2018年广东中考数学总复习：第2部分-专题突破-专题十三-几何动态综合题.pdf

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1、专题十三专题十三几何动态综合题几何动态综合题考情分析20132017 年解答题第 23 题均为几何动态综合题，分值为9 分一般以特殊平行四边形或三角形为背景，考查线段长度、角度、点的坐标、菱形或平行四边形的判定、直角或等腰三角形的存在性、与面积有关的函数关系式及最值，涉及解直角三角形、三角形的面积公式、勾股定理、二次函数的性质及最值等题目一般有34 问，第一问较为简单，熟练运用基础知识即可；后几问综合性较强，经常用到分类讨论、数形结合思想类型点动型综合题例 1如图 1，正方形 ABCD 中，点 A，B 的坐标分别为(0,10)，(8,4)，点 C 在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD 的边

2、上，从点 A 出发沿 ABCDA 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时动点 Q 以相同的速度从(1,0)出发在 x 轴正半轴上运动，当点 P 第一次回到 A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(2)当点 P 在 AB 上时，设OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出当t 为何值时 S 最大；(3)如果点 P，Q 保持原速度不变，当点P 沿 ABCD 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等？假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请说明理由图 1思路点拨解决几何动态问题的关键是“化动为静”，找出几何图形中的自变量与时间t

3、或线段长 x 的关系，并用函数关系式表示出来，再结合已知条件和图象性质求解训练1.如图 2，RtABC 中，C90，BC8 cm，AC6 cm.点 P 从 B 出发沿 BA向 A 运动，速度为每秒1 cm，点E 是点 B 以 P 为对称中心的对称点，点P 运动的同时，点Q 从 A 出发沿 AC 向 C 运动，速度为每秒 2 cm，当点 Q 到达顶点 C 时，P，Q 同时停止运动，设 P，Q 两点运动时间为 t 秒图 2(1)当 t 为何值时，PQBC?(2)设四边形 PQCB 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数关系式；(3)当 t 为何值时，AEQ 为等腰三角形？2.(2017 宜昌)正方

4、形 ABCD 的边长为 1，点 O 是 BC 边上的一个动点(与 B，C 不重合)，以 O 为顶点在 BC 所在直线的上方作MON90.(1)当 OM 经过点 A 时，请直接填空：ON_(可能，不可能)过 D 点；(图 3 仅供分析)如图 4，在 ON 上截取 OEOA，过 E 点作 EF 垂直于直线 BC，垂足为点 F，EHCD于 H，求证：四边形 EFCH 为正方形(2)当 OM 不过点 A 时，设 OM 交边 AB 于 G，且 OG1.在 ON 上存在点 P，过 P 点作PK 垂直于直线 BC，垂足为点 K，使得 SPKO4SOBG，连接 GP，求四边形 PKBG 的最大面积图 3图 4

5、备用图类型线动型综合题例 2如图 5，在ABC 中，ABAC10 cm，BDAC 于点 D，BD8 cm.点 M 从点A 出发，在 AC 上以每秒 2 cm 的速度匀速向点 C 运动，同时直线 PQ 从点 B 出发，沿 BA 的方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动，运动过程中始终保持PQAC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F.连接 PM，设运动时间为 t 秒(0t5)图 5(1)当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？(2)设四边形 PQCM 的面积为 y cm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；(3)连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M

6、 在线段 PC 的垂直平分线上？假设存在，求出此时 t 的值；假设不存在，说明理由训练3.如图 6，在ABC 中，C90，A60，AC2 cm.长为 1 cm 的线段 MN在ABC 的边AB上沿 AB方向以1 cm/s的速度向点B 运动(运动前点M 与点A重合)过M，N 分别作 AB 的垂线交直角边于P，Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t s.图 6(1)假设AMP 的面积为 y，写出 y 与 t 的函数关系式；(写出自变量 t 的取值范围)(2)线段 MN 运动过程中，四边形 MNQP 有可能成为矩形吗？假设有可能，求出此时 t的值；假设不可能，说明理由；(3)t 为何值时，以 C，P，

7、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？4.如图 7，在ABC 中，ABAC，BAC90，ADBC 于点 D，BC20 cm，AD10 cm.点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 2 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 l 从点 A 沿 AD 出发，以每秒 1 cm 的速度沿 AD 方向匀速平移，分别交 AB，AC，AD 于 M，N，E.当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 l 同时停止运动，设运动时间为t 秒(t0)(1)在运动过程中(点 P 不与 B，C 重合)，连接 PN，求证：四边形 MBPN 为平行四边形；(2)如图 8，以 MN 为边向下作正方形

8、 MFGN，FG 交 AD 于点 H，连接 PF，PG，当 010t时，求PFG 的面积最大值；3(3)在整个运动过程中，观察图 8,9，是否存在某一时刻 t，使PFG 为等腰三角形？假设存在，直接写出 t 的值；假设不存在，请说明理由图 7图 8图 9类型形动型综合题例 3已知：把 RtABC 和 RtDEF 按如图 10 摆放(点 C 与点 E 重合)，点 B，C(E)，F 在同一条直线上 ACBEDF90，DEF45，AC8 cm，BC6 cm，EF9 cm.如图 11，DEF 从图 10 的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向ABC 匀速移动，在DEF移动的同时，点 P 从A

9、BC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动 当DEF的顶点 D 移动到 AC 边上时，DEF 停止移动，点P 也随之停止移动DE 与 AC 相交于点Q，连接 PQ，设移动时间为 t(s)(0t4.5)解答以下问题：(1)当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？(2)连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使面积 y 最小？假设存在，求出 y 的最小值；假设不存在，说明理由(3)是否存在某一时刻 t，使 P，Q，F 三点在同一条直线上？假设存在，求出此时 t 的值；假设不存在

10、，说明理由图 10图 11训练5.如图 12 所示，在 ABCD 中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB，ACD 沿射线AC 的方向匀速平移得到PNM，速度为 1 cm/s，同时，点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，当PNM 停止平移时，点 Q 也停止运动，如图 13 所示，设运动时间为 t(s)(0t4)(1)当 t_时，PQMN；(2)设QMC 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻 t，使得 PQQM，假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由图 12图 136.已知矩形 OABC 的顶点 O(0,0)

11、，A(4,0)，B(4，3)动点P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，沿射线 OB 方向运动设运动时间为t 秒(1)求 P 点的坐标；(用含 t 的代数式表示)(2)如图 14，以 P 为一顶点的正方形PQMN 的边长为 2，且边 PQy 轴 设正方形 PQMN与矩形 OABC 的公共部分面积为 S，当正方形 PQMN 与矩形 OABC 无公共部分时，运动停止当 t4 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；当 t4 时，设直线MQ，MN 分别交矩形 OABC 的边 BC，AB 于 D，E，是否存在这样的 t，使得PDE 为直角三角形？假设存在，请求出所有符合条件的 t 的值；假设不存在，请

12、说明理由图 14参考答案例 1解：(1)如图 1，过点 B 作 BFy 轴于 F，BEx 轴于 E，过点 C 作 CGx 轴于点 G，与 FB 的延长线交于点 H，图 1A(0,10)，OA10.B(8,4)，BF8，OF4.AF1046.AB AF2BF210.ABC90，ABFCBH90.BAFABF90，BAFCBH.又 ABBC，AFBBHC90，ABFBCH.BHAF6，CHBF8.OGFH8614，CG8412.点 C 的坐标为(14,12)(2)如图 1，过点 P 作 PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N，PMBF.APAMPM则APMABF，.ABAFBFtAMPM34.AM

13、 t，PM t.10685534PNOM10 t，ONPM t.553471134738 40710 t(1t)t2t5t2S PNOQ(0t10)562210101036047当 t时，S 取到最大值6(3)OP 与 PQ 可以相等，根据等腰三角形的相关性质可知，相等时P 点的横坐标等于 Q点的横坐标的一半415当 P 在 AB 上时，如图 1，t(t1)，t；523当 P 在 BC 上时，如图 2，图 2AFBM则 PBt10，sinABFsinBPM，ABPB6BM3.BM(t10)10t10531ONBFBM8(t10)(t1)解得 t15(舍去)；52当 P 在 CD 上时，如图 3

14、，过点 C 作 CRPN 于 R，则 PCt20，图 3CHCRcosPCRcosBCH，BCPC8CR.10t204CRNG(t20)541ONOGNG14(t20)(t1)，52295解得 t.132955综上所述，当 t或 时，OP 与 PQ 相等133训练1.解：(1)C90，BC8 cm，AC6 cm，AB10 cm.BPt，AQ2t，APABBP10t.APAQPQBC，.ABAC10t2t30，解得 t.1061330即当 t时，PQBC.1311(2)S四边形PQCBSACBSAPQ ACBC APAQsin A，2211844y 68(10t)2t24 t(10t)t28t2

15、4.2210554即 y 关于 t 的函数关系式为 y t28t24.5(3)AEQ 为等腰三角形分三种情况讨论：5如果 AEAQ，那么 102t2t，解得 t；2如果 AEQE，如图 4，过点 E 作 EFAQ 于 F，图 41则 F 为 AQ 的中点，AF AQt.2又 ACBC，EFBC.AFAC6sinAEFsin B.AEAB10即t630，解得 t；11102t10如果 AQQE，可作 QMAE 于 M，102t2AMAC625同理可得 cos A，即，解得 t.AQAB2t101153025故当 t 为 秒或秒或秒时，AEQ 为等腰三角形211112(1)解：不可能【提示】假设

16、ON 过点 D，则 OAAB，ODCD，OA2AD2，OD2AD2.OA2OD22AD2AD2.AOD90，这与MON90矛盾，ON 不可能过 D 点证明：EHCD，EFBC，EHCEFC90，且HCF90.四边形 EFCH 为矩形MON90，EOF90AOB.在正方形 ABCD 中，BAO90AOB，EOFBAO.EFOB，OEOA，OFEABO.EFOB，OFAB.又 OFCFOCABBCOBOCEFOC，CFEF.四边形 EFCH 为正方形(2)解：如图 5，POKBOGOGBBOG90，图 5POKOGB.PKOOBG，PKOOBG.SPKO4SOBG，SPKOOP24.OP2.SOB

17、GOG11SPOG OGOP 121.22S四边形PKBGSPOGSPKOSOBG15SOBG，只需求出 SOBG的最大值设 OBa，BGb，则 a2b2OG21，b 1a2.111SOBG ab a 1a2a4a22221211a22.2411当 a2 时，OBG 有最大值为，此时 SPKO4SOBG1.2419四边形 PKBG 的最大面积为 11 .44例 2解：(1)假设四边形 PQCM 是平行四边形，则 PMQC，APABAMAC.10ABAC，APAM，即 10t2t，解得 t.310当 t时，四边形 PQCM 是平行四边形3(2)PQAC，PBQABC.PBQ 为等腰三角形，PQP

18、Bt.BFPBBFt4，即，解得 BF t.BDAB81054FDBDBF8 t.54111428 t t t t28t40.ySABCSAPMSBPQ 108 2t522255(3)假设存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，则MPMC，图 6过 M 作 MHAB，交 AB 于 H，如图 6 所示，AA，AHMADB90，HMAHAMAHMADB.BDADABHMAH2t又 AD6，.861086HM t，AH t.55611HP10t t10t.55在 RtHMP 中，821137t 10t2t244t100，MP2555又 MC2(102t)210040t4t2，MP2

19、MC2，37t244t10010040t4t2.520解得 t1，t20(舍去)1720t秒时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上17训练3.解：(1)当点 P 在 AC 上时，AMt，PMAMtan 60 3t.13y t 3tt2(0t1)22当点 P 在 BC 上时，PMBMtan 303(4t)，313323y t(4t)t2t(1t3)2363(2)AC2，AB4.BNABAMMN4t13t.QNBNtan 30t)假设要四边形 MNQP 为矩形，需 PMQN，且 P，Q 分别在 AC，BC 上即 3t33(3t)，t.343(333当 ts 时，四边形 MNQP 为矩形43(3)

20、由(2)知，当 ts 时，4四边形 MNQP 为矩形，此时 PQAB，PQCABC.除此之外，当CPQB30时，CQ3QPCABC，此时tan 30.CP3AM1cos 60，AP2AM2t.CP22t.AP2BN3BN23cos 30，BQ(3t)BQ23322323t又 BC23，CQ23(3t).3323t331，解得 t.222t313当 ts 或s 时，以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似24AMAN4(1)证明：lAD，BCAD，lBC.ABACABAC，AMAN.BAC90，MENE.MN2AE2t.BP2t，MNBP.四边形 MBPN 为平行四边形(2)解：四边形 MF

21、GN 是正方形，FGMNMF2AE2t.EHMF2t，DHADAH103t.51125t2.SPFG FGDH 2t(103t)333221030,0t，3525当 t 时，SPFG最大为.333010210(3)解：存在，t或.73【提示】如图 7，过点 F 作 FKBC 于 K，过点 G 作 GLBC 于 L，图 7则 FKGLDH103t，PKBDBPKD103t，PLPDDL102tt10t.利用勾股定理得：PF22(103t)2，PG2(103t)2(10t)2，FG2(2t)2.30102当 PFFG 时，2(103t)2(2t)2，解得 t；7当 PFPG 时，2(103t)2(

22、103t)2(10t)2，解得 t5，或 t0(舍去)；当 t5 时，点 P 为 BC 中点，而 F，P，G 三点共线，舍去当 FGPG 时，(2t)2(103t)2(10t)2，10解得 t，或 t10(舍去)；33010210综上所述，t或时，PFG 为等腰三角形73例 3解：(1)点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，APAQ.DEF45，ACB90，DEFACBEQC180，EQC45.DEFEQC.CECQ.由题意知 CEt，BP2t，CQt.AQ8t.在 RtABC 中，由勾股定理得 AB10 cm，则 AP102t.102t8t，解得 t2.(2)如图 8，过点 P 作 PMBE

23、 于 M，图 8BMP90.ACPMPM8sin B，即.ABPB2t108解得 PM t.5BC6 cm，CEt，BE6t.11118424ySABCSBPE BCAC BEPM 68(6t)t t2t222255548424(t3)2.554 0，抛物线开口向上584当 t3 时，y最小.5(3)假设存在某一时刻 t，使点 P，Q，F 三点在同一条直线上，如图 9，过点 P 作 PNAC 于 N，图 9ANPACBPNQ90.PANBAC，PANBAC.PNAPANPN102tAN，即.BCABAC610868解得 PN6 t，AN8 t.55838 t t.NQAQAN，NQ8t55AC

24、B90，B，C(E)，F 在同一条直线上，QCF90，QCFPNQ.FQCPQN，QCFQNP.636 tt55PNNQ，即，解得 t1.FCCQ9tt20训练5.解：(1)；9【提示】如图 10，由题意得，CQAPt，图 10AB3，BC5，AC4.CP4t.由平移的性质可得 MNAB，PQMN，PQAB.4ttCPCQ20，即，解得 t.ACBC459(2)如图 11，过点 P 作 PFBC 于点 F，过点 A 作 AEBC 于点 E，图 1111由 SABC ABAC AEBC，221112即 34 5AE，可得 AE.225CE AC2AE2122164255.PFBC，AEBC，AE

25、PF.CPFCAE.4tCFPFCPCFPF，即.ACCEAE4161255123t164tPF，CF.55PMBC，123t点 M 到 QC 的距离 hPF.5123t1136y CQh tt2 t(0t4)225105(3)如图 12，过点 Q 作 QKPM 于点 D，QE 交 AC 于点 H.图 125PQMQ，PKKM，且 KQBC.2AHQC，ACBQCH，CQCHtCHCQHCAB，即.ACBC45559CH t.PHACAPCH4t t4 t.444954 t42PHPK7易证PHKCBA，即，解得 t.BCAC54187当 t时，PQQM.186解：(1)设设 PN 与 x 轴

26、交于点 G，OA4，AB3，OAB90，OB5.PGAB，OPGOBA.OGPGOPOGPGt.OAABOB43543tOG t，PG.5543t，t.P 点的坐标为5554312(2)当 0t 时，S t tt2；2552551036当 t时，S2 t t；235510当t4 时，S4.34当 QM 运动到 AB 位置时，恰好无公共部分，t42，515即 t.2()当 4t5 时，DPEDBE90，PDE 不可能为直角三角形；()当 t5 时，DPEDBE90，此时PDE 是直角三角形；4154t46 t，DMMQQD2()当 5t时，如图 13，MEMNNE252533t35 t.55此时DPE90，有PDE90或PED90两种可能假设PDE90，则PQDM，QDME图 1335 t52可得，34t36 t55整理得 9t2160t6750，8051380513解得 t，应取 t；99PNME假设PED90，则，NEDM46 t52可得，43t45 t55整理得 8t2115t4250，注意到 0，该方程无实数解80513综上所述，符合条件的 t 的值有两个，t5 或 t.9