2x2x3;=(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.令,即,二次型化为规范形f=y12-y22+y32,所用的变更矩阵为(2).解f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.令,即,二次型化为规范形f=y12+y22+y32,所用的变更矩阵为22.判不以下二次型的正定性:(1);解：,，故为负定(2).解：，,故为正定23.设U为可逆矩阵,证实为正定二次型.证实：因为因而A对称.关于因为U为可逆矩阵，有否那么，假定那么必有抵触.因而当因而为正定二次型。24.设

25、对称阵A为正定阵,证实存在可逆矩阵U,使.证实：正定，那么矩阵满秩，且其特征值全为正无妨设为其特征值，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，那么可逆，因而令，可逆,那么25.试证:1A正定,那么与也正定;2A与B均为n阶正定阵,那么A+B为正定阵.证实：1，226.选择题：1设=2长短共同矩阵A的一个特征值，那么矩阵有一个特征值等于b(a)(b)(c)(d)2设A为n阶可逆阵，为A的一个特征值，那么A的随同阵的一个特征值是b(a)(b)(c)(d)3设A为n阶可逆阵，且k为正整数,那么c(a)A=0bA有一个不为零的特征值(c)A的特征值全为零dA有n个线性有关的特征向量4设是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组的根底解系为，那么A的属于的全体特征向量是d(a)b(c)(全不为零)d(不全为零)5以下二阶矩阵可对角化的是c(a)(b)(c)(d)线性代数期末温习谜底一单项选择题1.C2.B3.C4.C5.D二 填空题1 2.3.4.5.三.四、，五、，故，且是原向量组的一个最大年夜有关组.六、因而齐次方程组的根底解系为，非齐次方程组的特解.故方程组的通解为七、1.设，那么有，线性有关，因而线性有关.2.由，得，即，因而，即故，因而，因而可逆.八、1(2)，因而A的特征值为：，对，解：，对，解：，对，解，令那么