基本初等函数图像及性质小结.pdf

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1、整理为高等数学小结的基本初等函数为高等数学小结的基本初等函数1.1.函数的五个要素：自变量，因变量，函数的五个要素：自变量，因变量，定义域定义域，值域，值域，对应法则对应法则2.2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。一定要从这四个方面去研究函数。3.3.每个函数的每个函数的图像图像很重要很重要.幂函数(a 为实数)定义域：定义域：随 a 的不同而不同，但无论a 取什么值，xa 在值域：值域：随 a 的不同而不同有界性：有界性：单调性：单调性：若 a0,函数在内单调增加；若 a1 函数单调

2、增加；若 0a1 时，函数单调增加；0a1 时，函数单调减少奇偶性：奇偶性：周期性：周期性：主要性质：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线 x=0 为函数图形的铅直渐近线 e=2.7182，无理数经常用到以经常用到以 e e 为底的对数为底的对数-3-整理.三角函数强调：图像强调：图像正弦函数正弦函数：定义域：定义域：有界性：有界性：-1,1有界函数单调性：单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇偶性：奇函数周期性：周期性：以为周期的周期函数；余弦函数：余弦函数：定义域：定义域：有界性：有界性：-1,1有界函数单调性：单调性：奇偶性：奇偶性：偶函数值域：值域：-1,1

3、值域：值域：-1,1-4-整理周期性：周期性：正切函数：正切函数：定义域：定义域：有界性：有界性：单调性：单调性：奇偶性：奇偶性：奇函数周期性：周期性：值域：值域：-5-整理余切函数：余切函数：定义域：定义域：有界性：有界性：单调性：单调性：奇偶性：奇偶性：奇函数周期性：周期性：，值域：值域：，.反三角函数反正弦函数：定义域：定义域：-1,1-1,1值域：值域：有界性：有界性：-6-整理单调性：单调性：单调增加奇偶性：奇偶性：奇函数周期性：周期性：反余弦函数：-定义域值域：定义域：定义域：有界性：有界性：单调性：单调性：奇偶性：奇偶性：周期性：周期性：单调减少值域：值域：-7-1,1 -1,1

4、整理反正切函数：-定义域定义域：定义域：值域：值域：有界性：有界性：单调性：单调性：单调增加奇偶性：奇偶性：奇函数周期性：周期性：反余切函数反余切函数-定义域定义域：定义域：值域：值域：有界性：有界性：-8-整理单调性：单调性：单调减少；奇偶性：奇偶性：周期性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。（1 1）指数式与对数式的性质）指数式与对数式的性质-9-整理由此可知，今后常用关系式，如：（2 2）常用三角公式）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb

5、=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化积sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)函数周期性：函数周期性：R)的函数的周期为T=2/T=2/0,x形如 y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)(A,为常数,A周期函数性质：-10-（1）若 T（0）是 f(X)的周期，则-T 也是 f(X)的

6、周期。（2）若 T（0）是 f(X)的周期，则 nT（n 为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期，则 T1T2 也是 f(X)的周期。（4）若 f(X)有最小正周期 T*，那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。（5）T*是 f(X)的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期，则（Q 是有理数集）（6）若 T1、T2 是 f(X)的两个周期，且 是无理数，则 f(X)不存在最小正周期。（7）周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合。其他周期函数（非三角函数）其他周期函数（非三角函数）Dirchlet 函数D(X)=1 X 为有理数时0 X 为无理数时复指数函数：y=e(jwt),其中 j 为虚数单位，w 为任意实数，t 为自变量。重要推论重要推论1 1，若有 f(x)的 2 个对称轴 x=a,x=b.则 T=2|a-b|2，若有 f(X）的 2 个对称中心（a,0）(b,0)则 T=2|a-b|3,若有 f(x)的 1 个对称轴 x=a,和 1 个对称中心(b,0)，则 T=4|a-b|-11-