2021年硕士研究生入学考试《高等数学》试题(概率论与数理统计).pdf

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1、共 6页,第 1页机密启用前机密启用前202 1 年硕士研究生入学考试试题202 1 年硕士研究生入学考试试题考试科目：概率论与数理统计考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效考试科目：概率论与数理统计考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效一(12分)设,8.0)(,6.0)(,5.0)(ABPBPAP求)(BAP与)(ABP。二(12分)设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别是 2 份、7 份和 10 份，随机地取一个地区的报名表，再从中先后抽取两份。（1）求先抽到的一份是女生表的概率1p；（2）已知后抽到的一份是男

2、生表，求先抽到的一份是女生表的概率2p。三(12分)设12,是参数的两个独立的无偏估计量，且1的方差是2的方差的倍，试确定常数a及b，使得12ab为参数的无偏估计量，并且在所有这样的线性估计中方差最小。四(18分)设11,nnXXX为来自总体),(2NX的样本(1)n，若11niiXXn，2211()1niiSXXn，试求常数c，使)1(/)(1ntSXXcn；又若9n，且10()0.90P XkSXXkS，求k的值。（已知0.05(8)1.86t）五(18分)设随机变量,X Y相互独立，X在0,1上服从均匀分布，Y服从参数5的指数分布，即Y的分布密度为55,0()0,0yYeyfyy。求：（

3、1）(,)X Y的联合分布密度；（2）设含a的二次方程为220aXaY，试求a有实根的概率（3）求随机变量X与Y之和的分布密度。1共 6页,第 2页六(18分)设总体)4,(NX，1,nXX为来自总体X的一个样本，样本均值为X，问：（1）样本容量n应取多大，才能使)a0.10.95P X；)b2()0.2E X；（2）求1021()45.6iiPXX（已知20.25(1.96)0.9750,(9)11.4）七(18分)设总体X服从参数为的泊松分布，其分布密度为(;),0,1,2,(0)!xef XP Xxxx（1）求参数的极大似然估计量，此估计量是无偏的吗？（2）试证样本方差2S是的无偏估计；

4、（3）对任意的，01，试证2(1)XS也是的无偏估计（其中X为样本均值）。八(18分)设正态总体的方差2为已知，均值只可能取0或10()二值之一，X为总体的容量为n的样本均值。在给定的水平下，检验假设00:H；110:H，犯第二类错误的概率为：01P Xk（1）试证明：10()/Zn，并由此导出关系式10/ZZn及22210()()nZZ（2）又问)a若n固定，当减少时的值怎样变化？)b若n固定，当减少时的值怎样变化？九(12分)证明：如果,X Y相互独立，则22()()()D XYDXDYEXDYEYDX2共 6页,第 3页十(12分)设,A B为两个随机事件，()0,()0P AP B，记10AXA，若 发生，若 不发生，10X，若B发生，若B不发生试证明：如果,X Y不相关，则,X Y相互独立。3