2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷(带参考答案).docx

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1、2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1（3分）已知=（x，3），=（3，1），且，则x= 2（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k= 3（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n= 4（3分）已知矩阵A=，B=，则AB= 5（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（1，5），则直线AB的点方向式方程是 6（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线xy+2=0的夹角为 （结果用反三角函数值表示）7（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为 8（3分）与直线2x+3y+5=0平行

2、，且距离等于的直线方程是 9（3分）若直线l：y=kx与直线2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 10（3分）在ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则= 11（3分）在平面直角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是 12（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则PAC的面积的最大值为 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A0=0Bm（n）=（mn）（m，nR

3、）C|=|D（m+n）=m+n（m，nR）14（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D方程f（x，y）=0是曲线C的方程15（4分）设P是圆（x3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A6B4C3D216（4分）已知直线l1：axy+1=0，l2：x+ay+1=0，aR，和两点A（0，1），B（1，0），给出如下结论：不论a为何值时，l1与l2都互相垂

4、直；当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（1，0）；不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；如果l1与l2交于点M，则|MA|MB|的最大值是1其中，所有正确结论的个数是（）A1B2C3D4三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况18（8分）已知圆O：x2+y2=5（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程；（2）求与圆O外切点（1，2），且半径为2的圆方程19（10分）已知|=，|=1，与的夹角为45（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（

5、3）若向量（2）与（3）的夹角是锐角，求实数的取值范围20（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为A（1）若折痕的斜率为1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当2+k0时，求折痕长的最大值21（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0

6、，3），且直线y=x关于圆C的距离比=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x3）2+（y3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1（3分）已知=（x，3），=（3，1），且，则x=9【解答】解：=（x，3），=（3，1），且，解得x=9故答案为：92（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6【解答】解：三阶行列式第2行第1列元

7、素的代数余子式为10，=10，2（2）k=10，k=6故答案为：63（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=4【解答】解：增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，解得m=2，n=2，m+n=4故答案为：44（3分）已知矩阵A=，B=，则AB=【解答】解：矩阵A=，B=，AB=故答案为：5（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（1，5），则直线AB的点方向式方程是=【解答】解：直线上两点A（2，3），B=（1，5），=（3，2），经过A、B两点的直线点方向式方程为：=故答案为：=6（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线xy+2=0的夹角为arccos（结果用反三角函数值表示）【解答

8、】解：直线xy+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，直线l与xy+2=0的夹角的余弦值是=，直线l与xy+2=0的夹角大小为arccos故答案为：arccos7（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10【解答】解：作出实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（3，4）处取最大值为z=23+4=10故答案为：108（3分）与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是2x+3y+18=0或2x+3y8=0【解答】解：与直线2x+3y+5=0平行的直线方程设为：2x+3y+b=0，因为与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于，所以，解得

9、b=18或8，所求直线方程为：2x+3y+18=0或 2x+3y8=0故答案为：2x+3y+18=0或 2x+3y8=09（3分）若直线l：y=kx与直线2x+3y6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是【解答】解：联立两直线方程得：，将代入得：x=，把代入，求得y=，所以两直线的交点坐标为（ ，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ，且，解得：k，设直线l的倾斜角为，则tan，所以（ ，）故答案为：10（3分）在ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则=10【解答】解：在ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，可得=，=，则=10故答案为：1011（3分）在平面直

10、角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是（x1）2+y2=2【解答】解：圆心（1，0）到直线mxy2m1=0的距离：d=m=1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y2=2故答案为：（x1）2+y2=212（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则PAC的面积的最大值为4【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，AB=BC=2，C（3，0），设P（x，y），过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，

11、=，整理，得x2+y2+6x11=0，点P的轨迹方程是以（3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，当点P在直线x=3上时，PAC的面积的最大，（SPAC）max=4故答案为：4二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A0=0Bm（n）=（mn）（m，nR）C|=|D（m+n）=m+n（m，nR）【解答】解：A.0=，故A错误，Bm（n）=（mn）（m，nR），故B正确，C|=|，故C正确，D（m+n）=m+n（m，nR），故D正确，故错误的是A，故选：A14（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的

12、是（）A曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D方程f（x，y）=0是曲线C的方程【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的故选：C15（4分）设P是圆（

13、x3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A6B4C3D2【解答】解：过圆心A作AQ直线x=3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|r=62=4故选：B16（4分）已知直线l1：axy+1=0，l2：x+ay+1=0，aR，和两点A（0，1），B（1，0），给出如下结论：不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（1，0）；不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；如果l1与l2交于点M，则|MA|MB|的最大值是1其中，所有正确结论的个数是

14、（）A1B2C3D4【解答】解：直线l1：axy+1=0，l2：x+ay+1=0，aR，和两点A（0，1），B（1，0），给出如下结论：a=0时，两条直线分别化为：y=1，x=1，此时两条直线互相垂直；a0时，两条直线斜率分别为：a，满足=1，此时两条直线互相垂直；因此不论a为何值时，l1与l2都互相垂直，正确；当a变化时，代入验证可得：l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（1，0），正确；由可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l1与l2关于直线x+y=0不一定对称，不正确；如果l1与l2交于点M，由可知：|MA|2+|MB|2=2，22|MA|MB|，|M

15、A|MB|的最大值是1，正确其中，所有正确结论的个数是3故选：C三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况【解答】解：根据题意，方程mx+2y=2对应直线mx+2y=2，方程3x+（m1）y=2m+1对应直线3x+（m1）y=2m+1，分析可得：当m2且m3时，两直线相交，只有一个交点，则方程组有唯一解；当m=3时，两直线平行，没有交点，当m=2时，两直线重合，由无数个交点，方程组有无穷多解；综合可得：当m2且m3时，方程组有唯一解；当m=3时，方程组无解；当m=2时，方程组有无穷多解；18（8分）已知圆O：x2+y2=5

16、（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程；（2）求与圆O外切点（1，2），且半径为2的圆方程【解答】解：（1）圆心坐标为（0，0），半径R=，则圆心到直线的距离d=，AB=2时，R2=d2+（）2，即5=+2，即=3，则4a2=3+3a2，则a2=3，则a=或a=，即直线方程为x+y+2=0或x+y2=0；（2）解：设所求圆的圆心为C（a，b），切点P（1，2）与两圆的圆心O、C三点共线，=，又|PC|=2，由（a+1）2，+（b2）2=（2）2，得a=3，b=6，所求圆的方程为（x+3）2+（y6）2=2019（10分）已知|=，|=1，与的夹角

17、为45（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（3）若向量（2）与（3）的夹角是锐角，求实数的取值范围【解答】解：（1）在方向上的投影为|cos45=1；（2）=1=1，|+2|2=2+4+42=2+4+4=10，则|+2|=；（3）向量（2）与（3）的夹角是锐角，可得（2）（3）0，且（2）与（3）不共线，即为22+32（6+2）0，即有7（6+2）0，解得16，由（2）与（3）共线，可得2（3）=，解得=，则实数的取值范围为（1，）（，6）20（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠

18、，使A点落在线段DC上，设此点为A（1）若折痕的斜率为1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当2+k0时，求折痕长的最大值【解答】解：（1）折痕斜率为1时，A点落在线段DC上，折痕必经过点D（0，1），折痕所在的直线方程为y=x+1（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=当k0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为A（a，1），A与A关于折痕所在的直线对称，有kOAk=1，解得a=k故A点坐标为A（k，1），从而折痕所在的直线与OA的交点坐标（线段OA的中点）为M（，）折痕所在的直

19、线方程y=k（x+），即y=kx+k2+由得折痕所在的直线方程为：y=kx+k2+（3）当k=0时，折痕长为2当2+k0时，折痕所在直线交BC于（2，2k+），交y轴于Q（0，）|PQ|2=22+（2k+）=4+4k24+4（2+）2=3216=4（84）=4（）2，|PQ|2（）2折痕长的最大值为2（）21（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直

20、线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x3）2+（y3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=，即有所求直线为y=（x2）；（2）设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由题意可得a2+（3b）2=r2，|a|=r，=r解方程可得a=3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1则有圆C的方程为（x+3）2+（y3）2=9或（x1）2+（y3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为yn=k（xm）和yn=（xm），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，C2：（x3）2+（y3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n1）+（m2n3）=0，或k（2mn+5）+（3m2n）=0，即有或，解得或则存在这样的点P（1，1）和（，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等国产考试小能手