高考数学解斜三角形老师.pdf

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1、20122012 高考数学解斜三角形高考数学解斜三角形一、知识梳理一、知识梳理1.正弦定理：abc=2R，其中 R 是三角形外接圆半径.sin Asin Bsin C222b c a2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.2bc3.SABC=111absinC=bcsinA=acsinB,2224.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B)

2、,cossinCA B=sin,22CA B=cos22在ABC 中，熟记并会证明 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;证明：tanCtan（AB）即 tanC（tanAtanB）（1tanAtanB）tanC（tanAtanB）（1tanAtanB）tanCtanAtanBtanCtanAtanB移项 tanAtanBtanCtanAtanBtanC(2)A、B、C 成等差数列的充要条件是B=60；(3)ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且 a、b、c 成等比数列.证明：三角形三个内角 A、B、C 依次成等差数列,则必有一个角为 60，假设是 B 为 6

3、0，且 B 对应的边为 b，则根据余弦定理，a.a+c.c-b.b=ac 又因为 b.b=a.c 所以代入到前式，则 a=c,又将 a=c 代入第一个式子，则 a=b 所以 a=b=c7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角 A、B 与一边 a,由 A+B+C=180及abc=，可求出角 C，sin Asin Bsin C再求出 b、c.(2)已知两边 b、c 与其夹角 A，由 a2=b2+c2-2bccosA，求出 a，再由余弦定理，求出角 B、C.(3)已知三边 a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab=，求出另一边b 的对sin Asin Bacab角 B，由 C=-(A+B)，求

4、出 c，再由=求出 C，而通过=求 B 时，sin Asin Csin Asin B(4)已知两边 a、b 及其中一边的对角 A，由正弦定理可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：aba=ba90一解无解无解（一）选择题（共（一）选择题（共 7 7 题）题）1.1.（安徽卷文（安徽卷文 5 5）在三角形ABC中，AB 5,AC 3,BC 7,则BAC的大小为（）AA=90一解无解无解absinAa=bsinAabsinAA40=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 Rt

5、QPE中，PE=QEsinPQE QEsinAQC QEsin(45 ABC)=155 3 5 7.所以船会进入警戒水域.54.4.（江江西西卷卷理理 17 17）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a 2 3，A BC tan 4,2sin BcosC sin A，求A,B及b,c22A BCCC tan 4得cot tan 4解：由tan2222CCcossin122 4 4CCCCsincossincos222215sinC，又C(0,)C，或C 266tan由2sin BcosC sin A得2sin Bcos B sin(B C)即sin(B C)0B CB C 6A

6、(B C)231sinBabc由正弦定理得b c a 2 32 2sin Asin BsinCsin A325.5.（辽宁卷理（辽宁卷理 17 17）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c 2，C 3（）若ABC的面积等于3，求a，b；（）若sinC sin(B A)2sin 2A，求ABC的面积说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分22解析：（）由余弦定理及已知条件得，a b ab 4，又因为ABC的面积等于3，所以1absinC 3，得ab 4 4 分2a2b2ab 4，联立方程组解得a 2，b 2

7、6 分ab 4，（）由题意得sin(B A)sin(B A)4sin Acos A，即sin Bcos A 2sin Acos A，8 分当cos A 0时，A 4 32 3，B，a，b，2633当cos A 0时，得sin B 2sin A，由正弦定理得b 2a，a2b2ab 4，2 34 3联立方程组解得a，b 33b 2a，所以ABC的面积S 12 3 12 分absinC 236.6.（辽宁卷文（辽宁卷文 17 17）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c 2，C 3（）若ABC的面积等于3，求a，b；（）若sin B 2sin A，求ABC的面积22解：（）由余

8、弦定理得，a b ab 4，又因为ABC的面积等于3，所以1absinC 3，得ab 4 4 分2a2b2ab 4，联立方程组解得a 2，b 26 分ab 4，（）由正弦定理，已知条件化为b 2a，8 分a2b2ab 4，2 34 3联立方程组解得a，b 33b 2a，所以ABC的面积S 12 3 12 分absinC 237.7.（全全国国卷卷理理 17 17）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3acos B bcos A c5（）求tan Acot B的值；（）求tan(A B)的最大值解析：（）在ABC中，由正弦定理及acos B bcos A 可得sin AcosB

9、 sin Bcos A 3c53333sinC sin(A B)sin AcosB cos Asin B5555即sin AcosB 4cos Asin B，则tan AcotB 4；（）由tan AcotB 4得tan A 4tan B 0tan A tan B3tan B33tan(A B)1 tan Atan B14tan2Bcot B 4tan B41当且仅当4tan B cot B,tan B,tan A 2时，等号成立，231故当tan A 2,tan B 时，tan(A B)的最大值为.428.8.（全国卷文全国卷文 17 17）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c

10、，且acosB 3，bsin A 4（）求边长a；（）若ABC的面积S 10，求ABC的周长l解：过C作CD AB于D，则由CDbsinA=4,BD=acosB=3,在直角三角形BCD中，a=BC=BD2+CD2=5113由面积S=ABCD=AB4=10,AB=5,又 acosB=3,cosB=2253再由余弦定理得：b=c2+a22accos B=25+25225 202 55 552 5102 5周长为102 5。9.9.（全国卷理（全国卷理 17 17）在ABC中，cos B （）求sin A的值；54，cosC 51333，求BC的长251243解：（）由cos B ，得sin B，由

11、cosC，得sinC 13551333所以sin A sin(B C)sin BcosC cos BsinC 5 分6533133（）由SABC得 AB ACsin A，22233由（）知sin A，故AB AC 65，8 分65ABsin B202013AB，故AB2 65，AB 又AC 2sinC1313ABsin A11所以BC 10 分sinC25310.10.（全国卷文（全国卷文 17 17）在ABC中，cos A ，cosB 513（）求sinC的值；（）设BC 5，求ABC的面积512解：（）由cos A ，得sin A，131334由cosB，得sin B 2 分5516所以s

12、inC sin(A B)sin Acos B cos Asin B 5 分6545BCsin B513（）由正弦定理得AC 8 分12sin A3131113168所以ABC的面积S BC ACsinC 5 10 分236532（）设ABC的面积SABC13.13.（重庆卷理（重庆卷理 17 17）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：a的值；c（）cotB+cot C 的值.（）解：（）由余弦定理得1117a7a2 b2c22bcos A (c)2c22c cc2.3329c3（）解法一：cot B cotC cosBsinC cosCsin Bsin(B

13、 C)sin A,sin BsinCsin BsinCsin BsinC由正弦定理和（）的结论得72csin A1a291414 3.sin BsinCsin A bc931c3 3c32故cot BcotC 14 3.9解法二：由余弦定理及（）的结论有72212c c(c)a c b593cosB.2ac72 72c c3222故sinB 1cos2B 1253.282 772122c c ca b c19同理可得cosC 9,2ab712 72cc33222sinC 1cos2C 113 3.282 7从而cot BcotC cosBcosC5114 33 3.sin BsinC39922

14、214.14.（重庆卷文（重庆卷文 17 17）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.已知b c a 3bc，求：（）A 的大小;（）2sin BcosC sin(B C)的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识。以及推理和计算能力。三角函数的化简经常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆向应用。【答案】()由余弦定理，a2b2c22bccosA,故cos A b2c2a23bc32bc2bc2,所以A6.()2sin BcosC sin(B C)2sin B cos C (sin B cos C cos B sin C)sin B cos

15、 C cos B sin C sin(B C)sin(A)sin A 12.15 15（四四川川延延考考理理 17 17）在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，a2c2 2b2。（）若B 4，且A为钝角，求内角A与C的大小；（）若b 2，求ABC面积的最大值。解：（）由题设及正弦定理，有sin2Asin2C sin2B 1。故sin2C cos2A。因A为钝角，所以sinC cos A。由cos A cos(4C)，可得sinC sin(54C)，得C 8，A 8。（）由余弦定理及条件b 12222(a2c2)，有cosB a c14ac，故cos B2。由于ABC面积12ac

16、sin B，又ac12(a2c2)4，sin B32，当a c时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC面积的最大值为124323。知已16 16（四川延考文（四川延考文 17 17）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2c2 2b2（）若B 4，且A为钝角，求内角A与C的大小；（）求sin B的最大值解：（）由题设及正弦定理，有sin2Asin2C 2sin2B 1故sin2C cos2A因为A为钝角，所以sinC cos A由cos A cos(5C)，可得sinC sin(C)，得C，A 44882a2c2122（）由余弦定理及条件b(a c)，有cosB，24ac22因a c 2ac，所以cosB 13故sin B，22当a c时，等号成立从而，sin B的最大值为32