勾股定理的逆定理基础-教师讲义.docx

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1、中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 勾股定理的逆定理 基础授课类型T 课本同步C 专题辅导T 应用能力提升授课日期时段年 月 日 段（ ：00- ：00）学习目标1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.教学内容 【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判

2、定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、

3、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形（1）7，24，25；（2），1，；（3），()；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形【答案与解析】解：（1） ， 由线段组成的三角形是直角三角形 （2） ， 由线段组成的三角形不是

4、直角三角形 （3） ， ， 由线段组成的三角形是直角三角形【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ A ）A20:15:12B3:4:5C5:4:3D10:8:2提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：，即20:15:12.2、如图所示，在四边形ABCD中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90，求四边形ABCD的面积解：连接AC，在ABC中，因为B90，AB3，BC4，所以，所以AC5，在ACD中，AD13，DC12，AC5，所以，即所以ACD是直角三角形，且ACD90所以【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解由AB3，BC4

5、，B90，应想到连接AC，则在RtABC中即可求出ABC的面积，也可求出线段AC的长所以在ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积而判断ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.【答案与解析】解：，ABC是直角三角形.【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2b2c2=a4b4， 第一步c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）， 第二步c2=a2+b2， 第三步ABC为直角三角形

6、 第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_；（2）错误的原因是：_；（3）本题正确的结论是：_解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2b2）时，没有考虑（a2b2）的值有可能是0；（3）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2或a2b2=0a2b2=0a+b=0或ab=0a+b0c2=a2+b2或ab=0c2=a2+b2或a=b该三角形是直角三角形或等腰三角形4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行

7、，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ161.524，PR121.518，QR30，在PQR中， PQR是直角三角形且RPQ90又 “远航”号沿东北方向航行，可知QPN45， RPN45由此可知“海天”号沿西北方向航行也可沿东南方向航行【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90，这里需注意与东北方向成90角的有两个方向，即西北方向或东南方向 一.选择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（

8、 ）A. 9，12，15 B.3，4，5 C.1.4，4.8,5 D.4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CF、EFDGH、AB、CD3. 下列说法：（1）在ABC中，若a2+b2c2，则ABC不是直角三角形；（2）若ABC是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2；（3）在ABC中，若a2+b2=c2，则C=90；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为其中说法正确的有（）A4个B3个C2个D1个4.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平

9、方比，其中不是直角三角形的是( )A.112B.134 C.92526D.251441695已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定6三角形的三边长分别为 、（都是正整数），则这个三角形是（ ） A直角三角形 B 钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定二.填空题7若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为_8.已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为 时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数） 9. 已知,则由此为边的三角形是 三角形.10在ABC中，若其三条边的

10、长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 11若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为 12如图，AB5，AC3，BC边上的中线AD2，则ABC的面积为_三.解答题13已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE，求证：AFFE14观察下列各式：，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子15在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是

11、沿哪个方向航行的吗?【答案与解析】一.选择题1.【答案】D【解析】，故构不成直角三角形.2.【答案】B【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH23.【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则ABC也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确4.【答案】C5.【答案】C【解析】，满足勾股定理的逆定理.6.【答案】A【解析】，满足勾

12、股定理的逆定理.二.填空题7.【答案】8【解析】三角形是直角三角形，最短边上的高为另一条直角边8.8.【答案】61【解析】只有当已知的两条边是直角边时，第三条边才能是整数61.9.【答案】直角；10【答案】108【解析】ABC是直角三角形.11.【答案】120【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为，则，解得，它的面积为.12【答案】6【解析】延长AD到E，使DEAD，连结BE，可得ABE为Rt三.解答题13解：连结AE，设正方形的边长为，则DFCF，CE，BE， 在RtADF中， 在RtCEF中， 在RtABE中，因为，所以三角形AEF为直角三角形，AFFE14.解：， (1且为整数)15.解：由题意：BM2816，BP21530，MP34 因为 所以BMP满足勾股定理的逆定理，BMP为直角三角形. 因为甲船沿北偏东60方向航行，则乙船沿南偏东30方向航行.