《高等数学》例题解析-第二讲 函数的连续性与导数、微分的概念.pdf

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1、第二讲：函数的极限与洛必达法则 一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1 下列极限正确的（）A sinlim1xxx B sinlimsinxxxxx不存在 C 1lim sin1xxx D limarctan2xx 解：011slim sinlimxttxtx 1inxt 选 C 注：sinlim0;sin11 0lim1sin1 01limarctan,limarctan22xxxxxAxxxBxxDxx 2 下列极限正确的是（）A 10lim0 xxe B 10lim0 xxe C sec0lim(1 cos)xxxe D 1lim(1)xxxe 解：101lim0 xxeee

2、选 A 注：:,:2,:1BCD 3 若，0limxxf x 0limxxg x，则下列正确的是 （）A 0limxxf xg x B 0limxxf xg x C 01lim0 xxf xg x D 0lim0 xxkf xk 解：000limlimxxxxkkf xkf xk 选 D 4 若02lim2xfxx，则0lim3xxfx （）A3 B13 C2 D12 解：002323limlim32xttxxtfxft 0212 1lim233tftt123 选 B 5设 1sin(0)0(0)1sin(0)x xxf xxxa xx且li 0mxf x存在，则=（）aA-1 B0 C1 D

3、2 解：0sinlim1,xxx 201limsinxxaoxa 1a 选 C 6 当时，0 x()11af xx是比x高阶无穷小，则（）A B 1a 0a Ca为任意实数 D1a 解：因为1112aaxx(0 x)又因为()11af xx是比x高阶无穷小，所以12ax是比x高阶无穷小，于是 100112limlim02aaxxxxx，显然要求 10a，即，选 A 1a 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7lim1xxxx 解：原式lim1111lim 11xxxxxeex 82112lim11xxx 解：原式112lim11xxxx 111lim12xx 9 31002132 97l

4、im31xxxx 解：原式392132limlim3131xxxxxx7 328327 10已知216lim1xxaxx存在，则 a 解：因为216lim1xxaxx存在，所以必有 21lim(6)0 xxax，即 7a 111201arcsinlimsinxxxexx 解：11220011sin1,lim0limsin0 xxxxeexx 又00arcsinlimlim1xxxxxx 故 原式=1 12若220ln 1lim0sinnxxxx 且0sinlim01 cosnxxx,则正整数=n 解：222200ln 1limlimsinnnxxxxxxxx 20420,lim02nxnxnx

5、2,4,nn 故3n 三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13求sin32limsin23xxxxx 解：原式=sin32limsin23xxxxx sin31lim0 sin31,lim0 xxxxxx 3 sin21lim0 sin21,lim0 xxxxxx 原式022033 14求01tan1 sinlim1 cosxxxxx 解：原式有理化 0tansinlim(1cos)(1tan1sin)xxxxxxx 0tan(1cos)1lim(1cos)2xxxxx 0tan111limlim222xxxxxx 15求21lim sincosxxxx 解：令1tx，当x 时，0t 原

6、式10lim cossin2tttt 10lim 1cos1sin2tttt 0cos1 sin2lim21ttttee 16求0lncos2limlncos3xxx 解：原式0ln 1cos21limln 1cos31xxx变形 0cos21limcos31xxx等价 2021242lim1932xxx等价 注:原式02sin2cos3limcos23sin3xxxxx 49 17求02limsinxxxeexxx 解：原式0020lim1cosxxxeex 000000limlim2sincosxxxxxxeeeexx f18设x1,01 cos,0 xea xxxx且 0limxf x存

7、在，求的值。a解：10lim0 xxeaeaa 4a 2001cos2limlimxxxxxx0122lim2xxx 22a 19求11 30lim sin3lnxxx 解：这里是型，不能再用100型的那种公式，要利用取自然对数的方法来求解 11 311 311 3000000ln sin30lim ln sin3lnsin3lim1 3ln3cos3sin3lim313limlimsin33sin313lim sin3limlnxlnxlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeee 20求21limln 1xxxx 解：原式201ln 11limtttxtt 20ln 1limt

8、ttt通分 01101lim2ttt0 00111limlim211tttt tt12 四、证明题（共 18 分）21当x 时且 lim0,limxxu xv x,证明 limlim 1xu x v xv xxu xe 证：lim 1v xxu x 1lim 1u x v xu xxu x limxu x v xe证毕 22当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。0 x（1）3tansin02xxxx等价于（2）3tan03xxxx等价于（3）3sin6xxx等价于0 x （4）3arcsin06xxxx等价于 证：30tansin1lim2xxxx 53000tan1coslim2xxxx 2

9、302lim12xxxx 当时，0 x 3tansin2xxx 22003tansec12limlim13xxxxxxx 222200tanlimlim1xxxxxx 当时，0 x 2tan3xxx 03sin3lim16xxxx021coslim12xxx 20212lim112xxx 当时，0 x 31sin:6xxx 03arcsin4lim16xxxx 22002211111limlim11122xx2xxxxx 20212lim1112xxx 当时，0 x 31arcsin6xxx等价于 五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23求2lim 39121xxxx 解：原式2229

10、92lim392xxxxxxx有理化11 221lim392xxxxx1 21221lim3332139xxxx 24 已知22281lim22xxmxxn xn5，求常数的值。,m n解：（1）原极限存在且 22lim220 xxn xn 22lim80,4280 xxmxm 66212,mm（2）22268lim22xxxxn xn 2002646lim2242xxxnn 2125n 102n 答 12n 6,12mn选做题 求1101limxxxxe 解：原式11011lim1xxxxee 110011limlimxxxxxxex eeee 令11ln 11xxxyxe 121ln 111xxxxyxx 121ln 111xxxxxxx 原式20201ln 10 ln 1limlim123xxxxxxxxxxee 201lim232xxxxee