2010届大纲版数学高考名师一轮复习教案5.1平面向量的概念与运算 microsoft word 文档doc--高中数学 .doc

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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第五章第五章 平面向量平面向量 复数复数知识结构网络?向量运算?几何运算?代数运算?复数运算?复数概念?数系扩充?复数?平移?定比分点?坐标表示?几何表示?向量应用?向量表示?向量概念?平面?向量5.1 平面向量的概念与运算平面向量的概念与运算一.明确复习目标1 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2 掌握向量的加法和减法3 掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件二建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:cba,或AB等；向量的长度即向量的模记作|AB|。(

2、2)零向量：其方向：(3)单位向量：单位向量不唯一.(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：0与任意向量平行。(5)相等向量：长度相等且方向相同.2.向量加法向量加法:设,ABaADBCb，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法则”或“三角http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网形法则”进行。如图a+b=ABAD=AC。或a+b=BCAB 规定：aaa00；(2)向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法向量的减法（1）相反向量：关于相反向量有：)(a=a；a+(a)=(a)+a=0；若a、b是互为相反向量，则a=b,b

3、=a,a+b=0。（2）向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。如上图abDB表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。(3)温馨提示：用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。三角形法则的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4.实数与向量的积实数与向量的积(1)实数与向量a的积：是个向量;模等于|a方向0 时与a同向,0时与a反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理：向量共线定理：向量b

4、与非零向量a共线怎样判定向量共线(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.6.平面向量的基本定理：平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平DCBAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、双基题目练练手1(2006 广东广东)已知 D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD（）A.12BCBAB12BCBAC.12BCBAD.12BCBA2（2007 山东）已知向量,a b，且2,56,72,ABa

5、b BCab CDab 则一定共线的()A.、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D3 3（2006 江西江西）已知等差数列 na的前n项和为nS,若1200OBa OAaOC,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则200S等于（）A.100B.101C.200D.2014设,a b为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是_|ababa与b有相等的模；|ababa与b的方向相同；|ababa与b的夹角为锐角；|ababab且ab与方向相反5.(2007(2007 安徽安徽)在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中,AB a,ADb,3ANNC,M 为为 B BC C 的的中点中点

6、,则则MN=_（用,a b表示）6.设向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb(kR)，若cd，则 k=_7.(2006 湖南)如图,ABOM/,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网成的区域内(不含边界)运动,且OByOAxOP,则x的取值范围是_;当21x时,y的取值范围是_.答案答案:1-3.AAA；4.2;5.找封闭折线,得1()4MNba;6.c=d(R)1k;法 2.仿坐标表示:k2-1=0;7.(,0),1 3(,)2 2.提示:作 PC/OB,交 AO 延长线于点 C,可知 x0.当12x 时,PC/AB,

7、设 PC 交 OM 于 D,交 AB 延长线于 E,P 必在 DE 之间,可知1322y.四、经典例题做一做【例【例 1 1】如图,在梯形 ABCD 中,ABa BCb12CDa,G 为对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是腰 AD、BC 的中点，求向量EFAG和。解：（1）E,F 分别是两腰的中点，,EDEA FCFB ,又EFEDDCCF，EFAEABBF，两式相加得；332,24EFABDCa EFa（2）设()AGACab，1()2BGBDba，由AGABBG得：(1)()2ab102230,2()3AGabGFEDCBA图 1PBAOMhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/

8、 永久免费组卷搜题网提炼方法：1.用好“封闭折线的向量和等于零向量”;2.由共线求交点的方法:待定系数,.【例【例 2】设OB、OA不共线，求证：点 P、A、B 共线的充要条件是：R,1OBOAOP、且。证明：充分性：APOPOAaba(1)(1)(1)()(1)abbaABA、P、B 共线。必要性：A、P、B 共线，则有()APABba()(1),(1)0OPOAAPabaab必要性成立。特例：当21时，OB)OA(21OP，此时 P 为 AB 的中点，这是向量的中点公式。提炼方法1.利用向量证明三点共线的方法：(1)证明有公共点的的两个向量平行,则这两个向量的四个(三个)端点共线；(2)利

9、用本题的结论.2.证向量平行的方法:(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.【例【例 3 3】已知 G 是ABC 的重心，O 是外心,H 是垂心,P 是平面 ABC 内任意一点,求证：(1)0GCGBGA;baGCBA图 2Dhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(2)3PGPAPBPC;(3)OHOAOBOC;(4)点 O、G、H 三点共线。证明：(1)以向量GCGB,为邻边作平行四边形 GBEC，则GDGEGCGB2，又 G 为ABC 的重心知GDAG2，从而GDGA2，022GDGDGCGBGA。（2）如图 1 易知PGPAAG，PGPBBG，PGP

10、CCG；三式相加得3 PGPAPBPCAGBGCGPAPBPC（3）作辅助线如图 2,DAAC,DBBC,DA/BH,DB/AH在ADBH 中,2BHDAOEOAOC,OHOBBHOBOAOC(4)在(2)中取 P 为 O,得1()3OGOAOBOC/OHOG,点 O、G、H 共线。提炼方法：1.明确解题目标,用好加法的两个法则、几何图形和向量中处理问题的一些手法，如向量共线、点共线的证法和用法;2.（2005 全国）ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=.是题(3)的结果.【例【例 4 4】一条河的两岸平行，河的宽度为md500，一艘船从A

11、处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为hkmv/10|1，水流速度为hkmv/4|2.(1)试求DOHCBAE图 3http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网21vv 与的夹角(精确到01),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到min1.0);(2)要使船到达对岸所用时间最少,21vv 与的夹角应为多少?解解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使21vv 与的合速度的方向正好垂直于对岸,所以hkmvvv/2.916100|2221,vv 与1的夹角满足4.0sin,024,故21vv 与的夹角0114；船垂直到达对岸所用的时间min3.3543.02.95.0|hvdt.

12、（2）设21vv 与的夹角为（如图），21vv 与在垂直方向上的分速度的和为sin|1v，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为kmd5.0，从而所用的时间为sin105.0t，显然，当090时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为tmin305.0105.0h.提炼方法：理解物理意义，用向量的知识解决.【研讨【研讨.欣赏】欣赏】如图 4,求证ABC 的三条角平分,AD,BE,CF 交于一点.证明:设,CAa CBb,CF,BE 交于点 I.由于C,I,F 共线,B,I,E 共线,可设(),()|abbabCIBIabbab由CBBICI得,()(1)|abababbabAabB

13、C图 4EIDFA1v2vvBhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网,a b不共线,0|,|-|10|消 得=abaa baba bbbab 同理设 CF,AD 交于点 J,CJCF,可求得=,即 J 与 I 重合,说明三条角平分线交于一点.方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上.五提炼总结以为师1.向量的有关概念:向量零向量单位向量平行向量（共线向量）相等向量2.向量加法减法:3.实数与向量的积4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值.5.平面向量的基本定理,基底。同步练习5.1 平面向量的概念与运算平面向量的概念与运算【选

14、择题】1.(2006 上海上海)如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC；（B）ADABAC；（C）ABADBD；（D）0AD CB；2.(2006 福 建福 建)已 知1,3,.0,OAOBOAOB点 C 在AOB内,使AOC30o。设(,)OCmOAnOB m nR，则mn等于()A.13B.3C.33D.3CBADhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网3.设非零向量 a,b,c,若 p=a|a|+b|b|+c|c|,则|p|的取值范围是（）A0,1B.0,2C.0,3D.-3,34.(20064.(2006 全国全国)设平面向量1a

15、、2a、3a的和1230aaa如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则()A1230bbbB1230bbbC1230bbbD1230bbb【填空题】5.设21,ee是不共线的向量,已知向量12122,3ABeke CBee,122CDee，若 A,B,D 三点共线,则 k 的值等于_-8已知（1e，2e）是平面上一个基底，若a=1e+2e，b=-21e-2e，若a，b共线，则=_。练习简答：1-4.CBCD;2.易知 OCAB,由0OC AB得3mn.3.a|a|、b|b|、c|c|是单位向量,把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时

16、|p|最大为 3，终点均匀分布在单位圆上时|p|最小为 0.5.-8;6.22【解答题】7.如图：已知在平行四边形 ABCD 中，AH=HD，BF=MC=41BC，设AB=a，AD=b，试用a、b分别表示AM、MH、AF解：ABCD 中，BF=MC=21BC,FM=21BC=21AD=AH FMAHbHDFaBAMChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网四边形 AHMF 也是平行四边形，AF=HM又333444BMBCADa,而1144FBBC bAMABBM=a+43b,MHFAFBBA=41baAFFA(41ba)=41b+a8.求证：起点相同的三个非零向量a，b

17、，3a2b的终点在同一条直线上证明：设起点为 O，OAa，OB=b，OC3a2b，则ACOCOA=2(ab)，ABOBOA=ba，2ACAB，,AC AB共线且有公共点 A，因此，A，B，C 三点共线，即向量a，b，3a2b的终点在同一直线上9.若 a、b 是两个不共线的非零向量（tR）.（1）若 a 与 b 起点相同，t 为何值时，a、tb、31（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60，那么 t 为何值时，|atb|的值最小?解：（1）设 atb=ma31（a+b）（mR），化简得（32m1）a=（3mt）b.a 与 b 不共线，.21230301

18、32tmtmm，t=21时，a、tb、31（a+b）的终点在一直线上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=（1+t2t）|a|2，t=21时，|atb|有最小值23|a|.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.10.求证的三条中线 AD、BE、CF 交于一点，并确定交点在中线上的位置。证明：设,ABa ACb，交于点，,AGAD BGBE，在ACG 中，由AGABBG，可得23同理可证，也交于点，在的三分点处【探索题】在ABC 中，AMAB=13，ANAC=14，BN 与 CM 交于点 E，AB=a，AC=b，用 a、b 表示AE.解：由已知得AM=31a，AN=41b.设ME=MC，R，则AE=AM+ME=AM+MC.=AM+（ACAM）=31a+（b31a）=（313）a+b.同理，设NE=tNB，tR，则AE=AN+NE=41AC+tNB=41AC+t（ABAN）=41b+t（a41b）=（414t）b+ta.（313）a+b=（414t）b+ta.由a与b是不共线向量，得，441331tt解得.113112t，_GFEDACABCMNEhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网AE=113a+112b.