2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案.pdf

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1、2017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学试题数学试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 7070 分分.请把答案填写在答题卡请把答案填写在答题卡相应位置上相应位置上.A 1,1，B 3,0,1，则集合AB z满足zi 34ii为虚数单位，则z x2y21的渐近线方程为43其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级1800人，被抽取的人数为21，则n 每个面上分别写有数字1，2，3，4先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数

2、字之和等于6的概率为6.如图是一个算法的流程图，则输出S的值是2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为cm3Sn是等差数列an的前n项和，假设a2 a4 2，S2 S41，则a1023a 0，b 0，且ab，则ab的最小值是abtan A3cb，则ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanBbcos Aaex,x 1e是自然对数的底.假设函数y f(x)的最小值是4，则实数a的f(x)4x,x 1x取值范围为ABC中，点P是边AB的中点，已知CP 3，CA 4，ACB CPCA 2，则313.已知直线l：x y 2 0与x轴交于点A，点P在直线l上，圆C：(x2)y 2上有且仅有一

3、个点B满足AB BP，则点P的横坐标的取值集合为14.假设二次函数f(x)ax bxc(a 0)在区间1,2上有两个不同的零点，则取值范围为222f(1)的a二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分分.请在答题卡指定区域请在答题卡指定区域内作答，解答内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a (2sin,1)，b (1,sin().41假设角的终边过点(3,4)，求ab的值；2假设a/b，求锐角的大小.16.如图，正三棱柱ABC A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，

4、点D是棱CC1上靠近C的三等分点.求证：1B1M/平面A1BN；2AD 平面A1BN.3x2y21)，点A是椭圆的下顶点.17.已知椭圆C：221(a b 0)经过点(3,)，(1,2ab21求椭圆C的标准方程；2过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y x分别相交于E，F两点，已知OE OF，求直线l1的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC AB.在OC上有一座欣赏亭Q，其中AQC 2.计划在BC上再建一座欣赏亭P，记3POB(0 2).1当3时，求OPQ的大小；2当OPQ越大，游客在欣赏亭P处的欣赏效果越佳，求游客在欣赏亭P处的欣赏效果最正确时，角的

5、正弦值.19.已知函数f(x)x ax bx c，g(x)ln x.1假设a 0，b 2，且f(x)g(x)恒成立，求实数c的取值范围；2假设b 3，且函数y f(x)在区间(1,1)上是单调递减函数.求实数a的值；当c 2时，求函数h(x)32 f(x),f(x)g(x)的值域.g(x),f(x)g(x)*20.已知Sn是数列an的前n项和，a1 3，且2Sn an13(nN).1求数列an的通项公式；2对于正整数i，j，k(i j k)，已知 aj，6ai，ak成等差数列，求正整数，的值；3设数列bn前n项和是Tn，且满足：对任意的正整数n，都有等式a1bna2bn1a3bn2 anb1

6、3n13n3Tn1的所有正整数n.an32017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学附加题数学附加题21.21.【选做题】在【选做题】在 A A，B B，C C，D D 四小题中只能选做两题，每题四小题中只能选做两题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA DC.

7、1求证：AB 2BC；2假设AB 2，求线段CD的长.B.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵A4012a，列向量.B X 0105b1求矩阵AB；2假设B1A1X ，求a，b的值.C.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P(2 2,点，求圆C的极坐标方程.D.选修 4-5：不等式选讲已知x，y都是正数，且xy 1，求证：(1 x y)(1 y x)9.2251)，圆心为直线sin()3与极轴的交43答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩

8、形，PD垂直于底面ABCD，PD AD 2AB，点Q为线段PA不含端点上一点.1当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；2已知二面角QBDP的正弦值为2PQ，求的值.3PA23.在含有n个元素的集合An1,2,n中，假设这n个元素的一个排列a1，a2，an满足ai i(i 1,2,n)，则称这个排列为集合An的一个错位排列例如：对于集合A31,2,3，排列(2,3,1)是A3的一个错位排列；排列(1,3,2)不是A3的一个错位排列.记集合An的所有错位排列的个数为Dn.1直接写出D1，D2，D3，D4的值；2当n 3时，试用Dn2，Dn1表示Dn，并说明理由；*3试用数学归纳

9、法证明：D2n(nN)为奇数.2017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学试题参考答案数学试题参考答案一、填空题一、填空题1.1 2.5 3.y 33x 4.63 5.2166.25 7.4 31 8.8 9.2 6 10.331311.a e4 12.6 13.,5 14.0,1)二、解答题二、解答题15.解：1由题意sin所以ab 43，cos，552sinsin(a)2sinsincoscossin4444 242323 2.5525222 因为a/b，所以2sinsin(a所以sinsincos1，24即2sin(s

10、incos)1，cossin)1，44则sincos1sin cos，对锐角有cos 0，所以tan1，所以锐角224.16.证明：1连结MN，正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1/CC1且AA1 CC1，则四边形AAC11C是平行四边形，因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN/AA1且MN AA1，又正三棱柱ABC A1B1C1中AA1/BB1且AA1 BB1，所以MN/BB1且MN BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M/BN，又B1M 平面A1BN，BN 平面A1BN，所以B1M/平面A1BN；2正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1平面ABC，BN 平面AB

11、C，所以BN AA1，正ABC中，N是AB的中点，所以BN AC，又AA1、AC 平面AAC11C，AA1AC A，所以BN 平面AAC11C，又AD平面AAC11C，所以AD BN，CD 由题意，AA16，AC 2，AN 1，又A1AN ACD AA1AN6，所以ACCD33，22，所以A1AN与ACD相似，则AA1N CAD，所以ANA1CAD ANA1AA1N 则AD A1N，又BN所以AD 平面A1BN.2，A1N N，BN，A1N 平面A1BN，1 3 111a24b2a2417.解：1由题意得，解得，13111a24b2b2x2 y21；所以椭圆C的标准方程为42由题意知A(0,1

12、)，直线l1，l2的斜率存在且不为零，设直线l1：y k1x1，与直线y x联立方程有y k1x111,)，得E(k11 k11y x设直线l2：y 111x1，同理F(,)，11k11 1k1k1因为OE OF，所以|11|，1k111k1111 0无实数解；，k11k1k111k1111 2，k122k11 0，解得k112，k1k1k1111k1综上可得，直线l1的斜率为12.18.解：1设OPQ，由题，RtOAQ中，OA 3，AQO AQC所以OQ 2，333，在OPQ中，OP 3，POQ 2236，由正弦定理得OQOP，sinOPQsinOQP即335，所以3sinsin()sin(

13、)，sinsin()6661355sin，所以3sin cos，coscossincos22663，得；36则3sin sin因为为锐角，所以cos 0，所以tan2设OPQ，在OPQ中，OP 3，POQ 2236，由正弦定理得OQOP33，即，sinOPQsinOQPsinsin()2所以3sinsin()sin()cos()22 coscossinsin，从而(3 sin)sin coscos，其中3 sin 0，cos 0，所以tancos，3 sin记f()cos13sin，f()，(0,)；223 sin(3 sin)33，存在唯一0(0,)使得sin0，332令f()0，sin当(

14、0,0)时f()0，f()单调增，当(0,所以当0时，f()最大，即tanOPQ最大，又OPQ为锐角，从而OPQ最大，此时sin2)时f()0，f()单调减，3.3答：欣赏效果到达最正确时，的正弦值为3.3319.解：1函数y g(x)的定义域为(0,).当a 0，b 2，f(x)x 2xc，f(x)g(x)恒成立，x 2xc ln x恒成立，即c ln x x 2x.3312x3x3(1 x)(13x3x2)12令(x)ln x x 2x，则(x)3x 2，xxx3令(x)0，得x 1，(x)在(0,1上单调递增，令(x)0，得x 1，(x)在1,)上单调递减，当x 1时，(x)max(1)

15、1.c 1.2当b 3时，f(x)x ax 3xc，f(x)3x 2ax3.由题意，f(x)3x 2ax3 0对x(1,1)恒成立，2322 f(1)32a3 0，a 0，即实数a的值为0.f(1)32a3 0函数y h(x)的定义域为(0,).当a 0，b 3，c 2时，f(x)x 3x2.3f(x)3x23，令f(x)3x23 0，得x 1.x(0,1)-10极小值0(1,)+f(x)f(x)当x(0,1)时，f(x)0，当x 1时，f(x)0，当x(1,)时，f(x)0.对于g(x)ln x，当x(0,1)时，g(x)0，当x 1时，g(x)0，当x(1,)时，g(x)0.当x(0,1)

16、时，h(x)f(x)0，当x 1时，h(x)0，当x(1,)时，h(x)0.故函数y h(x)的值域为0,).*20.解：1由2Sn an13(nN)得2Sn1 an23，两式作差得2an1 an2an1，*即an2 3an1(nN).a1 3，a2 2S13 9，所以an1 3an(nN*)，an 0，则以数列an是首项为3公比为3的等比数列，n*所以an 3(nN)；an1 3(nN*)，所anjki2由题意ajak 26ai，即3 3 263，所以3ji3ki12，其中j i 1，k i 2，所以3ji 3 3，3ki 9 9，12 3ji3ki12，所以j i 1，k i 2，1；n1

17、3由a1bna2bn1a3bn2 anb1 33n3得，a1bn1a2bna3bn1 anb2 an1b1 3n23(n1)3，a1bn13(a1bna2bn1 an1b2 anb1)3n23(n1)3，a1bn13(3n13n3)3n23(n1)3，n2n1所以3bn1 33(n1)33(33n3)，即3bn1 6n3，所以bn1 2n1(nN)，11*又因为a1b1 3313 3，得b11，所以bn 2n1(nN)，*Tnn212n1*2从而Tn135(2n1)n n(nN)，n(nN*)，2an3当n 1时T1T11T4；当n 2时2；当n 3时3；a13a29a33Tn1，an3nn1

18、下面证明：对任意正整数n 3都有n1Tn1Tn1(n1)2an1an3211n23321(n1)23n2)3n1(2n2 2n1)，当n 3时，2n 2n1(1n)n(2n)0，即Tn1Tn 0，an1an所以当n 3时，TnTT1递减，所以对任意正整数n 3都有n3；ana33anTn1的正整数n的值为1和3.an3综上可得，满足等式2017-20182017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研一数学附加题参考答案数学附加题参考答案21.21.【选做题】【选做题】A.选修 4-1：几何证明选讲证明：1连接OD，BD.因为AB是圆O的直径，所以AD

19、B 90，AB 2OB.因为CD是圆O的切线，所以CDO 90，又因为DA DC，所以A C，于是ADB CDO，得到AB CO，所以AO BC，从而AB 2BC.2解：由AB 2及AB 2BC得到CB 1，CA 3.由切割线定理，CD2 CBCA 13 3，所以CD 3.B.选修 4-2：矩阵与变换解：1AB 401248；0105055548528a2由B A X ，解得X AB 15，又因为X b，所以1105 11a 28，b 5.C.选修 4-4：坐标系与参数方程解：在sin(3)3中，令 0，得 2，所以圆C的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C的半径PC(2 2)22222 22c

20、os4 2，于是圆C过极点，所以圆的极坐标方程为 4cos.D.选修 4-5：不等式选讲证明：因为x，y都是正数，所以1 x y 33xy 0，1 y x 33yx 0，2222(1 x y2)(1 y x2)9xy，又因为xy 1，所以(1 x y)(1 y x)9.22【必做题】【必做题】22.解：1 以D为原点，建立如下图空间直角坐标系；设AB t，DA，DC，DP为坐标轴，则D(0,0,0)，A(2t,0,0)，B(2t,t,0)，C(0,t,0)，P(0,0,2t)，Q(t,0,t)；所以CQ (t,t,t)，DB (2t,t,0)，DP (0,0,2t)，DBn1 0设平面PBD的

21、法向量n1(x,y,z)，则，DPn1 0即2txty 02x y 0，解得，所以平面PBD的一个法向量n1(1,2,0)，2tz 0z 0n1CQn1CQcos n1,CQ 153t，55 3t15.5则CQ与平面PBD所成角的正弦值为2由1知平面PBD的一个法向量为n1(1,2,0)，设PQ(0 1)，则PAPQ PA，DQ DP PQ(0,0,2 t)(2t,0,2t)(2t,0,2 t(1)，DQn2 0DB (2t,t,0)，设平面QBD的法向量n2(x,y,z)，则，即DBn2 02tx2t(1)z 0 x(1)z 0，解得，所以平面QBD的一个法向量2txty 02x y 0n2

22、(1,22,)，由题意得1()cos n1,n2232n1n2n1n25(1)5(1)(22)()222，55(1)22(2)()0，所以，即2961053因为0 1，所以2PQ2，则.3PA323.解：1D1 0，D21，D3 2，D4 9，2Dn(n1)(Dn1 Dn2)，理由如下：对An的元素的一个错位排列a1，a2，an，假设a1 k(k 1)，分以下两类：假设ak1，这种排列是n2个元素的错位排列，共有Dn2个；假设ak1，这种错位排列就是将1，2，k 1，k 1，n排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n1个元素的错位排列，共有Dn1个

23、；根据k的不同的取值，由加法原理得到Dn(n1)(Dn1 Dn2)；3根据2的递推关系及1的结论，Dn均为自然数；当n 3，且n为奇数时，n1为偶数，从而Dn(n1)(Dn1 Dn2)为偶数，又D1 0也是偶数，故对任意正奇数n，有Dn均为偶数.下面用数学归纳法证明D2n其中nN为奇数.当n 1时，D21为奇数；假设当n k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n k 1时，*D2(k1)(2k 1)(D2k1 D2k)，注意到D2k1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k1 D2k为奇数，又2k 1为奇数，所以D2(k1)(2k 1)(D2k1 D2k)，即结论对n k 1也成立；根据前面所述，对任意nN，都有D2n为奇数.*