2020年考研数学一真题及答案解析(完整版).pdf

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1、20202020 年考研数学一真题及答案解析（完整版）年考研数学一真题及答案解析（完整版） 一、选择题：一、选择题：1818 小题，第小题小题，第小题 4 4 分，共分，共 3232 分分. .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. . 1.x 0时，下列无穷小量中最高阶是（） A. x 2 0 et1dt B. x 3 0 ln(1t dt) C. sinx 0 sint2dt D.1cosx 0 sint2dt 2.设函数 f (x)在区间（

2、-1，1）内有定义，且lim x0 f (x) 0, 则（） A.当lim f (x) x0| x| 0, f (x)在x 0 处可导. B.当lim f (x) x0 x2 0, f (x)在x 0 处可导. C.当 f (x)在x 0处可导时,lim f (x) x0| x| 0. D.当 f (x)在x 0处可导时,lim f (x) x0 x2 0. 3.设函数 f (x)在点（0，0）处可微，f (0,0) 0,n f x , f y ,1 非零向量 d 与 n 重直，则（ (0,0) A. n(x, y, f (x, y)| (x,y lim | )(0,0)x2 y2 0存在 B

3、. , y, f (x, y)| (x,y lim |n(x )(0,0)x2 y2 0存在 ） C. (x,y)(0,0) lim |d (x, y, f (x, y)| x y 22 0存在 D. (x,y)(0,0) lim |d(x, y, f (x, y)| x y 22 0 4.设 R 为幂级数a x n n1 n 的收敛半径，r 是实数，则（） A.a x n n1 n 发散时，|r | R B.a x n n1 n 发散时，|r | R C.|r | R时，a x n n1 n 发散 D.|r | R时，a x n n1 n 发散 5.若矩阵 A 经初等变换化成 B，则（） A

4、.存在矩阵 P，使得 PA=B B.存在矩阵 P，使得 BP=A C.存在矩阵 P，使得 PB=A D.方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解 6.已知直线L 1 : xa 2 y b 2 2c 2 a 1 b 1 c 1 a i xa 3 y b 3 2c 3 与直线L2 : 相交于一点，法向量ai bi ,i 1,2,3.则 a 2 b 2 c 2 ci aa ,a A. 1 可由 23 线性表示 B.a2可由a1,a3线性表示 C.a3可由a 1,a2 线性表示 D.a1,a2,a3线性无关 7.设 A,B,C 为三个随机事件，且P(A) P(B) P(C) 1 ,P(AB) 0 4 P(

5、AC) P(BC) 1 ，则 12 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 3 4 2 B. 3 1 C. 2 5 D. 12 A. 8.设x1,x2,x(n)为来自总体 X 的简单随机样本， 其中 P(X 0) P(X 1) 100 分布函数，则利用中心极限定理可得P X i 55的近似值为 i1 A.1(1) B.(1) C.1(0,2) D.(0,2) 1 ,(x)表示标准正态 2 二、填空题：二、填空题：9 91414 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2424 分。请将解答写在答题纸指定位置上分。请将解答写在答题纸指定位置上. . 11 x0 ex1ln(1 x) 2

6、x t 1 d2y 10.设 ，则 2 | t1 2 dx y ln(t t 1) 9.lim 11.若函数f (x)满足f (x)af (x) f (x) 0(a 0),且f (0) m, f (0) n，则 12.设函数f (x, y) 13.行列式 0 f (x)dx xy 0 2f edt，则 xy (1,11) xt2 a 0 1 1 0 a 1 1 1 1 a 0 1 1 0 a 14. 设x顺从区间 , 上的均匀分布，Y sin X ，则Cov(X,Y 2 2 三、解答题：三、解答题：15231523 小题，共小题，共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在

7、答题纸指定位置上. .解答写出文字说明、证明过程或演算解答写出文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. . 15.（本题满分 10 分） 求函数f (x, y) x 8y xy 的最大值 16.（本题满分 10 分） 计算曲线积分I 33 L 4x yx y 2x y 2 ，方向为逆时针方向 dxdyL 是 2224x y4x y 其中 17.（本题满分 10 分） 设数列an 1 na xa 1 1(x1)a n 1 nan | x|1 n 时幂纹数满足 2 ，证明：当n1收敛，并求其和函数. 18.（本题满分 10 分） 设 为由面 Z :x y 22 x2 y2 4 的下侧， f (x) 是

8、连续函数，计算 I xf (xy)2 ydydzyf (xy)2y xdzdx2 f (xy)2dxdy max| f (x)|, 证明（1）19.设函数 f (x)在区间0,2上具有连续导数， f (0) f (2) 0,M x ，存在号 (0,2) (0,2) ，使得| f ()| M（2）若对任意的x(0,2),| f (x)| M，则M 0. 20.设二次型f (x1,x2) x 4x1x2 4x 2 1 2 2 经正交变换 x 1 y 1 Q 化为二次型 x2 y 2 2g(y 1, y2 ) ay 1 2 4y 1 y 2 by 2 ，其中a b. （1）求a,b的值. （2）求正

9、交矩阵Q. 21.设A为 2 阶矩阵，P (, A)，其中 是非零向量且不是A的特征向量. （1）证明P为可逆矩阵 （2）若A2 A6 0，求P1AP，并判断A是否相似于对角矩阵. 22.设随机变量 X1，X2，X3相互独立，其中 X1与 X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为 1 PX 3 0 PX 3 1,Y X 3 X 1 (1 X 3 )X 2 . 2 （1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数(x)表示. （2）证明随机变量 Y 服从标准正态分布. 23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为 t 1e ,t 0, F(t) 0,其他. m 其中,m为参数且大于零. （1）求概率PT t与PT S t |T S，其中S 0,t 0. （2）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1,t2,tn，若 m 已知，求的最大似然估计 .值