2013年北京市中考数学试卷含答案-答案在前.pdf

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1、 1/13 北京市 2013 年高级中等学校招生考试 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】B【解析】解：将 3960 用科学记数法表示为33.96 10【提示】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【考点】科学记数法表示较大的数 2.【答案】D【解析】解：34143 ，34的倒数是43【提示】根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数【考点】倒数 3.【答案】C【考点】概率公式【解析】解：根据题意可得：大于 2 的有

2、3，4，5 三个球，共 5 个球，任意摸出 1 个，摸到大于 2 的概率是35【提示】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小 4.【答案】C【解析】解：12，340，1111803180407022()，ab，4170 【提示】根据平角的定义求出1，再根据两直线平行，内错角相等解答【考点】平行线的性质 5.【答案】B【解析】解：ABBC，CDBC，BAECDE，ABBECDCE 20BE m，10CE m，20CD m，202010AB 解得：40AB 2/13 【提示】由两角对应相等可得BAECDE，利用对应边成比例可得两岸

3、间的大致距离 AB【考点】相似三角形的应用 6.【答案】A【解析】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形故此选项正确；B是轴对称图形，也是中心对称图形故此选项错误；C是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误；D是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误【提示】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【考点】中心对称图形，轴对称图形 7.【答案】B【解析】解：根据题意得：(5090 14040)50 32050 6.4（小时）故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时【提示】根据加权平均数的计算公式列出算式5 106 157 208()550 ，再进行计算即可【考点】加权平均数

4、 8.【答案】A【解析】解：作OCAP，如图，则1122ACAPx，在RtAOC中，1OA，2222111442OCOAACxx，所以211402()24yOC APxxx，所以 y 与 x 的函数关系的图像为 A 选项 【提示】作OCAP，根据垂径定理得1122ACAPx，再根据勾股定理可计算出2142OCx，然后根据三角形面积公式得到21402()4yxxx，再根据解析式对四个图形进行判断【考点】动点问题的函数图像 二、填空题 3/13 9.【答案】2(2)a b【解析】解：244ababa 2(44)a bb（提取公因式）2(2)a b（完全平方公式）【提示】先提取公因式 a，再根据完全

5、平方公式进行二次分解完全平方公式：2222()aabbab【考点】提公因式法与公式法的综合运用 10.【答案】21x 【解析】解：抛物线21yx开口向上，且与 y 轴的交点为(0,1)【提示】根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可【考点】二次函数的性质 11.【答案】20【考点】矩形的性质，三角形中位线定理【提示】根据题意可知 OM 是ADC的中位线，所以 OM 的长可求；根据勾股定理可求出 AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 BO 的长，进而求出四边形 ABOM 的周长【解析】解：O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，1

6、12.522OMCDAB，5AB，12AD，2251213AC，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，16.52BOAC，四边形 ABOM 的周长为566.52.520ABAMBOOM 12.【答案】32 13 0,1【解析】解：当12a 时，1B的纵坐标为12，1B的纵坐标和2A的纵坐标相同，则2A的横坐标为232a ，2A的横坐标和2B的横坐标相同，则2B的纵坐标为223b ，2B的纵坐标和3A的纵坐标相同，则3A的横坐标为313a ，3A的横坐标和3B的横坐标相同，4/13 则3B的纵坐标为33b ，3B的纵坐标和4A的纵坐标相同，则4A的横坐标为42a，4A的横坐标和4B的横坐

7、标相同，则4B的纵坐标为412b，即当12a 时，232a ，313a ，42a，532a ，112b，223b ，33b ，412b，523b ，20136713，2013313aa；点1A不能在 y 轴上（此时找不到1B），即0 x，点1A不能在 x 轴上（此时2A，在 y 轴上，找不到2B），即10yx ，解得：1x；综上可得1a不可取01、【提示】求出2a，3a，4a，5a的值，可发现规律，继而得出2013a的值，根据题意可得1A不能在 x 轴上，也不能在 y 轴上，从而可得出1a不可能取的值【考点】反比例函数综合题 三、解答题 13.【答案】见解析【解析】证明：DEAB，CABADE

8、，在ABC和DAE中，CABADEABDABDAE ，()ABCDAE ASA，BCAE【提示】根据两直线平行，内错角相等求出CABADE，然后利用“角边角”证明ABC和DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可【考点】全等三角形的判定与性质 5/13 14.【答案】5【解析】解：原式2122452 【提示】分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值 15.【答案】115x 【解析】解：32123xxxx，解不等式得，1x，解不等式得，15x，所以，不等式组的解集是115x

9、【提示】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【考点】解一元一次不等式组 16.【答案】12【解析】解：2410 xx，即241xx，原式222222412931()29343912xxxyyxxxx.【提示】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值【考点】整式的混合运算化简求值 17.【答案】2.5 平方米【解析】解：设每人每小时的绿化面积 x 平方米，由题意，得 18018036(62)xx，解得：2.5x 经检验，2.5x 是原方程的解，且符合题意 答：每人每小时的绿化面积 2.5 平方米【提示】设每人每小时的绿化面积 x 平方米，根

10、据增加 2 人后完成的时间比原来的时间少 3 小时为等量关系建立方程求出其解即可【考点】分式方程的应用 18.【答案】（1）52k （2）2 6/13 【解析】解：（1）根据题意得：44(24)2080kk，解得：52k；（2）由 k 为正整数，得到1k 或 2，利用求根公式表示出方程的解为152xk ，方程的解为整数，52k为完全平方数，则 k 的值为 2.【提示】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围；（2）找出 k 范围中的整数解确定出 k 的值，经检验即可得到满足题意 k 的值【考点】根的判别式，一元

11、二次方程的解，解一元二次方程公式法 四、解答题 19.【答案】（1）见解析（2）13【解析】证明：（1）在ABCD中，ADBC，且ADBC F 是 AD 的中点，12DFAD 又12CEBC，DFCE，且DFCE，四边形 CEDF 是平行四边形；（2）解：如图，过点 D 作DHBE于点 H 在ABCD中，60B，60DCE 4AB，4CDAB，122CHCD，2 3DH 在CEDF中，132CEDFAD，则1EH 在RtDHE中，根据勾股定理知2(2 3)113DE 【提示】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知ADBC，且ADBC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形 CED

12、F 的对边平行且相等（DFCE，且DFCE），即四边形 CEDF 是平行四边形；（2）如图，过点 D 作DHBE于点 H，构造含 30 度角的直角DCH和直角DHE 通过解直角DCH和在直角DHE中运用勾股定理来求线段 ED 的长度 7/13 【考点】平行四边形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，勾股定理 20.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：PA，PC 与O分别相切于点 A，C，APOEPD且PAAO，90PAO，AOPEOD，90PAOEAPOEDO，EPDEDO；（2）解：连接 OC，6PAPC，3tan4PDA，在RtPAD中，8AD，10PD，4CD，3tan4P

13、DA，在RtOCD中，3OCOA，5OD，EPDODE，DEPOED，2DPPEEDDODEOE，2DEOE在RtOED中，222OEDEOD，即2255OE，5OE 【提示】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：EPDEDO；（2）连接 OC，利用3tan4PDA，可求出4CD，再证明OEDDEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出 OE 的长【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质 21.【答案】（1）0.03（2）见解析（3）33.7 10【解析】解：（1）月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%，则牡丹园的面积为：0.0415%0.0320%（平方千米）；（2）植

14、物花园的总面积为：0.0420%0.2（平方千米），则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2 183.6（平方千米），第七、八界园博会的水面面积之和为：10.51.5（平方千米），则第九届园博会水面面积为1.5平方千米，如图：8/13 （3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：3500 7.43.7 10【提示】（1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可；（2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图像求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可；（3）根据图表所给的

15、信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量【考点】条形统计图，用样本估计总体，统计表，扇形统计图 22.【答案】（1）a（2）2（3）23【解析】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为12a，每个等腰直角三角形的面积为：2111224aaa，则拼成的新正方形面积为：22144aa，即与原正方形 ABCD 面积相等，这个新正方形的边长为a；（2）四个等腰直角三角形的面积和为2a，正方形 ABCD 的面积为2a，2144122AREDWHGCTSBFAREMNPQSSSSSS正方形；（3）如答图 1 所示，分别延长 RD，QF，

16、PE，交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W 9/13 由题意易得：RSF，QET，PDW均为底角是30的等腰三角形，其底边长均等于ABC的边长 不妨设等边三角形边长为 a，则SFACA 如答图 2 所示，过点 R 作RMSF于点 M，则1122MFSFa，在RtRMF中，133tan30236RMMFaa，21332612RSFSaaa 过点 A 作ANSD于点 N，设ADASx，则1sin302ANADx，22cos303SDNDADx，2111332224ADSSSD ANxxx 三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和223333124RSFSaa，3RPQADSCFTBE

17、WADSSSSSS，233334x，得249x，解得23x 或23x （不合题意，舍去）23x，即 AD 的长为23【考点】四边形综合题【提示】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为2a，边长为a；（2）如题图 2 所示，正方形 MNPQ 的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ 的面积；（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换 如答图 1 所示，三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和等于等边三角形ABC的面积，10/13 故阴影三角形PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和据此列方程求出 AD 的长度 五、解答题 23.【答案

18、】（1）(0,2)A(1,0)B（2）22yx；（3）2242yxx【解析】解：（1）当0 x 时，2y，(0,2)A，抛物线的对称轴为直线212mxm，(1,0)B；（2）易得 A 点关于对称轴直线1x 的对称点(2,2)A，则直线 l 经过A、B，设直线 l 的解析式为(0,)ykxb k，则220kbkb，解得22kb，所以，直线 l 的解析式为22yx；（3）抛物线的对称轴为直线1x，抛物线在23x这一段与在10 x 这一段关于对称轴对称，结合图像可以观察到抛物线在21x 这一段位于直线l的上方，在10 x 这一段位于直线l的下方，抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1，当1x时，2(1

19、)24y ，所以，抛物线过点(1,4)，当1x 时，224mm，解得2m，抛物线的解析式为2242yxx 【提示】（1）令0 x 求出 y 的值，即可得到点 A 的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点 B 的坐标；（2）求出点 A 关于对称轴的对称点(2,2)，然后设直线 l 的解析式为()0ykxb k，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在23x这一段与在10 x 这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线 l 的交点的横坐标为1，代入直线 l 求出交点坐标，然后代入抛物线求出 m 的值即可得到抛物线解析式【考点】二次函数的性质，一次函数图像与几何变换，二

20、次函数图像上点的坐标特征 24.【答案】（1）1302ABD（2）见解析 11/13 （3）30【解析】（1）解：ABAC，A，ABCACB，180ABCACBA，1118(92)002ABCACBA，ABDABCDBC，60DBC，即1302ABD；（2）ABE是等边三角形，证明：连接 AD，CD，ED，线段 BC 绕 B 逆时针旋转60得到线段 BD，则BCBD，60DBC，60ABE，160302ABDDBEEBC，且BCD为等边三角形，在ABD与ACD中ABACADADBDCD()ABDACD SSS，1122BADCADBAC，150BCE，111803015022BECBAD，在A

21、BD和EBC中BECBADEBCABDBCBD ()ABDEBC AAS，ABBE，ABE是等边三角形；（3）解：60BCD，150BCE，1506090DCE，45DEC，DEC为等腰直角三角形，DCCEBC，150BCE，1(180150)152EBC，130152EBC，30 【提示】（1）求出ABC的度数，即可求出答案；（2）连接 AD，CD，ED，根据旋转性质得出BCBD，60DBC，求出1302ABDEBC，且BCD为等边三角形，证ABDACD，推出1122BADCADBAC，求出12BECBAD，证ABDEBC，推出ABBE即 12/13 可；（3）求出90DCE，DEC为等腰直

22、角三角形，推出DCCEBC，求出15EBC，得出方程130152，求出即可【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形，旋转的性质 25.【答案】（1）,D E 03m（2）1r 【解析】解：（1）如图 1 所示，过点 E 作Oe的切线设切点为 R，O的半径为 1，1RO，2EO，30OER，根据切线长定理得出O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30，E 点是O的关联点，1 1,2 2D，(0,2)E，()2 3,0F，OFEO，DOEO，D 点一定是O的关联点，而在O上不可能找到两点与点 F 的连线的夹角等于60，故在点 DE、F 中，O的关联点是,D E；如图 2，由

23、题意可知，若 P 要刚好是C的关联点，需要点 P 到C的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60，由图 2 可知60APB，则30CPB，连接 BC，则22sinBCPCBCrCPB，若 P 点为C的关联点，则需点 P 到圆心的距离 d 满足02dr；由上述证明可知，考虑临界点位置的 P 点，如图 3，点1P到原点的距离12 12OP ，过点 O 作直线 l 的垂线 OH，垂足为 H，2 3tan32FOOGFOG，60OGF，sin603OHOG；13sin2OHOPHOP，160OPH，可得点1P与点 G 重合，过点2P作2PMx轴于点 M，可得230POM，2cos303OMOP，

24、从而若点 P 为O的关联点，则 P 点必在线段12PP上，03m；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点；考虑临界情况，如图 4，即恰好 E、F 点为K的关联时，则1222KFKNEF，此时，1r，故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径 r 的取值范围为1r.13/13 【提示】（1）根据关联点的定义得出 E 点是O的关联点，进而得出 F、D，与O的关系；若 P 要刚好是C 的关联点，需要点 P 到C的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为60，进而得出 PC的长，进而得出点 P 到圆心的距离 d 满足

25、02dr，再考虑临界点位置的 P 点，进而得出 m 的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段 EF 的中点；再考虑临界情况，即恰好 E、F 点为Ke的关联时，则1222KFKNEF，即可得出圆的半径 r的取值范围【考点】圆的综合题 数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）绝密启用前 北京市 2013 年高级中等学校招生考试 数 学 本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.在关于促进城市南部地区加快

26、发展第二阶段行动计划(20132015)中,北京市提出了共计约 3 960 亿元的投资计划.将 3 960 用科学记数法表示应为 ()A.239.6 10 B.33.96 10 C.43.96 10 D.40.396 10 2.34的倒数是 ()A.43 B.34 C.34 D.43 3.在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于 2 的概率为 ()A.15 B.25 C.35 D.45 4.如图,直线a,b被直线c所截,ab,12,若340,则4等于 ()A.40 B.50 C.70 D.80 5.如图,为估算某河的

27、宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得ABBC,CDBC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得20 mBE,10mBE,20mCD,则河的宽度AB等于 ()A.60m B.40m C.30m D.20m 6.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ()A B C D 7.某中学随机地调查了 50 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示：时间(小时)5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 ()A.6.2小时 B.6.4小时 C.6.5小时 D.7 小时 8.如图,点P是以O为圆心,

28、AB为直径的半圆上的动点,2AB,设弦AP的长为x,APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是 ()A B C D 二、填空题(本题共 16 小题,每小题 4 分)9.分解因式：244ababa=.10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y .11.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中 点,若5AB,12AD,则 四 边 形ABOM的 周 长为 .12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l：1yx,双曲线1yx.在l上取点1A,过1A作x轴的垂线交双曲线于点1B,过1B作y轴的垂线交l于点2A,请继续操作并探究：过2

29、A作x轴的垂线交双曲线于点2B,过2B作y轴的垂线交l于点3A,这样依次得到l上的点1A,2A,3A,nA,.记点nA的横坐标为na,若12a,则2a=,2013a=；若要将上述操作无限次地进行下去,则1a不能取的值是 .毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效-数学试卷 第 3 页（共 6 页）数学试卷 第 4 页（共 6 页）三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)13.已 知,如 图,D是AC上 一 点,ABDA,DEAB,BDAE.求证：BCAE.14.计算：11(13)|2|2cos45()4.15.解不等式组：32,12.3xxxx 16.已知241

30、0 xx,求代数式22(23)()()xxy xyy的值.17.列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了 2 名 工人,结果比计划提前 3 小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.18.已知关于x的一元二次方程22240 xxk有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)19.如图,在ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使12CEBC,连接DE,CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若4AB,

31、6AD,60B,求DE的长.20.如图AB是O的直径,PA,PC与O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DEPO交PO的延长线于点E.(1)求证：EPDEDO；(2)若6PC,3tan4PDA,求OE的长.21.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕,以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面积为 平方千米；(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍,水面面积是第七、八届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标

32、明相应数据；(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系,根据小娜的发现,请估计,将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游客量(万人次)单日最多接待游量(万人次)停车位数量(个)第七届 0.8 6 约 3 000 第八届 2.3 8.2 约 4 000 第九届 8(预计)20(预计)约 10 500 第十届 1.9(预计)7.4(预计)约 数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6

33、页（共 6 页）22.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1,在边长为(2)a a的正方形ABCD各边上分别截 取1AEBFCGDH,当45AFQBGMGHNDEP时,求正方形MNPQ的面积.小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得RQF,SMG,TNH,WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图 2)请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个 新正方形的边长为 ；(2)求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题：如图 3,在等边ABC各边上分别截取ADBECF,再分别 过点D,E

34、,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边RPQ,若33RPQS,则AD的长为 .五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线222ymxmx(0m)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式；(3)若该抛物线在21x 这一段位于直线l的上方,并且在23x 这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.24.在ABC中,ABAC,BAC(060),将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD.(1)如图 1,直接写出ABD的

35、大小(用含的式子表示)；(2)如图 2,150BCE,60ABE,判断ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下,连接DE,若45DEC,求的值.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和C,给出如下定义：若C上存在两个点A,B,使得60APB,则称P为C的关联点.已知点D(12,12),E(0,2),(2 3,0)F(1)当O的半径为 1 时,在点D,E,F中,O的关联点是 ；过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使30GFO,若直线l上的点P(,)m n是O的关联点,求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效-