2017-2018学年上海市普陀区长征中学高二（上）期中数学试卷(带参考答案).docx

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1、2017-2018学年上海市普陀区长征中学高二（上）期中数学试卷一.填空题1（3分）方程组的增广矩阵是 2（3分）已知数列an是等差数列，如果a3=13，a6=27，则公差 d= 3（3分）已知，则an= 4（3分）已知数列 an满足a1=1，a2=6，an+2=an，则a2017= 5（3分）数列 an为公差为d 的等差数列，它的前n 项和为 Sn，已知a1=20，an=54，Sn=999，则 d= 6（3分）已知数列 an为等比数列，a3=21，a4=7，则该数列的各项和S= 7（3分），则a= 8（3分）已知一个等比数列的前 n 项和为 Sn，其中 S10=10，S20=40，则S40=

2、 9（3分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= 10（3分）已知等边三角形 ABC 的面积等于 1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形A1 B1C1，有联结三角形 A1 B1C1 各边的中点得到一个更小的三角形 A2 B2C2，这样的过程无限继续下去，则所有这些三角形的面积和为 11（3分）已知数列an为无穷等比数列，且a1+a2+a3+=，则实数 a1 的取值范围 12（3分）已知数列an是以2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S7是数列Sn中的唯一最大项，则数列an的首项a1的取值范围是 13（3分）在一个数列中，如果每一项与它的后一项

3、的和为同一个常数，我们把这个数列叫做“等和数列”，这个常数叫做该数列的公和，已知数列an是等和数列且a1=1，公和为 4，则数列an的前 n 项和 Sn的计算公式为Sn 二.选择题14（3分）若9与25的等差中项为A，等比中项为G，则（）AA=17，G=15BA=17，G=15CA=17，G=15DA=17，G=1515（3分）下列三阶行列式可以展开为的是（）ABCD16（3分）在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）=2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD17（3分）等比数列an中，a1=512，公比q=，用Mn表示它

4、的前n项之积，即Mn=a1a2a3an，则数列Mn中的最大项是（）AM11BM10CM9DM8三.解答题18在 2，x，8，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求 x，y 的值19用行列式解关于的二元一次方程组：20已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=2Sn1（nN*）（）求证：数列an为等比数列；（）若bn=（2n+1）an，求bn的前n项和Tn21已知等差数列an的前 9 项和为 153（1）问：数列an中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由（2）若从数列an中，依次取出第二项，第四项，第八项，第项，按原来的顺序组成一个首项为 8 的新数列cn

5、，求数列cn的前 n 项和22某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%现用表示A型车床在第n年创造的价值（1）求数列an（nN*）的通项公式an；（2）记Sn为数列an的前n项的和，企业经过成本核算，若Tn100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列bn是单调递减数列，则数列也是单调递减数

6、列）2017-2018学年上海市普陀区长征中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）方程组的增广矩阵是【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是故答案为：2（3分）已知数列an是等差数列，如果a3=13，a6=27，则公差 d=【解答】解：在等差数列an，由a3=13，a6=27，得公差 d=故答案为：3（3分）已知，则an=1【解答】解：=，=1故答案为：14（3分）已知数列 an满足a1=1，a2=6，an+2=an，则a2017=1【解答】解：根据题意，数列 an满足a1=1，a2=6，且an+2=an，n为奇数时，有a3=1

7、，a5=1，a7=1，a9=1，；n为偶数时，有a4=6，a6=6，a8=6，a10=6，；则数列 an中a1=1，a2=6，a3=1，a4=6，且an+4=an，则a2017=a1+5044=a1=1；故答案为：15（3分）数列 an为公差为d 的等差数列，它的前n 项和为 Sn，已知a1=20，an=54，Sn=999，则 d=【解答】解：Sn=n（a1+an）=n（20+54）=999，解得n=27，54=20+（271）d，d=，故答案为：6（3分）已知数列 an为等比数列，a3=21，a4=7，则该数列的各项和S=1（）n【解答】解：根据题意，设数列 an的首项为a1，公比为q，又由

8、a3=21，a4=7，则有a1q2=21，a1q3=7，解可得q=，a1=189，则Sn=1（）n；故答案为：1（）n7（3分），则a=28【解答】解：，=6，=6，解得a=28故答案为：288（3分）已知一个等比数列的前 n 项和为 Sn，其中 S10=10，S20=40，则S40=400【解答】解：根据题意，等比数列中，S10、S20S10、S30S20、S40S30成等比数列，又由S10=10，S20=40，则S20S10=30，则S30S20=90，S40S30=270，则S40=S10+（S20S10）+（S30S20）+（S40S30）=10+30+90+270=400；故答案为：

9、4009（3分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=45【解答】解：a4+a5+a6=S6S3=369=27，a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9d=9+9d=27，所以d=2，则a7+a8+a9=（a1+6d）+（a2+6d）+（a3+6d）=S3+18d=9+36=45故答案为：4510（3分）已知等边三角形 ABC 的面积等于 1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的三角形A1 B1C1，有联结三角形 A1 B1C1 各边的中点得到一个更小的三角形 A2 B2C2，这样的过程无限继续

10、下去，则所有这些三角形的面积和为【解答】解：根据题意，设这些三角形的面积组成数列an，即第n个三角形的面积为an，分析可得：第n个三角形的面积为第（n1）个三角形的面积，即an=an1，又由第1个三角形ABC的面积等于1，即a1=1，则数列an是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则所有这些三角形的面积和S=，又由该数列为无穷数列，则=；则有这些三角形的面积和为故答案为：11（3分）已知数列an为无穷等比数列，且a1+a2+a3+=，则实数 a1 的取值范围（0，）【解答】解：根据题意，若无穷等比数列an满足a1+a2+a3+=，则an的公比q必须满足1q1，此时a1+a2+a3+=，则有a1

11、=，又由1q1，则0a1，则实数 a1 的取值范围为（0，）；故答案为：（0，）12（3分）已知数列an是以2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S7是数列Sn中的唯一最大项，则数列an的首项a1的取值范围是（12，14）【解答】解：S7是数列Sn中的唯一最大项 所以a7大于0，而a8小于0， a1+6d0，a1+7d0，即 a1120，a1140得到a1的范围 12a114故答案：（12，14）13（3分）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，我们把这个数列叫做“等和数列”，这个常数叫做该数列的公和，已知数列an是等和数列且a1=1，公和为 4，则数列an的前 n 项和 S

12、n的计算公式为Sn【解答】解：由题意知，an+an+1=4，且a1=1，所以，a1+a2=4，得a2=3，a3=1，a4=3，则an=当n为偶数时Sn=（1+3）+（1+3）+（1+3）+（1+3）=4=2n， 当n为奇数时Sn=（1+3）+（1+3）+（1+3）+1=4+1=2n1，故Sn=故答案为：二.选择题14（3分）若9与25的等差中项为A，等比中项为G，则（）AA=17，G=15BA=17，G=15CA=17，G=15DA=17，G=15【解答】解：根据题意，若9与25的等差中项为A，则有2A=（9+25），解可得A=17，又由9与25的等比中项为G，则G2=925，解可得G=15；

13、即A=17，G=15；故选：B15（3分）下列三阶行列式可以展开为的是（）ABCD【解答】解：根据三阶行列式的求解方法，可得=故选：D16（3分）在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）=2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD【解答】解：当n=k+1时，左端=（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）=2（2k+1），故选：B17（3分）等比数列an中，a1=512，公比q=，用Mn表示它的前n项之积，即Mn=a1a2a3an，则数列Mn中的最大

14、项是（）AM11BM10CM9DM8【解答】解：由题设an=512（）n1，Mn=a1a2a3an=512（）0512（）1512（）2512（）n1=512n（）1+2+3+（n1）=，n=9或10时，取最大值，且n=9时，=1；n=10时，=1，M9最大故选：C三.解答题18在 2，x，8，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求 x，y 的值【解答】解：2，x，8三个数是等比数列，x2=16x=4，或x=4，x，8，y三个数成等差数列，y8=8x，当x=4时，y=12，当x=4时，y=20x，y 的值是4，12或4，2019用行列式解关于的二元一次方程组：【解答】解：D=

15、k1，（2分）Dx=1，（4分）Dy=k2，（6分）当D0时，k1，方程组有唯一解，x=，y=，即，y=（8分）当D=0时，k=1，此时Dx0，方程组无解（10分）20已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=2Sn1（nN*）（）求证：数列an为等比数列；（）若bn=（2n+1）an，求bn的前n项和Tn【解答】证明：（）数列an的前n项和为Sn，且满足an=2Sn1（nN*），当n=1时，a1=2S11=2a11，解得a1=1，当n2时，由an=2Sn1，得an1=2Sn11，得：anan1=2an，整理，得an=an1，an是首项为1，公比为1的等比数列解：（）an是首项为1，公比为1的

16、等比数列，bn=（2n+1）an=（2n+1）（1）n1，bn的前n项和：Tn=3（1）0+5（1）+7（1）2+（2n+1）（1）n1，Tn=3（1）+5（1）2+7（1）3+（2n+1）（1）n，得：2Tn=3+2（1）+（1）2+（1）3+（1）n1（2n+1）（1）n=3+2（2n1）（1）n=（2n+2）（1）n1+2，Tn=（n+1）（1）n1+1=1（n+1）（1）n21已知等差数列an的前 9 项和为 153（1）问：数列an中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由（2）若从数列an中，依次取出第二项，第四项，第八项，第项，按原来的顺序组成一个首项为 8 的

17、新数列cn，求数列cn的前 n 项和【解答】解：（1）由S9=9a5=153，解得a5=17数列an中存在确定的项，为a5=17（2）从数列an中，依次取出第二项，第四项，第八项，第项，按原来的顺序组成一个首项为 8 的新数列cn，求数列cn的前 n 项和22某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%现用表示A型车床在第n年创造的价值（1）求数列an

18、（nN*）的通项公式an；（2）记Sn为数列an的前n项的和，企业经过成本核算，若Tn100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列bn是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）【解答】解：（1）依据题意，知a1，a2，a6构成首项为a1=250，公差d=30的等差数列故（万元） （3分）构成首项为，公比的等比数列因此，（万元）（6分）于是，（万元）（7分）（2）由（1）知，an是单调递减数列，于是，数列Tn也是单调递减数列（万元），（万元），Tn100（1n6）当n7时，=（万元） （9分）当n=11时，T11104（万元）；当n=12时，T1296（万元） （13分）当n12，nN*时，恒有Tn96该企业需要在第12年年初更换A型车床（14分）国产考试小能手