2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理.pdf

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1、第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 I 2.1I 2.1 函数及其表示函数及其表示 理理1函数与映射两集合A、函数设A，B是两个非空数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：AB为从集合A到集合B的一个函数映射设A，B是两个非空集合如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B对应关系f：ABB中都有唯一确定的元素y与之对应称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射名称记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自

2、变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数1【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于

3、零且不等于1；(5)正切函数ytanx，xk(kZ Z)；2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)假设两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)假设AR R，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()1函数y 2x33A，)23C，3)(3，)2答案C2x30，解析由题意知x30，1的定义域为()x3B(，3)(3，)D(3，)3解

4、得x 且x3.22(教材改编)假设函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()2答案B解析A 中函数的定义域不是2,2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0,2，故选B.3(2016全国甲卷)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y10的是()Ayx Bylgx Cy2 Dy答案D解析函数y10的函数为y1lgxlgx的定义域和值域相同x1x的定义域为x|x0，值域为y|y0，所以与其定义域和值域分别相同x，故选 D.，x1，1log22x4设函数f(x)x12，x1，则f(2)f(log212)等于()A3 B6 C9 D12答案C解析因为2

5、1，log212log2831，所以f(2)1log22(2)1log243，1flog2122log212-12log2122112 6，2故f(2)f(log212)369，故选 C.x，x，a，5设f(x)2x，xa，.假设f(2)4，则a的取值范围为_答案(，2解析因为f(2)4，所以 2a，)，所以a2，则a的取值范围为(，2.题型一函数的概念例 1有以下判断：x01|x|f(x)与g(x)x1x0表示同一函数；3函数yf(x)的图象与直线x1 的交点最多有 1 个；f(x)x2x1 与g(t)t2t1 是同一函数；22 1假设f(x)|x1|x|，则ff 0.2其中正确判断的序号是

6、_答案解析对于，由于 函数f(x)1x0，1x0 时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当x4x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选 B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中yx的x不能取 0；C 中两函数的对应关系不同故选D.题型二函数的定义域问题命题点 1求函数的定义域例 2(1)函数f(x)12 A(3,0C(，3)(3,0 x01x3的定义域为()B(3,1D(，3)(3,1(2)假设函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)答案(1)A(2)0,1)12 0，解析(1)由题意得x30，xf2x的定义域是_x

7、1解得3x0.所以函数f(x)的定义域为(3,0(2)由 02x2，得 0 x1，又x10，即x1，所以 0 x1，即g(x)的定义域为0,1)引申探究本例(2)中，假设将“函数yf(x)的定义域为0,2”改为“函数yf(x1)的定义域为0,2”，则函数g(x)13答案，1)(1，22解析由函数yf(x1)的定义域为0,2，得函数yf(x)的定义域为1,3，12x3，令x10，f2x的定义域为_x113得 x 且x1，2213g(x)的定义域为，1)(1，22命题点 2已知函数的定义域求参数范围例 3(1)假设函数f(x)(2)假设函数y2x22axa1的定义域为 R R，则a的取值范围为_a

8、x1的定义域为 R R，则实数a的取值范围是_ax22ax35答案(1)1,0(2)0,3)解析(1)因为函数f(x)的定义域为 R R，x 2axa10对xR R 恒成立，所以22即2x22axa20，恒成立，2因此有(2a)4a0，解得1a0.(2)因为函数y2ax1的定义域为 R R，ax2ax32所以ax2ax30 无实数解，即函数yax2ax3 的图象与x轴无交点当a0 时，函数y3 的图象与x轴无交点；当a0 时，则(2a)43a0，解得 0a3.综上所述，a的取值范围是0,3)思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要

9、特别注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：假设yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；假设yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解(1)已知函数f(x)的定义域为 3,6，则函数y 22f(2x)的定义域为log1(2 x)2()3A，)23C(，)2(2)假设函数y3A(0，43C0，4答案(1)B(2)D解析(1)要使函数y 23B，2)21D，2)2mx1的定义域为 R R，则实数m的取值范围是()mx4mx33B(0，

10、)43D0，)4f(2x)有意义，log1(2 x)26需满足32x6,3x3，log(2 x)0212202x13x0，4m24m30，或m0，即m0，m4m300，m4m30.解得 0m1)(2)2x7(3)213x3解析(1)(换元法)令t22x1(t1)，则xt1，f(t)lg2t1，即f(x)lg2x1(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不管x为何值都成立，a2，b5a解得2，17，ab7，f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f(11x)x1 中，用x代替x，得f(11

11、x)2f(x)x1，712f将f()xx11 代入f(x)2f()x1 中，xx21可求得f(x)x.33思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：假设已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；1(4)消去法：已知f(x)与f 或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等x式组成方程组，通过解方程组求出f(x)112(1)已知f(x)x2，求f(x)；xx

12、(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x1，求f(x)；(3)已知f(x)3f(x)2x1，求f(x)11122解(1)设x t，则x2(x)2，xxxf(t)t2，f(x)x2.(2)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k xkbb，k4，kbb1，2222k2，1b3k2，或b1.1故f(x)2x 或f(x)2x1.3(3)以x代替x得f(x)3f(x)2x1，1f(x)3f(x)2x1，代入f(x)3f(x)2x1 可得f(x)x.42分类讨论思想在函数中的应用2xa，x0 时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得 2(1a)a(1a)2a，3解得a，不合题意2当a1,1a1，

13、由f(1a)f(1a)，可得3(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意4(2)由f(f(a)2f(a)，得f(a)1.22当a1 时，有 3a11，a，a1，x2，x100，解得 1x2 或 2x10，所以函数f(x)的定义域为(1,2)(2,103假设二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x3xCg(x)3x2x答案B解析(待定系数法)设g(x)axbxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，222Bg(x)3x2xDg(x)3x2x22abc1，abc5，c0，2a3，解得b2，c0，g(x)3x2x，故选 B.sinx，

14、1x0，4(2017武汉调研)函数f(x)x1e，x02满足f(1)f(a)2，则a所有可能的值为()A1 或C1答案A22B2222D1 或10解析f(1)e111 且f(1)f(a)2，2f(a)1，当1a0 时，f(a)sin(a)1，0a1，0a，22aa；22当a0 时，f(a)ea1221a1.5(2016安徽六校联考)已知函数f(x)x|x|，假设f(x0)4，则x0的值为()A2C2 或 2答案B解析当x0 时，f(x)x，f(x0)4，即x04，解得x02.当x0 时，f(x)x，f(x0)4，即x04，无解，所以x02，故选 B.12ax3a，x0，需使ln 112a3a，

15、1B(1，)21D(0，)21a，2a1，211a.21即a的取值范围是1，)27已知函数yf(x1)的定义域为3，3，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x1)的定义域为 3，3，112x 3，3，x11,2，yf(x)的定义域为1,22ex1,x1，8设函数f(x)1则使得f(x)2 成立的x的取值范围是_3x,x1，答案(，8解析当x1 时，由 ex1；当x1 时，由x 2得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.2x 3，x1，9(2015浙江)已知函数f(x)xlgx21，x1，则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案02 23解析f(3)lg(3)1lg 1

16、01，f(f(3)f(1)0，2当x1 时，f(x)x 32 23，当且仅当x 2时，取等号，此时f(x)min2 230；2x12 得x1ln 2，13x当x1 时，f(x)lg(x1)lg 10，当且仅当x0 时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为 2 23.21*10.具有性质：f f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，以下函数：x x，0 x1.x其中满足“倒负”变换的函数是_答案111解析对于，f(x)x，f xf(x)，满足；xxx11对于，f xf(x)，不满足；x x12xx11对于，f 0，1，xx1x，x1，1，x1，x1即f 0，x1，xx，0 x

17、1，11，0 1，21故f f(x)，满足x 综上可知，满足“倒负”变换的函数是.11已知f(x)是二次函数，假设f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)axbxc(a0)，又f(0)0，c0，即f(x)axbx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)b(x1)axbxx1.(2ab)xab(b1)x1，2222abb1，ab1，1a，2解得1b2.121f(x)xx.22fx1，2x0，求实数a的值331解(1)由题意，得f()f(1)f()222111f(1)f()2 12.222133(2)当 0a2 时，由f(a)2a14，得a，2当a2 时，由f(a)a14，得a 5或a 5(舍去)，3综上所述，a 或a 5.2214