中国矿业大学工程数学课后答案.pdf

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1、-1-习题三解答 1.沿下列路线计算积分+idzz302。（1）自原点到i3+的直线段（2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至i3+；（3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至i3+。解（1）=,3tytx 10 t，故ttzi3+=，10t。()dtdzi3+=于是()()dtttdzzi3i32130102+=+()+=1023i3dtt()i3266i33101|i)3(31333+=+=+=t（2）+=i30i30222221dzzdzzdzzdzzCC。1C之参数方程为=,3tytx()10 t；2C之参数方程为=,3tyx()10 t 故 ()+=+=i301010

2、222i3266ii339dttdttdzz。（3）+=+=i30i0i3i2222243dzzdzzdzzdtzdzzCC。()10i:3=ttzC；()10i3:4+=ttzC，故 ()+=+=i301010222i32663i3idttdttdzz 2分别沿xy=与2xy=算出、积分()+idzyx102i的值。解（1）沿xy=。此时()10i+=tttz。()dtdzi1+=，于是()()()+=+i101022i1iidtttdzyx()()()+=+=+=102i65612i31i1ii1dttt。（2）沿2xy=，此时()10i2+=tttz。()dttdz2i1+=，故()()

3、()+=+i10102222i1iidttttdzyx()()()()+=+=10103222ii12i1i1dtttdttt()i65612i31i1+=+=。3设()zf在单连域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问()()=0ImRedzzfdzzfCC 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解 未必成立。令()zzf=，1:=zC，则()zf在全平面上解析，但是 x 3+i C2 C1 O C3 i C4 y(z)3 课后答案网 课后答案网-2-()=20ReReiiCdeedzzf()=+=200icosisincosd()=20iiImImdeedzz

4、fC()=+=200cosisinsind 4利用单位圆上1zz=的性质，及柯西积分公式说明2 iCzdz=?，其中C为正向单位圆周|1z=。解 12 iCCzdzdzz=?，（利用柯西积分公式）5计算积分dzzzC的值，其中 C 为正向圆周：（1）2=z；（2）4=z 解 （1）因在2|=z上有2|=z，4|2=zzz，从而有zz4=，故有 i422|2|2|4=dzzdzdzzzzCzZ（2）因在 C 上有4|=z，16|2=zzz，从而有zz16=，故有 i844|4|4|16=dzzdzdzzzzCzZ 6利用观察法得出下列积分的值。解 利用柯西古萨基本定理和柯西积分公式。7沿指定曲线

5、的正向计算下列各积分。（1）Czdzze2，1|2:|=zC （2）22Cdzza?，:|Czaa=（3）i21zCe dzz+?，:|2i|3/2Cz=（4）3Czdzz?，:|2Cz=（5）23,(1)(1)Cdzzz?:|1Czr=时，331/()|10()zCezazdzza?在上解析，故；当|1a 时，32 i()|i()2!zzaz aCedzeeza=?10证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，210Cdzz=?。证明 当原点在曲线C内部时，0212 i(1)|0zCdzz=?；当原点在曲线C外部时，21/z在C内解析，故210Cdzz=?。11下列两个积分的值是否相等？积分

6、 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？1）|2zzdzz=?；2）|4zzdzz=?解 2i|202i0zzdzedz=?；2i|404i0zzdzedz=?，故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从 1）的值得到，因zz不是一个解析函数。12设区域D为右半平面，z为D内圆周|1z=上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连结原点与z，证明201Re.14zd=+证明 函数211+在右半平面解析，故在计算从 0 到z沿任意一条曲线C的积分时与积分路径无关。则i1222i000011i2icos.111422cos2zeddxddxe=+=+（分子分母同乘以2i1 e+），课

7、后答案网 课后答案网-5-B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 201Re.14zd=+13设1C与2C为相交于MN、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B与2B。1B与2B的公共部分为B。如果()f z在1BB与2BB内解析，在1C、2C上也解析，证明：12()()CCf z dzf z dz=?。证明 在1BB上()f z为解析函数，则由柯西基本定理()0MENGMf z dz=?；同理()0MHNFMf z dz=?则()()()()NGMMENMHNNFMf z dzf z dzf z dzf z dz+=+，即12()()CCf z dzf z dz=?。14设

8、 C 为不经过 a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分Cdzazz22。解 （i）当 a 在 C 的内部而-a 在 C 的外部时=+=+=CazCazzdzazazzdzazzii222。（ii）当a在 C 的内部而 a 在 C 的外部时，=+=ccazazzdzazazzdzazzii222（iii）当 a 与a 在 C 的内部时，设1C,2C分别为以aa,为心半径充分小的圆周使21,CC均在C的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式得=+=+=ccciiidzazazzdzazazzdzazz21222

9、（iv）当 a 与a 都在 C 的外部时，由 Cauchy-Gourssat 定理得=Cdzazz022。15设1C与2C为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明：122200100002,1sin2 isin,CCzzCz dzzdzzzzzzzC+=?当 在 内时,当 在内时.证明 利用 Cauchy 积分公式，01zC当 在 内时,01222001|2 iz zCz dzzzzz=?，而201sin02 iCzdzzz=?；02zC当 在内时,120102 iCz dzzz=?，而02001sinsin|sin2 iz zCzdzzzzz=?。故结论成立。16设函数()zf在1|

10、0 z内解析，且沿任何圆周 C：rz=|，10 r的积分为零，问()zf是否需在z=0 处解析？试举例说明之。解 不一定。如令()21zzf=，则其在1|0 z内解析，且沿任何圆周 C：rz=|，10。解 1）2222363,363xyuxxyyuxxyy=+=，则 22222()i363i(363)3(1)xyfzuuxxyyxxyyi z=+=，故 3()(1)i,f zi zc c=+?；2）222222222222222222i1()ii()()()()yxxyxyxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+，故 111(),(2)0()2f zcff zzz=+=又，则；3）()

11、i22i(1)2i(1 i)2i(1)xyfzuuyxxyz=+=，故 22()i(1),(2)i()i(1)f zzcff zz=+=又，则；4）222222i1()iiyxxyxyzfzvvxyxyxyzzz=+=+=+，故()ln,f zzc c=+?。31设sinpxvey=，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数()if zuv=+。解 2sin(1)0pxxxyyvvey p+=，知1p=。当1p=时，(),zf zec c=+?；当1p=时，(),zf zec c=+?。32如果(,)u x y是区域D内的调和函数，C为D内以0z为中心的任何一个正向圆周：0|zzr=，它的内部完

12、全含于D。试证：1）(,)u x y在00(,)xy的值等于(,)u x y在圆周C上的平均值，即 2000001(,)(cos,sin)2u xyu xryrd=+；2）(,)u x y在00(,)xy的值等于(,)u x y在圆域00|zzr上的平均值，即 02000020001(,)(cos,sin)ru xyu xryrrd drr=+。证明 1）由平均值公式（P86）课后答案网 课后答案网-9-20001()(e)2if zf zRd=+只取其实部有：2000001(,)(cos,sin)2u xyu xryrd=+；2）由 1）知002000000220000011(cos,sin

13、)2(,)(,)rru xryrrd dru xy rdru xyrr+=。33 如果()if zuv=+在区域D内处处解析，C为D内的正向圆周：|zR=，它的内部完全含于D。设z为C内一点，并令2/zRz=?，试证 2()()0CCfzfddzzR=?。证明 因z为C内一点，22|/|/|RzRzRzRRz=?，故()fz?在C及其内部解析。由Cauchy 基本定理知：2()()0CCfzfddzzR=?。34根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 222111()()()()2 i2 i()()CCzRzz ff zfddzRzz Rz=+=?，其中C为|zR=|.证明 由柯西积分公式

14、有：1()()2 iCff zdz=?；而由 33 题结果知2()0CzfdzR=?，故将这两式相减即得。35 如果令iie,eRzr=，验证 222/i.()()()()R2cos()dddz RzzzRrr=+并由 34 题的结果，证明 22i22201()(e)()22cos()Rrf Rf zdRRrr=+.取其实部，得 2222201()(cos,sin)(,)(cos,sin)22cos()Rru RRu x yu rrdRRrr=+这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的值来表示。证明 2iRRRR e=，故22/.()()

15、()()()()dddRz Rzzzzz =又 iidiR e didR e=，22()()2cos()zzRRrr=+，故 课后答案网 课后答案网-10-22/i()()2cos()ddzzRRrr=+。又由 34 题知222i2221()()1()(e)()2 i()()22cos()CCRzz fRrf Rdf zdz RzRRrr=+?。36设()f z在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数.1）试用柯西积分公式证明：1()()2 innCff zdz=?.2）设M为|()|f在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试用积分估值公式（3.1.10）于 1）中的等式，证明不等式：1/|()|2nLf zMd.3）令n +，对 2）中的不等式取极限，证明：|()|f zM。这个结果表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。证明 1）在柯西积分公式中将里面的函数()f z换成()nf z即得。2）由 1）知1()|()|()|22nnnnCfLf zf zdsMzd=?，故 1/1/|()|22nnnLLf zMMdd=。3）对 2）中的不等式取极限（n +），即得。课后答案网 课后答案网