第2章动量传递概论与动量传递微分方程PPT讲稿.ppt

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1、第2章动量传递概论与动量传递微分方程第1页，共47页，编辑于2022年，星期一第一节第一节动量传递概论动量传递概论一、动量的分子传递与涡流传递一、动量的分子传递与涡流传递(一一)分子动量传递与传递系数分子动量传递与传递系数 牛顿黏性定律：牛顿黏性定律：第2页，共47页，编辑于2022年，星期一 以纯气体的层流流动为例，依据气体分子运动论推导分子动量以纯气体的层流流动为例，依据气体分子运动论推导分子动量传递方程，如下：传递方程，如下：考察：速度分别为考察：速度分别为 u ux1 1 和和 u ux2的两相邻气体层。的两相邻气体层。设：设：(1)(1)两相邻层间距离为分子运动平均自由程两相邻层间距

2、离为分子运动平均自由程 ,u ux1u ux2；(2)(2)气体分子在三维空间各个方向上无规则运动的分子数相气体分子在三维空间各个方向上无规则运动的分子数相同，且平均速度为同，且平均速度为，单位体积中气体的分子数为，单位体积中气体的分子数为n，每个分子的质量为每个分子的质量为m。则，在单位时间单位面积上两气体层：则，在单位时间单位面积上两气体层：交换的分子数目为交换的分子数目为交换的动量通量为交换的动量通量为代入式代入式(2-1)，得，得 第3页，共47页，编辑于2022年，星期一比较两式比较两式可得可得 和和 分别为分别为分子无规则运动的平均速度和分子无规则运动的平均速度和分子运动平均自分子

3、运动平均自由程，仅与分子的种类和状态有关，所以由程，仅与分子的种类和状态有关，所以 或或 为物性常数，与为物性常数，与温度、压力有关。温度、压力有关。气体、液体黏度的数据及估算方法可查阅有关手册和文献。气体、液体黏度的数据及估算方法可查阅有关手册和文献。第4页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)涡流动量传递涡流动量传递 当流体做湍流流动时，除分子微观运动引起的动量传递外，更当流体做湍流流动时，除分子微观运动引起的动量传递外，更主要的是由宏观的流体微团脉动产生的涡流传递。主要的是由宏观的流体微团脉动产生的涡流传递。Boussinesq提出的提出的涡流传递涡流传递通量的表达式通量的表达式涡

4、流运动黏度涡流运动黏度 随涡流强度、流道位置等因素改变。随涡流强度、流道位置等因素改变。第5页，共47页，编辑于2022年，星期一二、流体通过相界面的动量传递二、流体通过相界面的动量传递 设一黏性流体以设一黏性流体以 u0的速度流过固体壁面的速度流过固体壁面,则流体通过壁面处的则流体通过壁面处的动量通量定义为动量通量定义为 s s-流体在壁面处传递的动量通量，或称壁面剪应力，流体在壁面处传递的动量通量，或称壁面剪应力，PaPa；CD-阻力系数；阻力系数；-动量传递系数，动量传递系数，m/sm/s；u0 0-流体主体的动量浓度，流体主体的动量浓度，kgkgm/(mm/(m3 3s)s)；us-壁

5、面处的动量浓度，壁面处的动量浓度，kgkgm/(mm/(m3 3s)s)；us-壁面处的流速，壁面处的流速，us=0。由式由式(2-6)(2-6)可知，流体在壁面处的动量传递通量可以表示为动可知，流体在壁面处的动量传递通量可以表示为动量传递系数与推动力量传递系数与推动力(动量浓度差动量浓度差)的乘积。的乘积。第6页，共47页，编辑于2022年，星期一 湍流流动的流体在紧靠壁面处的流层中仍处于层流状态，其动湍流流动的流体在紧靠壁面处的流层中仍处于层流状态，其动量传递为分子传递，可用牛顿黏性定律描述，即量传递为分子传递，可用牛顿黏性定律描述，即将式将式(2-6)(2-6)与式与式(2-7)(2-7

6、)联立，得联立，得或或由此可知，阻力系数由此可知，阻力系数 CD的计算依赖于壁面处的速度梯度的计算依赖于壁面处的速度梯度。CD的求解是黏性流体动量传递研究的重点问题之一。的求解是黏性流体动量传递研究的重点问题之一。第7页，共47页，编辑于2022年，星期一第二节第二节描述流动问题的观点描述流动问题的观点与时间导数与时间导数一、欧拉观点与拉格朗日观点一、欧拉观点与拉格朗日观点(一一)欧拉观点欧拉观点 在微分衡算中，欧拉方法是，在流体运动的空间中取一位置、在微分衡算中，欧拉方法是，在流体运动的空间中取一位置、体积均固定的流体微元，对此流体微元依据守恒定律做相应的衡算体积均固定的流体微元，对此流体微

7、元依据守恒定律做相应的衡算，得到描述物理量变化的微分方程。，得到描述物理量变化的微分方程。欧拉微分控制体欧拉微分控制体(流体微元流体微元)的特点：的特点：体积、位置固定，输入和输出控制体的物理量随时间改变。体积、位置固定，输入和输出控制体的物理量随时间改变。第8页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)拉格朗日观点拉格朗日观点 在微分衡算中，拉格朗日方法是，在运动的流体中选取任一质在微分衡算中，拉格朗日方法是，在运动的流体中选取任一质量固定的流体微元，对此流体微元依据守恒定律做相应的衡算，得量固定的流体微元，对此流体微元依据守恒定律做相应的衡算，得到描述物理量变化的微分方程。到描述物理量变

8、化的微分方程。拉格朗日微分控制体拉格朗日微分控制体(流体微元流体微元)的特点：的特点：质量固定，而位置和体积是随时间变化的。质量固定，而位置和体积是随时间变化的。第9页，共47页，编辑于2022年，星期一二、物理量的时间导数二、物理量的时间导数 以温度以温度 为例。为例。(一一)偏导数偏导数 表示固定点表示固定点(x,y,z)处流体温度处流体温度t 随时间随时间的变化率。的变化率。(二二)全导数全导数 观测者在流体中以速度观测者在流体中以速度 运动时，测得的流运动时，测得的流体温度体温度t 随时间随时间的变化率。的变化率。第10页，共47页，编辑于2022年，星期一(三三)随体导数随体导数亦称

9、拉格朗日导数，是全导数的一个特殊情况，即当亦称拉格朗日导数，是全导数的一个特殊情况，即当时的全导数，其中时的全导数，其中 ux、uy、uz 为流体的速度。为流体的速度。固有固有一一般般地地，随随体体导导数数的的物物理理意意义义是是，流流场场中中流流体体质质点点上上的的物物理理量量(如如温温度度)随时间和空间的变化率。随体导数亦称质点导数。随时间和空间的变化率。随体导数亦称质点导数。随随体体导导数数由由两两部部分分组组成成，其其一一为为量量的的局局部部变变化化，即即量量在在空空间间的的一一个个固固定定点点处处随随时时间间的的变变化化，称称为为“局局部部导导数数”；另另一一部部分分为为量量的的对对

10、流流变变化化，即即由由于于流流体体的质点运动，量由一点移动到另一点时所发生的变化，称为的质点运动，量由一点移动到另一点时所发生的变化，称为“对流导数对流导数”。第11页，共47页，编辑于2022年，星期一第三节第三节 连续性方程连续性方程在单组分等温流体系统（如水）或组成均匀的多组分混合物系在单组分等温流体系统（如水）或组成均匀的多组分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进行微分质量衡算，所得方程统（如空气）中，运用质量守恒原理进行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。称为连续性方程。一、连续性方程的推导一、连续性方程的推导在在x 方向：方向：流入：质量通量流入：质量通量质量流率质量流率流

11、出：质量通量流出：质量通量质量流率质量流率第12页，共47页，编辑于2022年，星期一 x 方向流出与流入的质量流率差为方向流出与流入的质量流率差为同理同理,可得可得y和和z方向流出与流入的质量流率差分别为方向流出与流入的质量流率差分别为控制体内任一时刻的流体质量为控制体内任一时刻的流体质量为，因此累计速率为，因此累计速率为第13页，共47页，编辑于2022年，星期一由质量守恒定律由质量守恒定律 (质量流率质量流率)流出流出(质量流率质量流率)流入流入(质量流率质量流率)累积累积=0=0联立式联立式(2-12a(2-12a、b b、c)c)和式和式(2-13)(2-13)，得，得写成向量形式写

12、成向量形式式式(2-14)(2-14)即为流体流动时的微分质量衡算方程，亦称连续性方程。即为流体流动时的微分质量衡算方程，亦称连续性方程。任何流体的流动均满足此方程，对稳态或非稳态流动、理想或非理任何流体的流动均满足此方程，对稳态或非稳态流动、理想或非理想流体、可压缩或不可压缩流体、牛顿型或非牛顿型流体均适用。想流体、可压缩或不可压缩流体、牛顿型或非牛顿型流体均适用。第14页，共47页，编辑于2022年，星期一二、对连续性方程的分析二、对连续性方程的分析将式将式(2-14a)(2-14a)的各项展开，可得的各项展开，可得即即写成向量式写成向量式式式(2-15b)(2-15b)为连续性方程的又一

13、表达形式。为连续性方程的又一表达形式。第15页，共47页，编辑于2022年，星期一密度对时间随体导数密度对时间随体导数由两部分组成：由两部分组成：密度随时间的局部导数密度随时间的局部导数表示密度在空间的一个固定点处随时间的变化。表示密度在空间的一个固定点处随时间的变化。密度随时间的对流导数密度随时间的对流导数表示密度由一点移动到另一点时所发生的变化。表示密度由一点移动到另一点时所发生的变化。的物理意义：的物理意义：流体质点在流体质点在d时间内由空间的一点（时间内由空间的一点（x,y,z）移动到另一点）移动到另一点（x+dx,y+dy,z+dz）时，流体密度对时间的变化率。）时，流体密度对时间的

14、变化率。第16页，共47页，编辑于2022年，星期一将式将式对时间求随体导数，得对时间求随体导数，得或或将式将式(2-17)(2-17)代入式代入式(2-15)(2-15)得得 表示流体微元的体积膨胀速率表示流体微元的体积膨胀速率(形变速率形变速率)；表示速度向量的散度，它是流体微元在表示速度向量的散度，它是流体微元在3个坐个坐标方向的线性形变速率之和。标方向的线性形变速率之和。第17页，共47页，编辑于2022年，星期一连续性方程连续性方程的简化：的简化：(1)(1)稳态流动，稳态流动，或或(2)(2)不可压缩流体，不可压缩流体，=常数，无论是稳态还是非稳态流体均有常数，无论是稳态还是非稳态

15、流体均有或或第18页，共47页，编辑于2022年，星期一三、柱坐标与球坐标系的连续性方程三、柱坐标与球坐标系的连续性方程(一一)柱坐标系柱坐标系(二二)球坐标系球坐标系第19页，共47页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 运动方程运动方程一、用应力表示的运动方程一、用应力表示的运动方程(一一)动量守恒定律在流体微元上的表达式动量守恒定律在流体微元上的表达式对于运动流体，牛顿第二定律可描述为：流体的动量随时间的对于运动流体，牛顿第二定律可描述为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和。即变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和。即第20页，共47页，编辑于2022年，

16、星期一采用拉格朗日观点采用拉格朗日观点,在流场中选一固定质量的流体微元在流场中选一固定质量的流体微元(微元系微元系统统),),考察该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。考察该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。设在某一时刻设在某一时刻 ，此微元系统的体积为，此微元系统的体积为dV=dx dy dz，由牛，由牛顿第二定律，得顿第二定律，得式式(2-26)的分量式为的分量式为第21页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)作用在流体上的外力的分析作用在流体上的外力的分析 为作用在微元系统上的合外力为作用在微元系统上的合外力,包括体积力包括体积力 和表面力和表面力，合外力为体积力

17、与表面力之和，即，合外力为体积力与表面力之和，即 。1.1.体积力体积力(质量力质量力)体积力是作用在所考察的流体整体上的力。是一种非接触力。体积力是作用在所考察的流体整体上的力。是一种非接触力。单位质量流体的体积力与其在直角坐标系中各分量的关系为单位质量流体的体积力与其在直角坐标系中各分量的关系为所考察的流体微元所受的体积力为所考察的流体微元所受的体积力为式式(2-28)(2-28)的分量方程为的分量方程为若流体微元仅处于重力场的作用之下，则若流体微元仅处于重力场的作用之下，则若坐标系若坐标系 x、y 为水平方向，为水平方向，z 垂直向上，则垂直向上，则Z=-=-g。第22页，共47页，编辑

18、于2022年，星期一2.2.表面力表面力(机械力机械力)流体微元与其周围环境流体流体微元与其周围环境流体(有时可能是固体壁面有时可能是固体壁面)在界面上产在界面上产生的相互作用力称为表面力，又称为机械力，是一种接触力。生的相互作用力称为表面力，又称为机械力，是一种接触力。表面力可分解为：与作用面相切的剪切力；与作用面相垂直的表面力可分解为：与作用面相切的剪切力；与作用面相垂直的法向力。法向力。单位面积上的表面力称为表面应力或机械应力。单位面积上的表面力称为表面应力或机械应力。表面应力亦可表面应力亦可分解为法向应力和剪应力。记为分解为法向应力和剪应力。记为 。运动的微元流体在界面上受到表运动的微

19、元流体在界面上受到表面应力的作用，流体微元将会发生形面应力的作用，流体微元将会发生形变。变。法向应力和剪应力的表示方法：法向应力和剪应力的表示方法：如如 xx、xy、xz，第一个下标第一个下标 x 表表示应力分量的作用面与示应力分量的作用面与x 轴相垂直轴相垂直，第二个下标，第二个下标 x、y、z 分别表示应分别表示应力分量的作用方向。力分量的作用方向。第23页，共47页，编辑于2022年，星期一(三三)用应力表示的运动方程用应力表示的运动方程 如图所示的流体微元的如图所示的流体微元的 6 6 个表面都受着与之毗邻的环境流体所个表面都受着与之毗邻的环境流体所作用的表面应力。图中仅示出了作用的表

20、面应力。图中仅示出了 x 方向上的表面应力分量。方向上的表面应力分量。微元流体系统在微元流体系统在 x 方向上的合外力，为方向上的合外力，为而而x 方向上的体积力方向上的体积力x 方向上的表面力方向上的表面力第24页，共47页，编辑于2022年，星期一将上式化简，可得将上式化简，可得将式将式(2-29a)(2-29a)及及式式(2-33)(2-33)代入代入式式(2-31)(2-31)，得，得将将式式(2-34)(2-34)代入代入整理得整理得同理，可得同理，可得式式(2-35)(2-35)称为以应力表示的黏性流体的运动方程。称为以应力表示的黏性流体的运动方程。第25页，共47页，编辑于202

21、2年，星期一确定式确定式(2-35a)(2-35a)式式(2-35c)(2-35c)中中9 9个表面应力的独立变量数：个表面应力的独立变量数：简化后，得简化后，得当微元体积当微元体积0 0时，旋转半径时，旋转半径0 0，固有固有同理，有同理，有可知，上述可知，上述 9 9 个表面应力分量中只有个表面应力分量中只有 6 6 个是独立的。个是独立的。第26页，共47页，编辑于2022年，星期一二、牛顿型流体的本构方程二、牛顿型流体的本构方程(一一)剪应力剪应力 对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与 y y 轴方向相同时，轴方向相同时，有有 对于牛顿型流体的三

22、维流动，每一剪应力与其相应两方向的形对于牛顿型流体的三维流动，每一剪应力与其相应两方向的形变速率有关，为变速率有关，为第27页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)法向应力法向应力当流体流动时，法向应力有两部分组成：当流体流动时，法向应力有两部分组成：流体的压力，使流体微元承受压缩，发生体积形变；流体的压力，使流体微元承受压缩，发生体积形变；流体的粘性作用，使流体微元在法向承受拉伸或压缩，发生线流体的粘性作用，使流体微元在法向承受拉伸或压缩，发生线性形变。性形变。法向应力与压力及形变速率间的关系为：法向应力与压力及形变速率间的关系为：第28页，共47页，编辑于2022年，星期一三、牛顿型

23、流体的运动方程三、牛顿型流体的运动方程 将式将式(2-42)(2-42)、式、式(2-43)(2-43)代入式代入式(2-35),(2-35),简化后得简化后得向量形式为向量形式为式式(2-44)(2-44)称为称为牛顿型流体的运动方程，或牛顿型流体的运动方程，或奈维奈维-斯托克斯方程。斯托克斯方程。适用于牛顿型流体，如：稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩、适用于牛顿型流体，如：稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩、理想或实际的牛顿型流体。理想或实际的牛顿型流体。第29页，共47页，编辑于2022年，星期一不可压缩流体的奈维不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程由不可压缩流体的连续性方程由

24、不可压缩流体的连续性方程式式(2-44)简化为简化为向量形式为向量形式为第30页，共47页，编辑于2022年，星期一(1)(1)柱坐标系柱坐标系的奈维的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程 -时间；时间；r、z-表示径向坐标、方位角、轴向坐标；表示径向坐标、方位角、轴向坐标；ur、u、uz-r、z 方向上的速度分量；方向上的速度分量；Xr、X 、Xz-r、z 方向上单位质量流体的质量力分量。方向上单位质量流体的质量力分量。第31页，共47页，编辑于2022年，星期一(2)(2)球坐标系球坐标系的奈维的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第32页，共47页，编辑于2022年，星期一 -时间；时间；r、-表示

25、径向坐标、余纬度、方位角；表示径向坐标、余纬度、方位角；ur、u、u-r、方向上的速度分量；方向上的速度分量；Xr、X 、X -r、方向上单位质量流体的质量力分量。方向上单位质量流体的质量力分量。第33页，共47页，编辑于2022年，星期一四、对奈维四、对奈维-斯托克斯方程的分析斯托克斯方程的分析(一一)方程组的可解性方程组的可解性或或 第34页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)初始条件与边界条件初始条件与边界条件 对于具体的流动问题，在求解流动方程时，需给定一定的初始对于具体的流动问题，在求解流动方程时，需给定一定的初始条件及边界条件。条件及边界条件。初始条件：初始条件：指指=0时

26、，在所考虑的问题中给出下述条件时，在所考虑的问题中给出下述条件常见的常见的3 3种边界条件：种边界条件：(1)(1)静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，(2)(2)运动固面：在运动固面上，流体应满足运动固面：在运动固面上，流体应满足(3)(3)自由表面：指一个流动的液体暴露于气体自由表面：指一个流动的液体暴露于气体(多为大气多为大气)中的部分中的部分表面。在自由表面上，应满足表面。在自由表面上，应满足即，在自由表面上，法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪即，在自由表面上，法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零。应力分量等于零。

27、第35页，共47页，编辑于2022年，星期一(三三)关于重力项的处理关于重力项的处理将静止流体平衡微分方程式将静止流体平衡微分方程式(1-7)(1-7)，改写成，改写成 ps-流体的静压力。流体的静压力。将式将式(2-51)(2-51)代入代入不可压缩流体的奈维不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程式式(2-45)(2-45)第36页，共47页，编辑于2022年，星期一得得令令 pd-流体的动力压力流体的动力压力(动压力动压力)，为流体流动所需要的压力，与为流体流动所需要的压力，与流体的运动速度有关。流体的运动速度有关。第37页，共47页，编辑于2022年，星期一将式将式(2-53)(2

28、-53)代入式代入式(2-52)(2-52)，得，得向量形式为向量形式为式式(2-54)(2-54)或式或式(2-55)(2-55)中将不出现重力项，是以动压力梯度表示的运中将不出现重力项，是以动压力梯度表示的运动方程，仅适用于动方程，仅适用于不可压缩流体不可压缩流体。第38页，共47页，编辑于2022年，星期一第二章动量传递概论与动量传递微分方程小结第二章动量传递概论与动量传递微分方程小结(一一)流体通过相界面的动量传递流体通过相界面的动量传递 黏性流体以黏性流体以 u0的速度流过固体壁面的速度流过固体壁面,则流体通过壁面处的动量则流体通过壁面处的动量通量定义为通量定义为 s s-流体在壁面

29、处传递的动量通量，或称壁面剪应力，流体在壁面处传递的动量通量，或称壁面剪应力，PaPa；CD-阻力系数；阻力系数；u0 0-流体主体的动量浓度，流体主体的动量浓度，kgkgm/(mm/(m3 3s)s)；us-壁面处的动量浓度，壁面处的动量浓度，kgkgm/(mm/(m3 3s)s)；-动量传递系数，动量传递系数，m/sm/s；us-壁面处的流速，壁面处的流速，us=0。流体在壁面处的动量传递通量可以表示为动量传递系数与推动流体在壁面处的动量传递通量可以表示为动量传递系数与推动力力(动量浓度差动量浓度差)的乘积。的乘积。第39页，共47页，编辑于2022年，星期一 在紧靠壁面处的流层仍处于层流

30、状态，可用牛顿黏性定律描述在紧靠壁面处的流层仍处于层流状态，可用牛顿黏性定律描述，即，即将式将式(2-6)(2-6)与式与式(2-7)(2-7)联立，得联立，得可知，阻力系数可知，阻力系数 CD的计算依赖于壁面处的速度梯度的计算依赖于壁面处的速度梯度。CD的求解是黏性流体动量传递研究的重点问题之一。的求解是黏性流体动量传递研究的重点问题之一。第40页，共47页，编辑于2022年，星期一(二二)物理量的时间导数物理量的时间导数(1)(1)局部导数局部导数 物理量在空间的一个固定点处随时间的变化，如物理量在空间的一个固定点处随时间的变化，如(2)(2)对流导数对流导数 由于流体的质点运动，物理量由

31、一点移动到另一点时所发生的由于流体的质点运动，物理量由一点移动到另一点时所发生的变化，如变化，如(3)(3)随体导数随体导数(拉格朗日导数拉格朗日导数/质点导数质点导数)随随体体导导数数的的物物理理意意义义是是，流流场场中中流流体体质质点点上上的的物物理理量量随随时时间间和和空空间间的的变变化化率。率。随体导数由两部分组成，局部导数和对流导数。随体导数由两部分组成，局部导数和对流导数。第41页，共47页，编辑于2022年，星期一(三三)连续性方程连续性方程 任何流体的流动均满足此方程，对稳态或非稳态流动、理想或任何流体的流动均满足此方程，对稳态或非稳态流动、理想或非理想流体、可压缩或不可压缩流

32、体、牛顿型或非牛顿型流体均适非理想流体、可压缩或不可压缩流体、牛顿型或非牛顿型流体均适用。用。第42页，共47页，编辑于2022年，星期一(1)(1)稳态流动，稳态流动，或或(2)(2)不可压缩流体，不可压缩流体，=常数，无论是稳态还是非稳态流体均有常数，无论是稳态还是非稳态流体均有或或第43页，共47页，编辑于2022年，星期一(四四)牛顿型流体的本构方程牛顿型流体的本构方程广义的牛顿粘性定律广义的牛顿粘性定律第44页，共47页，编辑于2022年，星期一(五五)牛顿型流体的运动方程牛顿型流体的运动方程奈维奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程适用于黏度恒定的牛顿型流体，如：稳态或非稳态流动、可压缩或适用于黏度恒定的牛顿型流体，如：稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩不可压缩 、理想或实际的黏度恒定的牛顿型流体。、理想或实际的黏度恒定的牛顿型流体。第45页，共47页，编辑于2022年，星期一不可压缩流体的奈维不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第46页，共47页，编辑于2022年，星期一以动压力表示的不可压缩流体的奈维以动压力表示的不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第47页，共47页，编辑于2022年，星期一