线性代数考研辅导讲义.pdf

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1、第一讲第一讲第二讲第二讲第三讲第三讲第四讲第四讲目录行列式与矩阵行列式与矩阵-1-12121向量的线性相关性，矩阵的秩向量的线性相关性，矩阵的秩-22-223434线性方程组线性方程组-35-354949相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型-50-506868第一讲第一讲行列式与矩阵行列式与矩阵一、内容提要一、内容提要（一）（一）n n 阶行列式的定义阶行列式的定义a11aD 21an1（二）行列式的性质（二）行列式的性质a12a22an2a1na2n annj1j2jn(1)(j1j2jn)a1j1a2 j2anjn1行列式与它的转置行列式相等，即D DT；2交换行列式的两行（列），行列式变号；

2、3行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即a11D ai1 bi1an1a11则a12an2a12a12a1na1nai2 bi2ain bin，a11an1anma12b12a1nbinD ai1an1ain bi1an2annan2ann7将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开（三）行列式依行（列）展开1余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉 n 阶行列式 D 中元素aij所在

3、的第 i 行和第 j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的 n-1 阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij（2）代数余子式的定义aij的代数余子式的记为Aij,Aij(1)i jMij2n 阶行列式 D 依行（列）展开（1）按行展开公式（2）按列展开公式DaijAkj0j1ni ki k（四）范德蒙行列式（四）范德蒙行列式DaijAis0i1nj sj s1x1D x12x1n1（五）矩阵的概念（五）矩阵的概念1x22x21xn2xn1i jn(xj xi)n1n1x2xn1矩阵的定义由 mn 个数aij(i 1,2,m;j 1,2,n)组成的 m 行 n 列的矩形数表 a11a21Aa

4、m1称为 mn 矩阵，记为A (aij)mna12a22am2a1na2namn2特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1 的对角阵，记为 E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等B (bij)mn设A (aij)mn;若aij bij(i 1,2,m;j 1,2,n)，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。（六）矩阵的运算（六）矩阵的运算1加法（1）定义：设A (Aij)mn,B

5、 (bij)mn，则C A B (aij bij)mn（2）运算规律 A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）A+O=A A+（-A）=0，A 是 A 的负矩阵2数与矩阵的乘法（1）定义：设A (aij)mn,k 为常数，则kA (kaij)mn（2）运算规律 K(A+B)=KA+KB,(K+L)A=KA+LA,(KL)A=K(LA)3矩阵的乘法（1）定义：设A (aij)mn,B (bij)np.则AB C (Cij)mp,其中Cijak1nikbkj（2）运算规律(AB)C A(BC)；A(B C)AB AC(B C)A BA CA（3）方阵的幂定义：A(aij)n，则Ak AAK运

6、算规律：A A Amnmn；(Am)n Amn（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。AB BAAB 0,不能推出A 0或B 0;(AB)k Ak Bk4矩阵的转置（1）定义：设矩阵 A=(aij)mn，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为AT(aji)nm，（2）运算规律(AT)T A;(A B)T AT BT；(AB)T BTAT。(kA)T KAT;（3）对称矩阵与反对称矩阵若AT A,则称 A 为对称阵；AT A，则称 A 为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设A 为 n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵 B，使得 AB=BA=E，则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆矩阵

7、，记作B A1。（2）A 可逆的元素条件：A 可逆 A 0（3）可逆阵的性质若 A 可逆，则 A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若 A 可逆，k0，则 kA 可逆，且(kA)1若 A 可逆，则 AT也可逆，且(AT)111A；k(A1)T；若 A，B 均可逆，则 AB 也可逆，且(AB)1 B1A1。（4）伴随矩阵定义：A*(Aij)Tn，其中Aij为aij的代数余子式，性质：i）AA*A*A AE；iii）(A*)*An2n1ii）A*A；A；iv）若 A 可逆，则A*也可逆，且(A*)1(A1)*1AA用伴随矩阵求逆矩阵公式：A11*AA（七）方阵的行列式（七）方阵的行列式1定义：由n

8、阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式，记为A或 detA。2性质：（1）AT A，（2）kA knA，（3）AB A B，（4）A11A（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵E1 E；1单位阵 E：E 1;2数量矩阵 kE：kE kn;当k 0时,(kE)13对角阵：1Ek1 2,n*则 12n;1111若12n 0，则21 n4上（下）三角阵*a11a22设A,则 A a11a22annann若A 0，则A1仍为上（下）三角阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不

9、为零的常数k；某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换 i,j 两行（列），记为 E(i,j)；第 i 行（列）乘不为零的常数k 记为为 E(i(k);第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记为 E(j(k)i;（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而E(ij)1 E(ij)E(j(k)i)1 1 E(i(k)1 E(i)k E j(k)i（3）方阵 A 可逆与初等阵的关系若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵P1,P2,Pt，使A P1P2Pt，（4）初等阵的行列式E

10、(ij)1,E(i(k)k,E(j(k)i)1（5）初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且E(ij)A A,E(i(k)A k A,E(j(k)i)A3矩阵的等价（1）定义：若矩阵 A 经过有限次初等变换变到矩阵B，则称 A 与 B 等价，（2）A 与 B 等价的三种等价说法，A 经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵E1,Es,F1,Ft，使得EsE1AF1Ft B存在可逆阵 P，Q，使得 PAQ=B（十）分块矩阵（十）分块矩阵1分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算（1）设 A，B 为同型矩阵，采用相同

11、的分法有 A11AA21As1则A1tA2tAstB11BB 21Bs1B1tB2tBstA B (Aij Bij)（2）kA (kAij)(i 1,2,s;j 1,2,t)(i 1,2,s;j 1,2,t)（3）设A (aij)mn,B (bij)np,分块成A11A1tB11B1rAB AABBsttrs1t1其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于B1j,B2 j,Btj的行数，则AB C (cij)sr，其中cijAk1tikBkj(i 1,2,3,s;j1,2,r)3准对角阵（1）定义：形如A1A2AAi为 ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。As（2）准对角阵的行列式及逆矩阵A1A2设A

12、，则A A1A2 As；若每个 Ai可逆，则 A 可逆，且AsA1A111A21As（3）特殊的准对角阵A111，若 A,A 可逆，则A121A2A21A1A21（ii）A，若 A,A 可逆，则A12A12A1BD（iii）A OC是B 0,C 0,则 A B C 0A1（i）A且B1A01 B1DC11C B0（iv）A DC,B 0,C 0，则B10AC1DB1C11（十一）矩阵的秩（十一）矩阵的秩1，定义矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不为零，而所有r+1 阶子式全为零，则称矩阵的秩为 r，记为R(A)r2，矩阵秩的求法：初等变换不改变矩阵的秩。即利于初等变换求矩阵的秩。二、重点二、重点

13、（一）计算行列式；（一）计算行列式；（二）矩阵的乘法；（二）矩阵的乘法；（三）矩阵的逆；（三）矩阵的逆；（四）矩阵的初等变换。（四）矩阵的初等变换。（五）矩阵的秩。（五）矩阵的秩。三、典型例题三、典型例题（一）行列式的计算（一）行列式的计算数字型行列式的计算1，用定义计算行列式例 1计算行列式00Dn bn1a1(n2(n1)(1)2000a20000b20b100an1000bna3an2解：由于前 n-1 行都只有一个元素不为 0，由行列式定义知 Dn只含一项：b1b2bn，且符号为(1)(n1,1,n),从而Dn(n1)(n2)(1)2b1b2bn。2用行列式性质计算（重点）例 2 计算

14、下列行列式1234234134124123解 解法一：123412341234122341010127013412270281000440041230710130043600解法二：123410234123412323411134121034110412101341141200224123101231123011例 3计算下列行列式abc246427327（1）a2b2c2;(2)1014543443b ca ca b342721621abcabc解（1）：a2b2c2a2b2c2b ca ca ba b ca b ca b cabc111(a b c)a2b2c2(a b c)abc111a

15、2b2c2(a b c)(b a)(c a)(c b)342744160040412332100110041000434160424642732710004273271000100327（2）1014543443 2000543443 200010044334272162110007216211000100621113271132710521443 10501 211 2941051162100294例 4计算下列 n 阶行列式x aaDnaa解ax aaaaaaaaax ax aDnx (n 2)a(x 2a)n1说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：axxxaxDnxxa xxxxxn1

16、xa (n 1)x(a x)a01Dn 111aDn aaa11Dn 11解：1011a1aa1a2001101aa1a10111 (1)n1(n 1)0aaa 1(n 1)a(1 a)n111000100 ai 0(i 1,2,n)an 例 5计算 n 阶行列式a30 a1Dna0i2n1i1a2101 100(a1000a300 000ani2n1)(a2an)ai1 a例 6计算行列式12 a3412a3 a4134123 a412a3 a41234 a1234 a1234 aa 10a 10a 10a 102342 a3423 a41111(a 10)0a0000a0000a。2341

17、1 a解：D42342 a341234 a(a 10)22 a34(a 10)a33利用行列式展开计算例 7设行列式3040D 252320200 7 22求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D 的第四行各元素余子式之和的值为行列式3040D12012 712020的值11因为将 D1接第四行展开得D1(1)A41 A42(1)A43 A44(1)(1)41M41(1)42M42(1)(1)43M43 M41 M42 M43 M443所以计算D102 714200202013(7)(1)3224203400012 744211111 73410 7 284444从而 D 中第四

18、行各元素的余子式之和的值为-28。说明：若求 D 中第四行各元素代数余子式之和呢？例 8计算 n 阶行列式x00y解：将行列式按第一列展开得xy00yx000y0000 x000yxDn y y(1)n1x00y000 x00y xn(1)n1ynDn x(1)1100 x0y00 x 说明：请注意这种形式的行列式！4数学归纳法例 9证明行列式x0Dn1x0an1010an200 xa200 xna1xn1an1xan1xa10an证明：当 n=1 时，D1 xa1结论成立。当 n=2 时，D2xa21 x2a1xa2结论成立。xa100 xa200 xDk1(1)k1(1)k1ak1xa1假

19、设n k 1时结论成立，下证n k时结论成立。x0Dk0ak1x0ak1010ak2由归纳原理知结论成立。含参数行列式的计算 x(xk1a1xk2 x a1xkk1ak2xak1)ak2kak2x ak1xa3例 10计算行列式D 111151。133解：D 1111 202 10151151(2)1511311311310052(2)152(2)(2)(3)(6)1 411 43例 11计算三阶行列式D k 4 221 k。2 33解：D 22 k10 2211 2 22 k3k 411 2 21 2 k(1)013213(1)010 k (1)(1)20抽象行列式的计算1例 12设 A,B

20、 均为 n 阶方阵，A 2,B 3,求2A*B1解2A B*1 22A B11 4A B11 4An1B122n1 3例 13设三阶矩阵A22,B 2,其中,2,3都是三维行向量，且已知333A 18,B 2，求A B。11 22 22 22 2B 22 2B A 2B 2解：A B 2332333r333例 14设 A 为三阶方阵，1，2，3是三维线性无关的列向量，若A112，A223，A331，则行列式A。解：法一利用分块矩阵，有A(123)(A1A2A3)(12,23,31)两边取行列式有A123122331 2123 2123 23 212331121223又1，2，3线性无关，12从

21、而得A 2法二A(123 03)(122331)1013)110011(12两边取行列式得A123121013110011又121013 0A 110 2011法三A(123)(122331)1013)110011(12令P 1,2,3由1，2，3线性无关知 P 可逆101从而P1AP 110011101由相似的性质知A 110 2011（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算1，矩阵的乘法a11例 15 设A a21a31解：a12a22a32a13000a23，B k00求AB及BA.000a33a11a12a13 000ka1200AB a21a22a23k00ka2200a31a32a3300

22、0ka320000 000 a11a12a13 0BA k00a21a22a23ka11ka12ka13000a0031a32a330例16 计算a11(x,y,z)a21a31a12a22a32a13 xa23ya33z a11xa12ya13z a xa y a zxyz212223解：原式a xa ya z323331 a11x2a22y2a33z2(a12a21)xy(a13a31)xz(a23a32)yz2 方阵的幂例 17（1）设（2）设12 1,A T，求An；121,212,AT求An；369 46求An。（3）设A 251015解（1）容易计算得1T1212 61 1121

23、A T21212421121 且A2(T)(T)(T)T 6T 6A;A A A 6AA 6A 6(6A)6 A利用结合律可得3222An(T)(T)(T)(T)(T)(T)T121 6n1A 6n12421211 T（2）由2122 2有 1 An(T)(T)(T)T(T)(T)(T)212 2n1(T)2n1A 2n1424212 3（3）易知A 2123，若记325,1235 3 TT则A ,因有1232 22由结合律知5 369 A (22)n1A (22)n124651015010 例 18设A100，B P1AP，其中 P 为三阶逆阵，求B2004 2A2001解B P1APB20

24、04 P1A2004P010 100又A2100010001001A2004(A2)1002 E2故B2004300 2A2 E 2A2030001（三）伴随矩阵（三）伴随矩阵11133例 19已知A 011求 A 中所有元素的代数余子式之和Aiji1j1001解由及Ai1j133ijA11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 A11*A A12A13A21A22A23A31A32知，只需求出 A 的伴随矩阵A*即可得结果。A33方法一用定义求A*得110*A 011001所以Ai1j133ij111+(-1)+(-1)=1;方法二因为A 1，故 A 可逆。用公式A

25、*A A1又111100100110（AE）011010010011001001001001110 110 1所以A011从而A*A A011001001故有Ai1j133ij111+(-1)+(-1)=1。（四）可逆矩阵（四）可逆矩阵23 2例 20设A110，求A1121解：方法一（用伴随矩阵求A1）因为A1110101123 1，A12 1，AB1，A21 4，21111221A232211 5，A22232323 12 6，A3110 3，A32 10 3，A223311 42231101 40又A 110 121 051 11212230433 1 43故A11AA*14153153

26、1 6 4164方法二（用初等行变换求A1）223100 1100101100AE1100101210011011011210012231000431 21001 431001 43010153010153001 1 6 4001164A11 43153164例 21已知 A,B 为三阶方阵，且满足2A1B B 4E，其中 E 为三阶单位阵（1）证明矩阵 A-2E 可逆；1 2（2）若B 0120，求矩阵 A。002解（1）由等式2A1B B 4E，两边左乘 A得2B AB 4AAB 4A 2B 0(A 2E)(B 4E)8E0101即(A 2E)B 4E E,A 2E可逆，818（2）由（1

27、）知A(B 4E)2B且(A 2E)1(B 4E)A 2B(B 4E)1又(B 4E)114180143800 01220 0A11 200 2（五）矩阵方程（五）矩阵方程例 22设 3 阶矩阵X满足等式AX B2X,其中311110A 012,B 102求矩阵X。004202解：由AX B2X,得(A2E)X B又111A2E 012因为A2E 2 0,A2E可逆。0023112X (A2E)1B,而(A2E)101110021111则X (A2E)B 1001011001例 23设矩阵 A 的伴随矩阵A*10034 阶单位阵，求矩阵 B。解（方法一）由A*An10000，且ABA1 BA1

28、 3E，其中 E 为1008，有A8，得A 23用 A 右乘矩阵方程的两边，得AB B 3A用A*左乘两边得A*AB A*B 3A*A2EB A*B 6E2E A*B 6E于是2E A*可逆，B 6(2E A*)1计算得60B 60000 6000603011（方法二）同前有AB B 3A，即B 3A EAAA*A E有A A A*1 2 A*10 220A 2003400200 0014于是A E10 110 200340 0010304000110200 100010 410300601B 3A EA600 600060301（六）初等变换与初等矩阵（六）初等变换与初等矩阵例 24设 A

29、为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到110第 2 列得C，记P 010，则001（A）C P1AP（C）C PTAP（B）C PAP1（D）C PAPT解选（B）由初等变换与初等矩阵之间关系知110PA BB010C001110C PA010 PAP1001010例 25计算10000120071230104561007890012006010解令P 100则P2007 PP2006 E001456 原式123789例 26设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。（1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1解

30、：（1）由初等变换与初等阵的关系知E(ij)A B又 E(ij)A E(ij)A A B,又 A 0,B 0即B可逆。（2）E(ij)A BA E(ij)1B E(ij)B而AB1 E(ij)BB1 E(ij)（七）矩阵的秩（七）矩阵的秩a11例 27设三阶方阵A 1a1，试求 R（A）.11aa11解A 1a1 (a2)(a1)211a1a 1,a 2时，A 0,R(A)31 1 12a 1A 0A 1 1 1 R（A）=1；1 1 1211 3a 2A 0A 121R（A）=2。11212例 28设A2340134502B 4 01则R(BA 2A)234564567解RBA 2A RB

31、2EA2124 又B 2E 040100510006故RBA 2A R(A)123412又A234511345614567111R(BA 2A)200310004B 2E可 逆341111R(A)211第二讲第二讲向量的线性相关性，矩阵的秩向量的线性相关性，矩阵的秩一、内容提要一、内容提要（一）（一）n n 维向量维向量1定义：称 n 个实数a1,a2,an组成的一个有序数组(a1,a2,an)为实数集 R上的 n 维向量。aiR称为的第 i 个分量，分量的个数称为的维数。2零向量：分量全是 0 的向量称为零向量，记为0。3行向量与列向量：写成一行(a1,a2,an)的向量称为行向量。写成一列

32、(a1,a2,an)T的向量称为列向量。（二）向量的线性运算（二）向量的线性运算1向量的相等n 维向量(a1,a2,an)，(b1,b2,bn)，若aibi(i 1,2,n)，则称与相等，记为=。2向量的加法（1）定义：设(a1,a2,an),(b1,b2,bn)则称(a1 b1,a2 b2,an bn)为向量与的和，记为(a1 b1,a2 b2,an bn)（2）负向量与减法称为向量的(a1,a2,an)负向量，称()(a1b1,a2b2,anbn)为减。（3）运算规律交换律：;结合律：()()3数与向量的乘法（1）定义：(a1,a2,an),kR,则称(ka1,ka2,kan)为数 k 与

33、向量的乘积，记为k(ka1,ka2,kan)（2）运算规律k()k k(k l)k l(kl)k(l)（三）向量组的线性相关与线性无关（三）向量组的线性相关与线性无关1向量的线性组合（线性表示）对 n 维向量1,2,s和，若存在一组数k1,k2,ks，使得 k11 kss，则称是1,2,s的一个线性组合。或称可由1,2,s线性表示。2向量组的等价（1）定义：若向量组1,2,s的每一个向量都可由向量组1,2,t线性表示，且向量组1,t的每一个向量也可以由向量组1,2,s线性表示，则称两个向量组等价。（2）性质反身性：向量组1,2,s与自身等价；对称性：若向量1,s与向量组1,t等价，则向量组1,

34、t与向量组1,s等价；C 1,2,n等价，则向量组 A 与向量组C等价。传递性：向量组A1,S与向量组B 1,t等价，且向量组 B 与向量组3向量的线性相关与线性无关（1）定义：对 n 维向量1,2,s，若存在一组不全为零的数k1,k2,ks，使k11 ks 0，则称向量组1,2,s线性相关。否则，称1,2,s线性无关。（2）性质向量组1,2,s线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。向量组1,2,s线性无关，且1,2,s，线性相关，则可唯一地由1,2,s线性表示。对 n 维向量1,2,m，若 mn，则1,2,m必线性相关。向量组1,2,s线性无关，则其中任一部分向量组必线性

35、无关。向量组的部分组线性相关，则此向量组必线性相关。线性无关的向量组的每个向量都添加m 个分量后仍线性无关。若向量组1,2,s线性无关，且可由1,2,t线性表示，则为有s t。（若s t,则1,s为线性相关）（四）向量组的秩与矩阵的秩（四）向量组的秩与矩阵的秩1向量组的极大无关组设向量组1,2,s的部分组i1,i2,ir满足条件：（1）i1,i2,ir线性无关；（2）1,2,s中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组i1,i2,ir为向量组1,2,s的一个极大无关组。2向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为R(1,2,s)。3矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩=它的行

36、向量组的秩=它的列向量组的秩4等价的向量组的性质（1）等价的向量组有相同的秩；（2）等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；（3）向量组与它的极大无关组等价；（4）向量组A1,s与B 1,t等价的充要条件是R(A)R(B)R(C)，其中C 1S,1,t（五）向量空间（数字二，三，四不作要求）（五）向量空间（数字二，三，四不作要求）1 向量空间的定义设 V 是 n 维向量的集合，如果V 非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V 为向量空间。2基设 V 为向量空间，如果 n 个向量1,2,nV，且满足（1）1,2,n线性无关；（2）V 中任一向量都可由1,2,n线性表示，则称向量1,2,n

37、为向量空间 V的一个基。n 称为向量空间 V 的维数，记为dimV n，并称 V 为 n 维向量空间。3坐标设1,2,n是 n 维向量空间 V 的一个基，对任一元素V，总有且仅有一组数x1,x2,xn使 x11 x22 xnnx1,x2,xn称为在基1,2,n下的坐标，记为(x1,x2,xn)4基变换与过渡矩阵（1）基变换与过渡矩阵设1,2,n与1,2,n都是 n 维向量空间 V 的基，且1 a111 a212 an1n2 a121 a222 an2nn a1n1 a2n2 annn即a11a12a1naaa222n(1,2,n)(1,2,n)21(1,2,n)Pan1an2ann称 P 为基

38、1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵。或称为基变换公式。（2）坐标变换公式设V，在基1,2,n下的坐标为(x1,x2,xn)在基1,2,n下的坐标为(y1,y2,yn)，且(1,2,n)(1,2,n)Px1 y1 y1x1xyy222x2则 P或 P1xyyxnnnn二、重点二、重点（一）向量组的线性相关性的判定与证明（一）向量组的线性相关性的判定与证明（二）两个向量组等价的判定（二）两个向量组等价的判定（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明三、典型例题三、典型例题（一）线性组合（线性表示）（一）线性组合（线性表示）2(1,a 2,3a)T3(1,b 2,a 2b)T，

39、(1,3,3)T试例 1设1(1,2,0)T，讨论当 a，b 为何值时（I）不能由1，2，3线性表示；（II）可由1，2，3唯一地线性表示，并求出表示式；（III）可由1，2，3线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。解设有数x1，x2，x3，使得x11 x22 x33记A(123)，A (123)111 11111对A施以初等行变换，有A 2a 2b 230ab103aa 2b300a b01111（I）当a 0，b 为任意常数时，有A 00b1知R(A)R(A)，故方程组0001无解，而不能由1，2，3线性表示。（II）当a 0且a b时，R(A)R(A)3，故方程组有唯一 解。x1111，

40、x2，x3 0aa1a12a则可唯一地由1，2，3线性表示，其表示式为(1)110011 a1a可知（III）当a b 0时，对A施以初等行变换，有A 0110000R(A)R(A)2，故方程组有无穷多解，其全部解为x1111，x2 k，x3 kaa1 111 k2 k3aa2(1,t,1)T，3(t,1,2)T，(4,t2,4)T，例 2已知1(1,1,1)T，若可由1，2，3线性表示，且表示法不唯一，求t 及的表达式。x1 x2 tx3 4解设x11 x22 x33，按分量写出为 x1 tx2 x3t2x x 2x 4231对增广矩阵进行初等行变换得2 4 11t4 112 4112A 1

41、t1t11t402t 28112 41t1t20t 13t2 4112 4t 2802001t 14 ttt 42由条件知，R(A)R(A)3从而t 4，此时，增广矩阵可化为112 4112 41030A 022801140114000000000000令x3 k解出x1 3k，x3 4 k所以 3k1(4 k)2 k3，k例 3设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关，问：（1）1能否由2，3线性表示？证明你的结论。（2）4能否由1，2，3线性表示？证明你的结论。解（1）1能由2，3线性表示证法 1因为已知向量组2，3，4线性无关，那么它的部分组2，3线性无关，又因1，2，3线性

42、相关，故1可 由2，3线性表示。证法 2因为向量组1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k11 k22 k33 0其中必有k1 0。否则，若k1 0，则k2，k3不全为零，使k22 k33 0即2，3线性相关，进而2，3，4线性相关与条件矛盾。于是k1 0，由此有1 kk2233k1k11可由2，3线性表示。（2）4不能由1，2，3线性表示证法 1（反证法）若4能由1，2，3线性表示，设为4 x11 x22 x33由（1）知1 k22 k33代入上式整理得4(x1k2 x2)2(x1k3 x3)3即4可由2，3线性表示，从而2，3，4线性相关。与已知矛盾。4不能由1，2，

43、3线性表示。证法 2考查方程组x11 x22 x334因为1，2，3线性相关，系数矩阵R(A)R(123)3，又因2，3，4线性无关，增广矩阵R(A)R(1,2,3,4)3，于是R(A)R(A)方程组无解，因此，4不能由1，2，3线性表示。（二）线性相关（二）线性相关例 4判断下列向量组的线性相关性：（1）1(101)2(122)3(124)（2）1(351)2(104)3(5 7 6)4(120)（3）1(6411)2(1023)3(14916)111101解：（1）m nA 122 021 0无关;124023（2）mn，相关3 16411102（3）m nA 2102314916149

44、6641133 1023 1020411190411190411190000R(A)2 m,线性相关例 5设1(1 1 1 3),2(1,3,5,1)3(321p 2),4(2 610 P 为何值时，向量组线性无关？P 为何值时，向量组线性相关？p),解：设A1233 211132 641511031P 2P则A (p 2)14 当 P2 时，A 01,2,3,4线性无关；当 P=2 时，A 01,2,3,4线性相关；例 6已知1,2,3线性无关，试问常数 m,k 满足什么条件时，向量组k21,m32,13线性无关？（线性相关）？解设1(k21)2(m32)3(13)0即(31)1(1k 2)

45、2(2m 3)3 0，由1,2,3线性无关知13 0k12 0m 023其系数矩阵的行列式101D k10 km 10m1 当D km 1 0 即km 1时，向量组线性无关；当D km 1 0 即km 1时，向量组线性相关；例 7已知 n 维向量1，2，3线性无关，若1，2，3可由1，2，3线性表示，设123123C证明：1，2，3线性无关的充分必要条件是C 0证明记A123，B 123必要性：若1，2，3线性无关，则R(B)R(1又23)3R(B)R(AC)R(C)3因此，R(C)3，即矩阵 C 可逆，C 0充分性：若C 0，即矩阵 C 可逆，RC3则R(B)R(AC)R(A)R(123)3

46、1，2，3线性无关.例 8已知向量组1，2，3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）12，23，31（B）12，23,1 223（C）1 22，21 33，331（D）123，21 32 223，31 5253解由例 7 方法易知，选（C）例 9已知向量组1，2，3线性无关，向量组1 a2，1 223，a13线性相关，则 a=解由例 7 知11a1a 1aa20 a20 a2 a 2 0011011知a 1或a 2例 10设 A 是 n 阶矩阵，是 n 维列向量，若Am1 0，Am 0，证明向量组，A，A2，Am1线性无关。证：（用定义，同乘）设x1 x2A xmAm1 0由Am 0知A

47、m1 0，Am2 0，用Am1左乘（1）两边，得x1Am1 0又Am1 0 x1 0（2）把x1 0代入（1）式，有x2A xmAm1 0用Am2左乘上式，可知x2Am1 0从而x2 0。类似地可证x3 xn 0所以，A，Am1线性无关。（三）两向量组等价的证明（三）两向量组等价的证明例 11已 知1,r与1,r,r1,s有 相 同 的 秩，证 明1,r与1,r,rr,s等价。证明：设A1,r,B 1,r,r1,s，且R(A)R(B)t。显然，向量组 A 可由向量组 B 线性表示，下证向量组 B 也可由向量组 A 线性表示即可。设 A 中极大无关组为i1,it，由条件知i1,it也是 B 中的

48、一个极大无关组，由极大无关组的定义知，r1,s可由i1,it线性表示，从而可由1,r线性表示，从而 B 可由 A 线性表示，即 A 与 B 等价。例12设 向 量 组A123，其 中1102,21 13,311a 2,B 1,2,32(21a 6)，3(21a 4)，其中112a 3，试问：当 a 为何值时，向量组A 与 B 等价？当 a 为何值时，向量组A 与 B 不等价？解令C (123对C作初等行变换得121122113)01111123a 2a 3a 6a 42111 10C 01121100a 1a 1a 1a 1 当a 1时，1,2,3线性无关，则R(A)R(C)3由上例知A与C等

49、价，同理可计算出R(B)3 R(C)知 B 与 C 等价，故有R(A)R(C)R(B)即 A 与 B 等价。当 a=-1 时有C (123121021113)011211000 202由于R(A)R(C)，故不能为1,2,3线性表示，因此 A 与 B 不等价。（四）向量组的极大无关组（四）向量组的极大无关组例 13 设向量组1(1 1 13),2(1351)，3(321p 2)，p)（1）P 为何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量(41610),用1,2,3,4线性表示；（2）P 为何值时，该向量组线性相关？此时求出它的一个极大无关组。解令4(2 6103 243 211112 6 10

50、21 413A 00151106 7031P 2P 1000P 9P 24 3 78(1234)（1）P 2时，向量组1234线性无关，再用初等行变换将矩阵化为1000 213P4100(43P)/2 P0101001(1 P)/P20002P223(1P)P24（2）当 P=2 时，对(1234)再进行初等行变换得1132102140 (1,2,3,4)00100 007001,2,3是一个极大无关组，是4 22。例 14设 4 维向量组11 a1 1 1，222 aT00010201000022，T3333 a3T，44444a。问 a 为何值时，1，2，3，4线性相关？当1，2，3，4线