分布函数以及其基本性质.ppt

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1、关于分布函数及其基本性质关于分布函数及其基本性质第一张，PPT共二十页，创作于2022年6月 为了对离散型的和连续型的随机变量为了对离散型的和连续型的随机变量以及以及更广泛类型更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了法，引进了分布函数分布函数的概念的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK012第二张，PPT共二十页，创作于2022年6月|x定义：定义：设设 X 是一个随机变量，称是一个随机变量，称为为 X 的分布函数的分布函数.记作记作 X F(x)或或 FX(x).如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分

2、布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间的概率的概率.第三张，PPT共二十页，创作于2022年6月说明说明 X是随机变量是随机变量,x是参变量。是参变量。F(x)是随机变量是随机变量X取值不大于取值不大于 x 的概率。的概率。由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落在区间（在区间（x1,x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 =P X x2 -P X x1 =F(x2)-F(x1)第四张，PPT共二十页，创作于2022年6月离散型随机变量分布函数的计算离散型随机变量分布函数的计算设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk

3、k=p pk k,k k=1,2,=1,2,由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X X的分布函数为的分布函数为F(F(x x)=PX)=PXx x=PX=PXx xk k=p pk k这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和.第五张，PPT共二十页，创作于2022年6月当当 x0 时，时，X x =，故故 F(x)=0例例1，求，求 F(x).当当 0 x 1 时，时，F(x)=P(X x)=P(X=0)=F(x)=P(X x)解解:第六张，PPT共二十页，创作于2022年6月当当 1 x 2 时，时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2

4、)=1第七张，PPT共二十页，创作于2022年6月 不难看出，不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0),P(X=1),P(X=2).第八张，PPT共二十页，创作于2022年6月已知已知 X X 的分布律为的分布律为求求X X的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。第九张，PPT共二十页，创作于2022年6月-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图第十张，PPT共二十页，创作于2022年6月 引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。nP（

5、Xb）=F(b)nP（aXb）=F(b)-F(a)nP（Xb）=1-P（Xb）=1-F(b)P P（a aX Xb b）=P(X=P(X b)-P(Xa)=F(b)-F(a)b)-P(Xa)=F(b)-F(a)第十一张，PPT共二十页，创作于2022年6月例:设随机变量X的分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2)=3/4-1/4=1/2 P2 X 3 =F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4第十二张，PPT共二十页，创作于2022年

6、6月解解(1)第十三张，PPT共二十页，创作于2022年6月(2)第十四张，PPT共二十页，创作于2022年6月分布函数的性质分布函数的性质 第十五张，PPT共二十页，创作于2022年6月试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个随机变量的分布函数随机变量的分布函数.例例 设有函数设有函数 F(x)解：解：注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.不满足性质不满足性质(2)，可见可见F(x)也不也不能是能是随机变量的随机变量的分布函数分布函数.或者或者第十六张，PPT共二十页，创作于2022年6月 例例 在区间在区

7、间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表表示这个质点的坐标示这个质点的坐标.设这个质点落在设这个质点落在 0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求成正比，试求 X 的分布函数的分布函数.解：解：设设 F(x)为为 X 的分布函数，的分布函数，当当 x a 时，时，F(x)=1第十七张，PPT共二十页，创作于2022年6月当当 0 x a 时，时，P(0 X x)=kx (k为常数为常数)由于由于 P(0 X a)=1 ka=1，k=1/a F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0 X x)=x/a第十八张，PPT共二十页，创作于2022年6月是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？不是不是 因为因为 函数函数 可作为分布函数可作为分布函数第十九张，PPT共二十页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看17.09.2022第二十张，PPT共二十页，创作于2022年6月