不定积分凑微分法与换元法.ppt

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1、关于不定积分凑微分法和换元法第一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令1、第一换元积分法第二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明:使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理定理7.2.17.2.1第四张

2、，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1 1 求求解解第五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例2 2解解第六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月求求解解第七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例3 求求解解第八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）第九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例4 4 求求解解一般地一般地第十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月书中例书中例4 4 求求解解第十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月求求解解第十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例5 5

3、 求求解解说明说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.第十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月附例附例 求求解解第十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例6 6 求求解解第十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例7 7 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）第十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出第十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例8 8 求求解解第十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例9 9

4、 求求解解第十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月解解例例1010 设设 求求 .令令第二十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1111 求求解解第二十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1212 求求解解第二十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1313 求求解：原式解：原式第二十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1414 求求解解第二十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月作业作业第二十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微

5、分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2、第二换元积分法第二十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月定理定理7.2.2 7.2.2（第二换元积分法）（第二换元积分法）第二十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月证明证明证毕证毕第二十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1515 书中例书中例7求求解解令令第二十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例16 16 书中例书中例8 求求解解第三十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1717 求求解解令令第三十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1818 求求解解令令第三十二张，PPT共四十七页，创

6、作于2022年6月说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第三十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令第三十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根

7、据被积函数换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定的情况来定.说明说明(3)(3)例例 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解第三十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例1919 求求解解令令第三十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2020 求求令令解解第三十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月例例2121 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）第三十八张，PPT共四十七页，创作于2022年6月第三十九张，PPT共四十七页，创作于2022年6月说明说明(5

8、)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2222 求求解解令令第四十张，PPT共四十七页，创作于2022年6月第四十一张，PPT共四十七页，创作于2022年6月基基本本积积分分表表第四十二张，PPT共四十七页，创作于2022年6月第四十三张，PPT共四十七页，创作于2022年6月三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)第四十四张，PPT共四十七页，创作于2022年6月思考题思考题求积分求积分第四十五张，PPT共四十七页，创作于2022年6月思考题解答思考题解答第四十六张，PPT共四十七页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第四十七张，PPT共四十七页，创作于2022年6月