行列式行列式的性质计算精选PPT.ppt

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1、关于行列式行列式的性质计算第1页，讲稿共46张，创作于星期三一、对换二、行列式的性质（重点）三、行列式的计算（重点、难点）四、行列式按行（列）展开第一章 行列式主要内容：第2页，讲稿共46张，创作于星期三定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一、对 换提问：什么叫排列的奇偶性？第3页，讲稿共46张，创作于星期三定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性证明：设排列为对换 与除 外，其它元素的逆序数不改变.第4页，讲稿共46张，创作于星期三当 时，经对换后 的逆序数增

2、加1，的逆序数不变；经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当 时，现来对换 与第5页，讲稿共46张，创作于星期三次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第6页，讲稿共46张，创作于星期三 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,推论奇排列变标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数.证明而标准排列是偶排列(逆序数为0),所以推论成立.第7页，讲稿共46张，创作于星期三v性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等 由此性质可知 行列

3、式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之同 v性质2 互换行列式的两行 行列式变号 二、行列式的性质第8页，讲稿共46张，创作于星期三v性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式。推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零。第9页，讲稿共46张，创作于星期三v性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和。即第10页，讲稿共46张，创作于星期三v性质5 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 v性质6 把

4、行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。第11页，讲稿共46张，创作于星期三称n 阶行列式为上三角行列式。下三角行列式？上三角和下三角行列式统称为三角形行列式。显然，n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积三、行列式的计算第12页，讲稿共46张，创作于星期三 在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:v符号规定 第 i 行(或列)提出公因子 k 记作 rik(或 cik)交换 i j 两行记作 rirj 交换 i j 两列记作 cicj 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj(cikcj)对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化

5、为三角形行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角形行列式主对角线上的元素相乘的积。第13页，讲稿共46张，创作于星期三 例1 计算 3 1 215 14 3 2 01 1 1 53 3 214 31 13 3 1 3 21 1 3 21 0 16 72 0 1 2 31 2 11 0 010 8 0 1 2 31 2 11 0 21 1 1 1 05解：3 1 215 14 3 2 01 1 1 53 3 35 2 1c1c2 r2r1r45r1 0 08166 4 0 21 1 72 0 86 4r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2r48r2 0 05/2 040 第1

6、4页，讲稿共46张，创作于星期三r4r1r3r16 1 1 1 1 例2 计算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解：c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 16 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1r2r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 06848 第15页，讲稿共46张，创作于星期三D 例3 计算 解：r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bca bcd0 a ab a

7、bc0 0a2ab0 0a3abr4r3r3r2a bcd0 a ab abc0 0a2ab0 00 ar4r3a4 第16页，讲稿共46张，创作于星期三 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 例4 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 第17页，讲稿共46张，创作于星期三 把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得根据例4的结果 有

8、D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1)以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2 (adbc)n 解 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 第18页，讲稿共46张，创作于星期三四、余子式、代数余子式所在的第i行和第j列在n阶行列式中，把元素的余子式（complement minor），记作阶行列式叫做元素划去后，剩下来的代数余子式（algebraic complement minor），而前面附以符号后，叫做元素的来表示，即用符号第19页，讲稿共46张，创作于星期三例如4阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为：第20页，讲稿共46张，创作于星期

9、三引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 例如第21页，讲稿共46张，创作于星期三证当 位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时本次课例4的特殊情形第22页，讲稿共46张，创作于星期三把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调得(共掉换i-1次)：第23页，讲稿共46张，创作于星期三得(共掉换j-1次)：再把D中的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调第24页，讲稿共46张，创作于星期三第25页，讲稿共46张，创作于星期三中的余子式元素 在行列式中的余子式仍然是 在第26页，讲稿共46张，创作于星期三故

10、得于是有第27页，讲稿共46张，创作于星期三在运用定理3来计算行列式时，总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。第28页，讲稿共46张，创作于星期三例6 证明：第29页，讲稿共46张，创作于星期三证：由定理3将行列式按第1行展开，对这个n1阶行列式再按第1行展开有：这样逐步推下去，则得到 第30页，讲稿共46张，创作于星期三例7 计算的值。第31页，讲稿共46张，创作于星期三 第32页，讲稿共46张，创作于星期三第33页，讲稿共46张，创作于星期三 证：用数学归纳法所以当 时，(1)式成立。因为第34页，讲稿共46张，创作于星期三假设(1)对于n-1阶范德蒙

11、德行列式成立.按第1列展开，并把每列的公因子 提出，就有设法对Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有：第35页，讲稿共46张，创作于星期三n-1阶范德蒙行列式第36页，讲稿共46张，创作于星期三推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证把行列式D按第j行展开，有行列式D，特别写出了第i行和第j行第37页，讲稿共46张，创作于星期三同理，相同把 换成 ，可得当 时，第i行第j行第38页，讲稿共46张，创作于星期三由此得关于代数余子式的重要性质：其中或第39页，讲稿共46张，创作于星期三相关应用 如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有 如果

12、第j列的元素为b1 b2 bn 则有第40页，讲稿共46张，创作于星期三例9 设D的(i，j)元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求第41页，讲稿共46张，创作于星期三解：第42页，讲稿共46张，创作于星期三第43页，讲稿共46张，创作于星期三小 结一、对换二、行列式的性质三、行列式的计算四、余子式与代数余子式五、行列式按行（列）展开（重点）六、代数余子式的性质与应用（难点）第44页，讲稿共46张，创作于星期三课后作业1）作业：书上25页习题一 第4(1)，5(1)，6(4)(5)，8(1)，9题2）预习：第1章行列式第7节第45页，讲稿共46张，创作于星期三感感谢谢大大家家观观看看第46页，讲稿共46张，创作于星期三