平面问题有限元法.ppt
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1、关于平面问题的有限元法第一张,PPT共五十九页,创作于2022年6月v将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构 将连续体划分为将连续体划分为有限有限多个、有限大小的多个、有限大小的单元单元,并使并使这些单元仅在这些单元仅在节点节点处连结起来,构成所谓处连结起来,构成所谓“离散离散化结构化结构”。3.1 结构的离散化结构的离散化第二张,PPT共五十九页,创作于2022年6月离散化要注意离散化要注意:1.1.单元形状的选择单元形状的选择:平面问题的单元,按其几何平面问题的单元,按其几何特性可分为两类:特性可分为两类:以三节点三角形为基础;以三节点三角形为基础;以任意四边形为基础。以任意四边
2、形为基础。较高精度的三角形等参数单元;较高精度的三角形等参数单元;运用非常广泛的运用非常广泛的四边形等参数单元四边形等参数单元。这两类都可以增加节点也构成一系列单元:这两类都可以增加节点也构成一系列单元:首选三角形单元和等参数单元。首选三角形单元和等参数单元。第三张,PPT共五十九页,创作于2022年6月2.2.对称性的利用对称性的利用 利用结构和载荷的对称性:如结构和载荷都对于某轴对称,可以取一利用结构和载荷的对称性:如结构和载荷都对于某轴对称,可以取一半来分析;若对于半来分析;若对于x x轴和轴和y y轴都对称,可以取四分之一来分析。轴都对称,可以取四分之一来分析。3.3.单元的划分原则单
3、元的划分原则 通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点,支承点都应取为节点与自由边界的分界点,支承点都应取为节点第四张,PPT共五十九页,创作于2022年6月单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化急剧单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化急剧的部位,单元应划分得小些;对于次要和应力变化缓慢的部位,单元可的部位,单元应划分得小些;对于次要和应力变化缓慢的部位,单元可划分得大些;中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。划分得大些;中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。单元的划分原则单元的
4、划分原则 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精度单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精度的前提下,尽可能减少单元数量。的前提下,尽可能减少单元数量。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。第五张,PPT共五十九页,创作于2022年6月单元的划分原则单元的划分原则 根据误差分析,应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比,根据误差分析,应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比,所以单元的边长力求接近相等。即单元的三(四)条边长尽量不要悬所以单元的边长力求接近相等。即单元的三(四)条边长尽量不要悬殊太大。殊
5、太大。第六张,PPT共五十九页,创作于2022年6月4.4.节点的编号节点的编号应尽量使应尽量使同一单元的节点编号相差小些同一单元的节点编号相差小些,以减少整体刚度矩,以减少整体刚度矩阵的半带宽,节约计算机存储。阵的半带宽,节约计算机存储。上图,节点顺短边编号为好。上图,节点顺短边编号为好。第七张,PPT共五十九页,创作于2022年6月3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数三角形常应变单元的位移模式和形函数首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例,介绍有首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例,介绍有限元法。限元法。单元分析的步骤可表示如下:单元分析的步骤可表示如下:节点位移节点位
6、移内部各点内部各点位移位移应变应变应力应力节点力节点力 单元分析单元分析分为四步求出相邻各量之间的转换关系分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来综合起来,得出由节点位得出由节点位移求节点力的转换关系移求节点力的转换关系:单元刚度矩阵单元刚度矩阵位移模式位移模式第八张,PPT共五十九页,创作于2022年6月1.1.位移模式位移模式单元的若干个节点有基本未知量,即单元的若干个节点有基本未知量,即位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式,假定为坐标的简单函单元内任一点的位移表达式,假定为坐标的简单函数。数。反映单元的位移分布形态,是单元内的插值函数。反映单元的位移分布形态,是单元内的插值函数
7、。在节点处等于该节点位移。在节点处等于该节点位移。位移模式可表示为:位移模式可表示为:N N为为形态矩阵形态矩阵(形函数矩阵形函数矩阵)第九张,PPT共五十九页,创作于2022年6月平面问题每个节点位移分量有两个,所以整个单元有平面问题每个节点位移分量有两个,所以整个单元有6 6个节点位个节点位移分量,即移分量,即6 6个自由度。个自由度。单元节点位移列阵单元节点位移列阵:第十张,PPT共五十九页,创作于2022年6月三角形单元有6个自由度,内部任一点的位移是由6个节点位移分量完全确定的,位移模式中应含有6个待定系数,所以位移模式位移模式可取为:位移函数一般用位移函数一般用多项式多项式来构造。
8、来构造。位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式,假定为坐标的简单函数。单元内任一点的位移表达式,假定为坐标的简单函数。反映单元的位移分布形态。反映单元的位移分布形态。第十一张,PPT共五十九页,创作于2022年6月在弹性体内,位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分割成许在弹性体内,位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分割成许多小单元,在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位多小单元,在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移,将各单元连接起来,便可近似表达整个弹性体的真实位移函数。移,将各单元连接起来,便可近似表达整个弹性体的真实位移函数。这种化整为零、化繁为简的方法,
9、正是有限元法的精华。这种化整为零、化繁为简的方法,正是有限元法的精华。第十二张,PPT共五十九页,创作于2022年6月假设节点i,j,m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.2.形函数形函数第十三张,PPT共五十九页,创作于2022年6月联立求解左边3个方程,得:其中A为三角形单元的面积注意注意:为了使得出的面积值不为负值,节点:为了使得出的面积值不为负值,节点i,j,m的次序必须是的次序必须是逆时针。至于将那个节点作为起始点逆时针。至于将那个节点作为起始点i则没有关系。则没有关系。第十四张,PPT共五十九页,创作于2022年6月同理,求解右边的三个方程,得到a4,a5
10、,a6,解得:i,j,m轮换整理后得:第十五张,PPT共五十九页,创作于2022年6月其中Ni,Nj,Nm是坐标的线性函数,反应了单元的位移形态,称为形(状)函数形(状)函数。第十六张,PPT共五十九页,创作于2022年6月写成矩阵形式式中:I 二阶单位阵,N 形函数矩阵第十七张,PPT共五十九页,创作于2022年6月3.3.三角形面积坐标三角形面积坐标定义:定义:在三角形内任一点在三角形内任一点P P,向三个角点,向三个角点(节点)连线,将原三角形分割成三个子(节点)连线,将原三角形分割成三个子三角形,设子三角形的面积分别是:三角形,设子三角形的面积分别是:A Ai i,A Aj j,A A
11、m m,则:,则:即即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比;记为:记为:P P(L Li i,L Lj j,L Lm m)。)。第十八张,PPT共五十九页,创作于2022年6月面积坐标的性质:面积坐标的性质:1.1.L Li i,L Lj j,L Lm m中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。2.2.三角形三个角点处三角形三个角点处3.3.三条边上三条边上i-j:Li-j:Lm m=0 =0 j-m:Lj-m:Li i=0 =0 m-i:Lm-i:Lj j=0 =0 形心处:形心处:推论:三角形内一条平行于三角形任一边的直线上推论:三角形内一条平行
12、于三角形任一边的直线上的各点,具有相同的与该边对应的坐标值。的各点,具有相同的与该边对应的坐标值。第十九张,PPT共五十九页,创作于2022年6月面积坐标与直角坐标的转换:面积坐标与直角坐标的转换:(i,j,m)(i,j,m)因此:即三角形面即三角形面积积坐坐标标就是三角形相就是三角形相应应的形函数。的形函数。第二十张,PPT共五十九页,创作于2022年6月所以,位移模式也可以用面所以,位移模式也可以用面积积坐坐标标表示表示为为:(i,j,m)将面将面积积坐坐标标的表达式:的表达式:写成矩写成矩阵阵形式:形式:求逆得:求逆得:第第1行展开行展开为为面面积积坐坐标标性性质质1,第,第2行和第行和
13、第3行展开即行展开即为为局部的面局部的面积积坐坐标标和整体直和整体直角坐角坐标标的关系:的关系:第二十一张,PPT共五十九页,创作于2022年6月例例 题题下图为一平面应力的直角三角形单元,直角边长均为下图为一平面应力的直角三角形单元,直角边长均为a,a,厚度为厚度为t t,弹性模量为,弹性模量为E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求形函数。求形函数。第二十二张,PPT共五十九页,创作于2022年6月1.1.单元应变单元应变应变矩阵为常量,单元内应变是常数3.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵第二十三张,PPT共五十九页,创作于2022年6月2.2.单元应力单元应力S称为应应力力转换转换矩矩阵阵
14、应用平面应力问题的弹性矩阵:应用平面应力问题的弹性矩阵:第二十四张,PPT共五十九页,创作于2022年6月 应变矩阵为常量,单元内应力也是常数,相邻单元的应变与应力将产生突变,但位移是连续的。第二十五张,PPT共五十九页,创作于2022年6月 能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律,是自然界基本的运动规律之一。,是自然界基本的运动规律之一。实功原理:处于平衡状态的可变形固体,在受外力作用而变形实功原理:处于平衡状态的可变形固体,在受外力作用而变形时外力对其相应的位移所做的功(实功),等于积蓄在物体中时外力对其相应的位移所做的功(实功),等于积蓄在物体中的应变能(实应变能)。的应变能(实应变能)。
15、能量法的优点:与坐标系的选择无关,因而应用极为广泛。能量法的优点:与坐标系的选择无关,因而应用极为广泛。能量法与数学工具能量法与数学工具变分法的结合,导出虚位移(虚功)原理,变分法的结合,导出虚位移(虚功)原理,使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完善。使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完善。3.3.虚位移(功)原理虚位移(功)原理第二十六张,PPT共五十九页,创作于2022年6月单元节点力列阵:单元节点力列阵:单元节点虚位移列阵:单元节点虚位移列阵:节点力在虚位移所做的功:节点力在虚位移所做的功:简写为:简写为:4.4.单元刚度矩阵单元刚度矩阵第二十七张,P
16、PT共五十九页,创作于2022年6月单元虚应变:单元虚应变:单元内应力在虚应变上所做的功(虚应变能):单元内应力在虚应变上所做的功(虚应变能):其中:其中:t t为单元厚度为单元厚度单元应力:单元应力:第二十八张,PPT共五十九页,创作于2022年6月单元刚度矩阵单元刚度矩阵k ke e取决于单元的大小、方向和弹性常数,而与单元的取决于单元的大小、方向和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。位置无关,即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。对于三角形常应变单元:对于三角形常应变单元:单元刚度矩阵为对称矩阵。单元刚度矩阵为对称矩阵。第二十九张,PPT共五十九页,创作于20
17、22年6月例例 题题下图为一平面应力的直角三角形单元,直角下图为一平面应力的直角三角形单元,直角边长均为边长均为a,a,厚度为厚度为t t,弹性模量为,弹性模量为E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求单元刚度矩阵。求单元刚度矩阵。第三十张,PPT共五十九页,创作于2022年6月理论力学中质点、质点系(刚体)的虚位移原理;理论力学中质点、质点系(刚体)的虚位移原理;材料力学中杆件的虚位移原理。材料力学中杆件的虚位移原理。弹性力学中的弹性力学中的虚位移(虚功)原理虚位移(虚功)原理:在外力作用下处于平衡状态的变形体,当给与该物体微小位移时,在外力作用下处于平衡状态的变形体,当给与该物体微小位移
18、时,外力总虚功外力总虚功在数值上在数值上等于变形体的总虚应变能等于变形体的总虚应变能。虚:虚:微小的、任意的、可能的,变分的思路微小的、任意的、可能的,变分的思路实功实功是力在自己产生位移上所做的功,是力在自己产生位移上所做的功,虚功虚功是力在别的(人为的)是力在别的(人为的)因素产生的位移上做的功。所谓因素产生的位移上做的功。所谓”虚虚“并不是虚无,而是可能、虚并不是虚无,而是可能、虚设的意思。设的意思。“虚虚”的表达:的表达:l虚位移(虚功)原理:虚位移(虚功)原理:第三十一张,PPT共五十九页,创作于2022年6月3.4 单元位移函数的选择原则单元位移函数的选择原则三角形常应变单元简单,
19、精度较差,要提高精度:三角形常应变单元简单,精度较差,要提高精度:1.1.增加单元数目和节点数目;增加单元数目和节点数目;2.2.采用更高精度的单元。采用更高精度的单元。FEM中的一系列工作,都是以中的一系列工作,都是以位移模式位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时,即为基础的。所以当单元趋于很小时,即x,y0时,时,为了使为了使FEM之解逼近于真解,即为了保证之解逼近于真解,即为了保证FEM收敛性收敛性,位移模式应满足下列条件:位移模式应满足下列条件:1.位移模式必须能反映单元的反映单元的刚体位移刚体位移。单元位移包含两部分:本单元的形变引起的位移;其他单元的形变引起的位移,即刚体位单元位移
20、包含两部分:本单元的形变引起的位移;其他单元的形变引起的位移,即刚体位移。在位移函数中,移。在位移函数中,常数项即提供刚体位移常数项即提供刚体位移。2.位移模式必须能反映单元的反映单元的常量应变。常量应变。单元应变包含两部分:变量应变和常量应变。位移函数的单元应变包含两部分:变量应变和常量应变。位移函数的一次项提供常量应变一次项提供常量应变。当单元当单元0时,单元中的位移和应变都趋近于基本量时,单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。刚体位移和常量位移。第三十二张,PPT共五十九页,创作于2022年6月3.位移模式应尽可能反映位移的尽可能反映位移的连续性连续性 l 使相邻单元之间的
21、位移保持连续使相邻单元之间的位移保持连续,即受力后,相邻单元在公共边界,即受力后,相邻单元在公共边界上,即既不互相脱离,也不互相嵌入。上,即既不互相脱离,也不互相嵌入。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。l使单元内部的位移保持连续使单元内部的位移保持连续。位移函数。位移函数取坐标的单值连续函数。取坐标的单值连续函数。满足条件满足条件1 1、2 2的单元,称为的单元,称为完备单元完备单元;满足条件;满足条件3 3的单元,称为的单元,称为协协调单元调单元。第三十三张,PPT共五十九页,创作于2022年6月常采用常采用“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”来选取位移模式
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