第2章数组矩阵及其运算PPT讲稿.ppt

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1、第第2 2章数组矩阵及其运算章数组矩阵及其运算第1页，共126页，编辑于2022年，星期一第第2 2章数组、矩阵及其运算章数组、矩阵及其运算2.1 2.1 数组的创建数组的创建2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算2.3 2.3 矩阵的关系运算矩阵的关系运算2.4 2.4 矩阵运算矩阵运算2.5 2.5 符号矩阵运算符号矩阵运算2.6 2.6 高高 维维 数数 组组2.7 2.7 非数和空数组非数和空数组2.8 2.8 矩矩 阵阵 分分 解解2.9 2.9 特征值与特征向量特征值与特征向量2.10 2.10 小小 结结第2页，共126页，编辑于2022年，星期一 数组或矩阵是数组或矩阵是

2、MATLABMATLAB最基础的内容之一，几乎最基础的内容之一，几乎所有的数据都是用数组的形式进行存储的，这就是所有的数据都是用数组的形式进行存储的，这就是MATLABMATLAB又被称为矩阵实验室的原因。又被称为矩阵实验室的原因。本章将首先介绍数组或矩阵的创建和运算，本章将首先介绍数组或矩阵的创建和运算，然后介绍在理论和工程应用中都十分重要的矩然后介绍在理论和工程应用中都十分重要的矩阵分解，最后介绍矩阵的特征值与特征向量的阵分解，最后介绍矩阵的特征值与特征向量的求解等问题。求解等问题。第3页，共126页，编辑于2022年，星期一2.1 数组的创建1 1直接输入法直接输入法（1 1）使用分号，

3、）使用分号，创建一建一维列数列数组。D1=pi;log(5);7+2;23 D1=pi;log(5);7+2;23D1=D1=3.1416 3.1416 1.6094 1.6094 9.0000 9.0000 8.0000 8.00001.3.2 Windows下安装下安装MATLAB第4页，共126页，编辑于2022年，星期一（2 2）使用空格，创建一维行数组。）使用空格，创建一维行数组。D2=pi log(5)7+2 23 D2=pi log(5)7+2 23D2=D2=3.1416 1.6094 9.0000 8.0000 3.1416 1.6094 9.0000 8.0000第5页，共

4、126页，编辑于2022年，星期一 采用通用格式采用通用格式a a：stepstep：b b。其中其中a a表示数组的第一个元素；表示数组的第一个元素；setpsetp表示数表示数组的间隔，即步长；组的间隔，即步长；b b表示数组的最后一个元素。表示数组的最后一个元素。如果省略如果省略stepstep，默认值为，默认值为1 1；如果；如果stepstep是正数，是正数，必须满足必须满足ababab。2 2步长生成法步长生成法第6页，共126页，编辑于2022年，星期一 在设定了总个数的条件下，均匀采样分布生成在设定了总个数的条件下，均匀采样分布生成一维行数组。采用通用格式：一维行数组。采用通用

5、格式：x xlinspace(a,b,n)linspace(a,b,n)3 3定数线性采样法定数线性采样法第7页，共126页，编辑于2022年，星期一 在设定了总个数的条件下，经过在设定了总个数的条件下，经过“常用对常用对数数”采样生成一维行数组。采样生成一维行数组。采用通用格式采用通用格式x xlogspace(a,b,n)logspace(a,b,n)，其中，其中a a、b b分别是数组的第一个和最后一个元素，分别是数组的第一个和最后一个元素，n n表示个表示个数。数。4 4定数对数采样法定数对数采样法第8页，共126页，编辑于2022年，星期一1 1子数组的寻访子数组的寻访rand(st

6、ate,0)rand(state,0)%把均匀分布把均匀分布伪随机随机发生器置生器置为0 0状状态。x=rand(1,5)x=rand(1,5)%产生（生（1515）的均布随机数）的均布随机数组。x=x=0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3)x(3)%寻访数数组x x的第三个元素的第三个元素ans=ans=0.6068 0.6068 2.1.2 一维数组的子数组寻访和赋值一维数组的子数组寻访和赋值第9页，共126页，编辑于2022年，星期一x(3)=0 x(3)=0%把上例中的第三个元

7、素重新把上例中的第三个元素重新赋值为赋值为0 0。x=x=0.9501 0.2311 0 0.4860 0.8913 0.9501 0.2311 0 0.4860 0.8913 x(1 4)=1 1x(1 4)=1 1%把当前把当前x x数组的第一、四个元素数组的第一、四个元素都赋值为都赋值为1 1。x=x=1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913 1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913 2 2子数组的赋值子数组的赋值第10页，共126页，编辑于2022年，星期一1 1采用直接输入法创建二维数组采用直接输入法创建二维数组【例【例2-12-1】创建二维数组。

8、】创建二维数组。【例【例2-22-2】复数数】复数数组的另一种的另一种输入方式。入方式。2.1.3 二维数组（矩阵）的创建二维数组（矩阵）的创建第11页，共126页，编辑于2022年，星期一 2 2采用采用MATLABMATLAB中产生矩阵的内部函数中产生矩阵的内部函数命令创建二维数组命令创建二维数组表表表表2-12-1MATLABMATLAB内部函数内部函数内部函数内部函数产产产产生矩生矩生矩生矩阵阵阵阵命令表命令表命令表命令表函 数功 能函 数功 能compan伴随阵 zeros元素全为0的矩阵 diag对角阵 ones元素全为1的矩阵 magic魔方矩阵 rand元素服从均匀分布的随机矩

9、阵 linspace线性空间向量 randn元素服从正态分布的随机矩阵 logspace对数空间向量 eye对角线上元素为1的矩阵（单位矩阵）第12页，共126页，编辑于2022年，星期一 找到满足某一条件的矩阵元素称为矩阵元素的找到满足某一条件的矩阵元素称为矩阵元素的标识。标识。【例【例2-32-3】找出数组】找出数组A A中所有绝对值大于中所有绝对值大于3 3的元素。的元素。2.1.4 矩阵元素的标识矩阵元素的标识第13页，共126页，编辑于2022年，星期一 矩阵的赋值可以采用全元素、单下标、双下标矩阵的赋值可以采用全元素、单下标、双下标等方式。等方式。【例【例2-42-4】不同赋值方式

10、示例。】不同赋值方式示例。2.1.5 矩阵的寻访和赋值矩阵的寻访和赋值第14页，共126页，编辑于2022年，星期一2.2.1 pow2函数函数2.2.2 加、减运算加、减运算2.2.3 乘法乘法2.2.4 集合运算集合运算2.2.5 除法运算除法运算2.2.6 矩阵乘方矩阵乘方2.2 矩阵的代数运算第15页，共126页，编辑于2022年，星期一 命令：命令：X=pow2(F,E)X=pow2(F,E)，表示，表示 【例【例2-52-5】演示】演示pow2pow2的数组运算性质。的数组运算性质。2.2.1 pow2函数函数第16页，共126页，编辑于2022年，星期一 加、减运算符为加、减运算

11、符为“+”和和“”。运算规则为对。运算规则为对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“+”、“”运算进行。运算进行。【例【例2-62-6】加、减运算符示例。】加、减运算符示例。2.2.2 加、减运算加、减运算第17页，共126页，编辑于2022年，星期一 乘法运算符为乘法运算符为“*”。运算规则和线性代数中。运算规则和线性代数中矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的各行元素，矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。1 1两个矩阵相乘两个矩阵相乘 【例【例2-72-7

12、】矩阵相乘示例。】矩阵相乘示例。2 2矩阵的数乘：数乘矩阵矩阵的数乘：数乘矩阵 【例【例2-82-8】矩阵的数乘示例。】矩阵的数乘示例。2.2.3 乘法乘法第18页，共126页，编辑于2022年，星期一 维数相同的两个向量的点乘；维数相同的两个向量的点乘；A A.*.*B B表示表示A A与与B B对对应元素相乘。应元素相乘。【例【例2-92-9】点乘示例。】点乘示例。3 3向量的点乘（内积）向量的点乘（内积）第19页，共126页，编辑于2022年，星期一 命令格式：命令格式：C=dot(A,B)C=dot(A,B)%若若A A、B B为向量，则返回向量为向量，则返回向量A A与与B B的点积

13、，的点积，A A与与B B长长%度相同；若为矩阵，则度相同；若为矩阵，则A A%与与B B有相同的维数。有相同的维数。C=dot(A,B,dim)C=dot(A,B,dim)%在在dimdim维数中给出维数中给出A A与与B B的点积。的点积。4 4向量点积向量点积第20页，共126页，编辑于2022年，星期一 在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。crosscross用来实现求解向量叉乘。用来实现求解向量叉乘。命令格式：命令格式：C=cross(A,B)C=cross(A,B)【

14、例【例2-112-11】计算垂直于向量（】计算垂直于向量（1,2,31,2,3）和）和（4,5,64,5,6）的向量。）的向量。5 5向量叉乘向量叉乘第21页，共126页，编辑于2022年，星期一 【例例2-122-12】计计算算向向量量a a=(1,=(1,2,2,3)3)、b b=(4,=(4,5,5,6)6)和和c c=(-3,6,-3)=(-3,6,-3)的混合积。的混合积。6 6混合积混合积第22页，共126页，编辑于2022年，星期一 命令格式：命令格式：w=conv(u,v)%uw=conv(u,v)%u、v v为向量，其长度可不相同。为向量，其长度可不相同。【例【例2-132-

15、13】展开多项式】展开多项式(s s2 2+2+2s s+2)(+2)(s s+4)(+4)(s s+1)+1)。7 7矩阵的卷积和多项式乘法矩阵的卷积和多项式乘法第23页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：q,r=deconv(v,u)%q,r=deconv(v,u)%多项式多项式v v除以多项式除以多项式u u，返回商多项，返回商多项式式q q和余多项式和余多项式r r。【例【例2-142-14】计算多项式的】计算多项式的 卷积。卷积。8 8反褶积（解卷）和多项式除法运算反褶积（解卷）和多项式除法运算第24页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：C

16、=kron(A,B)%A C=kron(A,B)%A为为mnmn矩阵，矩阵，B B为为pqpq矩阵，则矩阵，则C C为为mpnqmpnq矩阵。矩阵。【例【例2-152-15】，求，求A BA B。9 9张量积张量积第25页，共126页，编辑于2022年，星期一1 1两个集合的交集两个集合的交集命令格式：命令格式：c=intersect(a,b)c=intersect(a,b)%返回向量返回向量a a、b b的的公共部分，即公共部分，即c=abc=ab。c=intersect(A,B,rows)c=intersect(A,B,rows)%A%A、B B为相同列数的矩阵为相同列数的矩阵，返回元素相

17、同的行。，返回元素相同的行。c,ia,ib=intersect(a,b)c,ia,ib=intersect(a,b)%c%c为为a a、b b的公共元素，的公共元素，iaia表示公共元素在表示公共元素在a a中的位置，中的位置，ibib表示公表示公%共元素在共元素在b b中位置。中位置。【例【例2-162-16】两个集合的交集示例。】两个集合的交集示例。2.2.4 集合运算集合运算第26页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：k=ismember(a,S)k=ismember(a,S)%当当a a中元素属于中元素属于S S时，时，k k取取1 1，否，否则，则，k k取取0

18、 0。k=ismember(A,S,rows)k=ismember(A,S,rows)%A%A、S S有相同的列，行相有相同的列，行相同同k k取取1 1，不相同取，不相同取0 0，同时结果为取值的列向量。，同时结果为取值的列向量。【例【例2-172-17】检测集合中的元素示例。】检测集合中的元素示例。2 2检测集合中的元素检测集合中的元素第27页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：c=setdiff(a,b)c=setdiff(a,b)%返回属于返回属于a a但不属于但不属于b b的不同元的不同元素的集合，素的集合，c=a-bc=a-b。c=setdiff(A,B,ro

19、ws)c=setdiff(A,B,rows)%返回属于返回属于A A但不属于但不属于B B的的不同行。不同行。c,i=setdiff(c,i=setdiff()%c%c与前面一致，与前面一致，i i表示表示c c中中元素在元素在A A中的位置。中的位置。【例【例2-182-18】两集合的差示例。】两集合的差示例。3 3两集合的差两集合的差第28页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：c=setxor(a,b)%c=setxor(a,b)%返回集合返回集合a a、b b交集的非。交集的非。c=setxor(A,B,rows)%c=setxor(A,B,rows)%返回矩阵返回

20、矩阵A A、B B交集的非，交集的非，A A、B B有相同列数。有相同列数。c,ia,ib=setxor(c,ia,ib=setxor()%ia)%ia、ibib表示表示c c中元素分别在中元素分别在a a(或或A)A)、b(b(或或B)B)中位置。中位置。【例【例2-192-19】两个集合交集的非示例。】两个集合交集的非示例。4 4两个集合交集的非（异或）两个集合交集的非（异或）第29页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：c=union(a,b)c=union(a,b)%返回返回a a、b b的并集，即的并集，即c=c=abab。c=union(A,B,rows)c=u

21、nion(A,B,rows)%返回矩阵返回矩阵A A、B B不同行向不同行向量构成的矩阵。量构成的矩阵。c,ia,ib=union(c,ia,ib=union()%ia%ia、ibib分别表示分别表示c c中行向中行向量在原矩阵量在原矩阵(向量向量)中的位置。中的位置。【例【例2-202-20】两集合的并集示例。】两集合的并集示例。5 5两集合的并集两集合的并集第30页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：b=unique(a)b=unique(a)%取集合取集合a a的不重复元素构成的向的不重复元素构成的向量。量。b=unique(A,rows)b=unique(A,ro

22、ws)%返回返回A A、B B不同行元素组成的矩不同行元素组成的矩阵。阵。b,i,j=unique(b,i,j=unique()%i%i、j j体现体现b b中元素在原向中元素在原向量（矩阵）中的位置。量（矩阵）中的位置。【例【例2-212-21】取集合的单值元素。】取集合的单值元素。6 6取集合的单值元素取集合的单值元素第31页，共126页，编辑于2022年，星期一 MATLAB MATLAB提供了两种除法运算：左除（提供了两种除法运算：左除（）和右除）和右除（/）。）。一般情况下，一般情况下，x x=a a b b是方程是方程a a*x x=b b的解，而的解，而x x=b b/a a是方

23、程是方程x x*a a=b b的解。的解。【例【例2-222-22】除法运算示例。】除法运算示例。2.2.5 除法运算除法运算第32页，共126页，编辑于2022年，星期一乘方运算符：乘方运算符：“”。运算规则。运算规则。（1 1）当）当A A为方阵，为方阵，P P为大于为大于0 0的整数时，的整数时，A A P P表表示示A A的的P P次方，即次方，即A A自乘自乘P P次；次；P P为小于为小于0 0的整数时，的整数时，A A P P表示表示A A-1-1的的P P次方。次方。2.2.6 矩阵乘方矩阵乘方第33页，共126页，编辑于2022年，星期一（2 2）当）当A A为方阵，为方阵，

24、P P为非整数时，则为非整数时，则 ，其中，其中V V为为A A的特征向的特征向 量，量，为特征值对角矩阵。如果有为特征值对角矩阵。如果有重根，以上指令不成立。重根，以上指令不成立。第34页，共126页，编辑于2022年，星期一（3 3）标量的矩阵乘方）标量的矩阵乘方PAPA，标量的矩阵乘方定，标量的矩阵乘方定义为，义为，其中其中V V，D D取取 自特征值分解自特征值分解AVAV=ADAD。第35页，共126页，编辑于2022年，星期一（4 4）标量的数组乘方标量的数组乘方P P.A A，标量的数组乘方，标量的数组乘方定义为定义为 ；数组乘；数组乘方方A A.P P，表示，表示A A的每个元

25、素的的每个元素的P P次乘方。次乘方。第36页，共126页，编辑于2022年，星期一2.3.1 矩阵的比较关系运算矩阵的比较关系运算2.3.2 矩阵的逻辑关系运算矩阵的逻辑关系运算2.3 矩阵的关系运算第37页，共126页，编辑于2022年，星期一 矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的，所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的所以在使用关系运算时，首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较。较。若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置

26、若关系满足，则将结果矩阵中该位置元素置为为1 1，否则置，否则置0 0。MATLAB MATLAB的各种比较关系运算如表的各种比较关系运算如表2-22-2所示。所示。2.3.1 矩阵的比较关系运算矩阵的比较关系运算第38页，共126页，编辑于2022年，星期一表表表表2-22-2手工清洗工具手工清洗工具手工清洗工具手工清洗工具运算符含 义运算符含 义大于关系=大于或等于关系 A=1 1 0;0 0 2;0 0-1;A=1 1 0;0 0 2;0 0-1;Y=expm(A)Y=expm(A)第49页，共126页，编辑于2022年，星期一（3 3）方阵的函数）方阵的函数funmfunm。命令格式：

27、命令格式：F=funm(A,fun)F=funm(A,fun)%A%A为方阵，计算由为方阵，计算由funfun指定的指定的A A的矩阵函数，的矩阵函数，funfun可以是任意基本函数，如可以是任意基本函数，如%sin%sin、coscos等，例如：等，例如：funm(A,funm(A,expexp)=expm(A)=expm(A)。F,esterr=funm(A,fun)F,esterr=funm(A,fun)%esterr%esterr为结果所产生为结果所产生的相对误差的估计值。的相对误差的估计值。第50页，共126页，编辑于2022年，星期一（4 4）矩阵的方根函数）矩阵的方根函数 sqr

28、tm sqrtm。命令格式：命令格式：X=sqrtm(A)X=sqrtm(A)%矩阵矩阵A A的平方根的平方根A1/2A1/2，相当于，相当于X*X=AX*X=A，求求X X。若。若A A的特征值有非负实部，的特征值有非负实部，%则则X X是唯一的；若是唯一的；若A A的特征值有负的实部，则的特征值有负的实部，则X X为复矩阵；为复矩阵；若若A A为奇异矩为奇异矩%阵，则阵，则X X不存在。不存在。X,resnorm=sqrtm(A)X,resnorm=sqrtm(A)%resnorm%resnorm为为结果产生的相对误差。结果产生的相对误差。X,alpha,condest=sqrtm(A)X

29、,alpha,condest=sqrtm(A)%alpha%alpha为为稳定因子，稳定因子，condestcondest为结果条件数的估计值。为结果条件数的估计值。第51页，共126页，编辑于2022年，星期一（5 5）矩阵）矩阵A A的多项式函数的多项式函数 polyval polyval。命令格式：命令格式：polyval(P,A)%Ppolyval(P,A)%P为多项式系数向量，方阵为多项式系数向量，方阵A A为多项式变量，返回多项式值。为多项式变量，返回多项式值。【例【例2-292-29】p,S=polyfit(1:10,(1:10)+p,S=polyfit(1:10,(1:10)+

30、normrnd(0,0.1,1,10),1);normrnd(0,0.1,1,10),1);第52页，共126页，编辑于2022年，星期一 矩阵转置运算符：矩阵转置运算符：“”。运算规则：若矩阵运算规则：若矩阵A A的元素为实数，则与线的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同；若性代数中矩阵的转置相同；若A A为复数矩阵，则为复数矩阵，则A A转置后的元素由转置后的元素由A A对应元素的共轭复数构成。对应元素的共轭复数构成。若仅希望转置，则用如下命令：若仅希望转置，则用如下命令：A A.。【例【例2-302-30】两种不同转置的比较。】两种不同转置的比较。2.4.2 矩阵转置矩阵转置第53页

31、，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：d=det(X)%d=det(X)%返回方阵返回方阵X X的多项式的值的多项式的值【例【例2-312-31】求方阵的行列式。】求方阵的行列式。2.4.3 方阵的行列式方阵的行列式第54页，共126页，编辑于2022年，星期一求解方阵的逆矩阵的命令格式：求解方阵的逆矩阵的命令格式：Y=inv(X)Y=inv(X)%求方阵求方阵X X的逆矩阵。若的逆矩阵。若X X为奇异阵或为奇异阵或近似奇异阵，将给出警告信息。近似奇异阵，将给出警告信息。【例【例2-322-32】求】求 的逆矩阵。的逆矩阵。【例【例2-332-33】求矩阵】求矩阵A A的逆

32、矩阵。的逆矩阵。【例【例2-342-34】求矩阵】求矩阵A A的伪逆。的伪逆。2.4.4 逆与伪逆逆与伪逆第55页，共126页，编辑于2022年，星期一命令格式：命令格式：b=trace(A)b=trace(A)%返回矩阵返回矩阵A A的迹，即的迹，即A A的对角的对角线元素之和。线元素之和。2.4.5 矩阵的迹矩阵的迹第56页，共126页，编辑于2022年，星期一求解向量的范数求解向量的范数normnorm函数的命令格式：函数的命令格式：n=norm(X)n=norm(X)%X%X为向量，求欧几里德范数，即为向量，求欧几里德范数，即 。n=norm(X,inf)%n=norm(X,inf)%

33、求求-范数，即范数，即 。n=norm(X,1)n=norm(X,1)%求求1-1-范数，即范数，即 。n=norm(X,-inf)%n=norm(X,-inf)%求向量求向量X X的元素的绝对值的最小值，即的元素的绝对值的最小值，即 。n=norm(X,p)n=norm(X,p)%求求p-p-范数，即范数，即 ，所以所以norm(X,2)=norm(X)norm(X,2)=norm(X)。2.4.6 矩阵和向量的范数矩阵和向量的范数第57页，共126页，编辑于2022年，星期一解矩阵的范数解矩阵的范数normnorm函数的命令格式：函数的命令格式：n=norm(A)n=norm(A)%A%A

34、为矩阵，求欧几里德范数为矩阵，求欧几里德范数 ，等于，等于A A的最大奇异值。的最大奇异值。n=norm(A,1)n=norm(A,1)%求求A A的列范数的列范数 ，等于，等于A A列向量的列向量的1-1-范数的最大值。范数的最大值。n=norm(A,2)n=norm(A,2)%求求A A的欧几里德范数的欧几里德范数 ，和，和norm(A)norm(A)相同。相同。n=norm(A,inf)n=norm(A,inf)%求行范数，等于求行范数，等于A A行向量的行向量的1-1-范数范数的最大值，即：的最大值，即：%max(sum(abs(A)%max(sum(abs(A)。n=norm(A,n

35、=norm(A,frofro)%求矩阵求矩阵A A的的FrobeniusFrobenius范数范数 ，即，即%sqrt(sum(diag(A*A)%sqrt(sum(diag(A*A)，%不能用矩阵不能用矩阵p-p-范数的定义来求。范数的定义来求。第58页，共126页，编辑于2022年，星期一求解范数的估计值求解范数的估计值normestnormest函数的命令格式：函数的命令格式：nrm=normest(A)nrm=normest(A)%矩阵矩阵A A的的2-2-范数范数(欧几里欧几里德范数德范数)的估计值，相对误差小于的估计值，相对误差小于10106 6。nrm=normest(A,tol

36、)nrm=normest(A,tol)%tol%tol为指定相对误差。为指定相对误差。nrm,count=normest(nrm,count=normest()%count)%count给出计算估计值的给出计算估计值的迭代次数。迭代次数。第59页，共126页，编辑于2022年，星期一 （1 1）求解矩阵的条件数）求解矩阵的条件数condcond函数的命令格式。函数的命令格式。c=cond(X)c=cond(X)%求求X X的的2-2-范数的条件数，即范数的条件数，即X X的最大奇的最大奇异值和最小奇异值的商。异值和最小奇异值的商。c=cond(X,p)%c=cond(X,p)%求求p-p-范数

37、的条件数，范数的条件数，p p的值可以是的值可以是1 1、2 2、infinf或者或者frofro。2.4.7 条件数条件数第60页，共126页，编辑于2022年，星期一 （2 2）求解）求解1-1-范数的条件数估计范数的条件数估计condestcondest函数函数的命令格式。的命令格式。c=condest(A)%c=condest(A)%方阵方阵A A的的1-1-范数的条件数的下界范数的条件数的下界估值。估值。c,v=condest(A)c,v=condest(A)%v%v为向量，满足，为向量，满足，%即即norm(A*v,1)norm(A*v,1)=norm(A,1)*norm(v,1)

38、/c=norm(A,1)*norm(v,1)/c。c,v=condest(A,t)c,v=condest(A,t)%求上面的求上面的c c和和v v，同时显，同时显示出关于计算的步骤信息。如果示出关于计算的步骤信息。如果t=1t=1，%计算的每步都显示出来；如果计算的每步都显示出来；如果t=-1t=-1，则给出商则给出商c/rcond(A)c/rcond(A)。第61页，共126页，编辑于2022年，星期一 （3 3）求解矩阵可逆的条件数估值）求解矩阵可逆的条件数估值rcondrcond函数的函数的命令格式。命令格式。c=rcond(A)c=rcond(A)%对于差条件矩阵对于差条件矩阵A A

39、来说，给出一来说，给出一个接近于个接近于0 0的数；对于好条件矩阵的数；对于好条件矩阵A A%则给出一个接近于则给出一个接近于1 1的数。的数。第62页，共126页，编辑于2022年，星期一（4 4）求解特征值的条件数）求解特征值的条件数condeigcondeig函数的命令格函数的命令格式。式。c=condeig(A)%c=condeig(A)%返回矩阵返回矩阵A A特征值的条件数。特征值的条件数。V,D,c=condeig(A)V,D,c=condeig(A)%D%D为为A A的特征值对角阵，的特征值对角阵，V V为为A A的特征向量。的特征向量。第63页，共126页，编辑于2022年，星

40、期一 矩阵矩阵A A的秩是矩阵的秩是矩阵A A中最高阶非零子式的阶数；中最高阶非零子式的阶数；向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。命令格式：命令格式：k=rank(A)k=rank(A)%求矩阵求矩阵A A的秩。的秩。k=rank(A,tol)k=rank(A,tol)%tol%tol为给定误差。为给定误差。2.4.8 矩阵的秩矩阵的秩第64页，共126页，编辑于2022年，星期一 判断向量组的线性相关性只需要先求出向量判断向量组的线性相关性只需要先求出向量组的秩，如果秩小于向量个数则说明向量组线性组的秩，如果秩小于向量个数则说明向量组线性相关。

41、相关。【例【例2-352-35】求向量组】求向量组 1=(1 1=(1 2 2 3)2 2 3)，2=(2=(2 4 2 4 1 3)1 3)，3=(3=(1 2 0 3)1 2 0 3)，4=(0 6 2 3)4=(0 6 2 3)，5=(2 5=(2 6 3 4)6 3 4)的秩，并判断其线性相关性。的秩，并判断其线性相关性。2.4.9 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第65页，共126页，编辑于2022年，星期一 行阶梯使用初等行变换，矩阵的初等行变换行阶梯使用初等行变换，矩阵的初等行变换有有3 3条：条：（1 1）交换两行）交换两行 （第（第i i、第、第j j两行交换）；两行交换

42、）；（2 2）第）第i i行的行的k k倍，即倍，即 。（3 3）第）第i i行的行的k k倍加到第倍加到第j j行上去，即行上去，即 。通过这通过这3 3条变换可以将矩阵化成行最简形，从条变换可以将矩阵化成行最简形，从而找出列向量组的一个最大无关组，而找出列向量组的一个最大无关组，MATLABMATLAB将矩阵将矩阵化成行最简形的命令是化成行最简形的命令是rrefrref或或rrefmovierrefmovie。2.4.10 行阶梯矩阵及向量组的基行阶梯矩阵及向量组的基第66页，共126页，编辑于2022年，星期一 【例【例2-362-36】求向量组】求向量组a a1=(1,-2,2,3)1

43、=(1,-2,2,3)，a a2=(-2=(-2,4,-1,3)2,4,-1,3)，a a3=(-1,2,0,3)3=(-1,2,0,3)，a a4=(0,6,2,3)4=(0,6,2,3)，a a5=(2,-6,3,4)5=(2,-6,3,4)的一个最大无关组。的一个最大无关组。第67页，共126页，编辑于2022年，星期一1 1矩阵对角线元素的抽取矩阵对角线元素的抽取命令格式：命令格式：X=diag(v,k)%X=diag(v,k)%以向量以向量v v的元素作为矩阵的元素作为矩阵X X的第的第k k条对角线元素，条对角线元素，当当k=0k=0时，时，v v为为X X%的主对角线；当的主对角

44、线；当k0k0时，时，v v为上方第为上方第k k条对角条对角线；当线；当k0k0%k0：抽取上方第：抽取上方第k k条对角线元素；条对角线元素；k0k0k0为主。为主。%对角线以上；对角线以上；k0k0k0为主。为主。%对角线以上；对角线以上；k0k0为主对角线为主对角线以下。以下。【例【例2-382-38】上三角阵和下三角阵的抽取示】上三角阵和下三角阵的抽取示例。例。第71页，共126页，编辑于2022年，星期一 矩阵的变维有两种方法，即用矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数和函数“reshapereshape”，前者主要针对两个已知维数矩阵之，前者主要针对两个已知维数矩阵之间的变维操作

45、；而后者是对于一个矩阵的操作。间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。（1 1）“：”变维变维【例【例2-392-39】矩阵变维示例一。】矩阵变维示例一。3 3矩阵的变维矩阵的变维第72页，共126页，编辑于2022年，星期一（2 2）ReshapeReshape函数变维函数变维命令格式：命令格式：B=reshape(A,m,n)B=reshape(A,m,n)%返回以矩阵返回以矩阵A A的元素构成的的元素构成的mnmn矩阵矩阵B B。B=reshape(A,m,n,p,B=reshape(A,m,n,p,)%将矩阵将矩阵A A变维为变维为mnpmnp。B=reshape(A,m n p B

46、=reshape(A,m n p)%同上。同上。B=reshape(A,siz)B=reshape(A,siz)%由由sizsiz决定决定变维的大小，元素个数与变维的大小，元素个数与A A中元素个数相同。中元素个数相同。【例【例2-402-40】矩阵变维示例二。】矩阵变维示例二。第73页，共126页，编辑于2022年，星期一（1 1）矩阵旋转）矩阵旋转命令格式：命令格式：B=rot90(A)%B=rot90(A)%将矩阵将矩阵A A逆时针方向旋转逆时针方向旋转9090。B=rot90(A,k)%B=rot90(A,k)%将矩阵将矩阵A A逆时针方向旋转逆时针方向旋转(k90)(k90)，k k

47、可取正负整数。可取正负整数。【例【例2-412-41】矩阵旋转示例。】矩阵旋转示例。4 4矩阵的变向矩阵的变向第74页，共126页，编辑于2022年，星期一（2 2）矩阵的左右翻转）矩阵的左右翻转命令格式：命令格式：B=fliplr(A)B=fliplr(A)%将矩阵将矩阵A A左右翻转。左右翻转。（3 3）矩阵的上下翻转）矩阵的上下翻转命令格式：命令格式：B=flipud(A)B=flipud(A)%将矩阵将矩阵A A上下翻转。上下翻转。【例【例2-422-42】矩阵翻转示例。】矩阵翻转示例。第75页，共126页，编辑于2022年，星期一（4 4）按指定维数翻转矩阵）按指定维数翻转矩阵命令格

48、式：命令格式：B=flipdim(A,dim)%flipdim(A,1)=flipud(A)B=flipdim(A,dim)%flipdim(A,1)=flipud(A)，并且并且flipdim(A,2)=fliplr(A)flipdim(A,2)=fliplr(A)。【例【例2-432-43】按指定维数翻转矩阵示例。】按指定维数翻转矩阵示例。第76页，共126页，编辑于2022年，星期一（5 5）复制和平铺矩阵）复制和平铺矩阵命令格式：命令格式：B=repmat(A,m,n)B=repmat(A,m,n)%将矩阵将矩阵A A复制复制mnmn块，即块，即B B由由mnmn块块A A平铺而成。平

49、铺而成。B=repmat(A,m n)B=repmat(A,m n)%与上面一致。与上面一致。B=repmat(A,m n pB=repmat(A,m n p)%B%B由由mnpmnp个个A A块块平铺而成。平铺而成。B=repmat(A,m,n)B=repmat(A,m,n)%当当A A是一个数是一个数a a时，该命令时，该命令产生一个全由产生一个全由a a组成的组成的mnmn矩阵。矩阵。【例【例2-442-44】复制和平铺矩阵示例。】复制和平铺矩阵示例。第77页，共126页，编辑于2022年，星期一 对于小数构成的矩阵对于小数构成的矩阵A A来说，如果我们想对它来说，如果我们想对它取整数，

50、有以下几种方法：取整数，有以下几种方法：（1 1）按）按-方向取整方向取整命令格式：命令格式：floor(A)floor(A)%将将A A中元素按中元素按-方向取整，即取不足整数。方向取整，即取不足整数。5 5矩阵元素的数据变换矩阵元素的数据变换第78页，共126页，编辑于2022年，星期一（2 2）按）按+方向取整方向取整命令格式：命令格式：ceil(A)ceil(A)%将将A A中元素按中元素按+方向取整，即取过剩整数。方向取整，即取过剩整数。（3 3）四舍五入取整）四舍五入取整命令格式：命令格式：round(A)round(A)%将将A A中元素按最近的整数取整，即四舍中元素按最近的整数