高等数学《概率论与数理统计》线性代数公式大全.pdf

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1、1线性代数公式大全最新修订线性代数公式大全最新修订1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM+=4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD =；将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)n nDD =；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD=；将

2、D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD=；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n ；、上、下三角行列式（=）：主对角元素的乘积；、和 ：副对角元素的乘积(1)2(1)n n ；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB=、(1)m nCAOAA BBOBC=?、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kkkEAS =+，其中kS为k阶主子式；7.证明0A=的方法：、AA=；、反证法；、构造齐次方程组0Ax=，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An ；、证明0 是其

3、特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：0A （是非奇异矩阵）；()r An=（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax=有非零解；nbR ，Axb=总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；12 A的特征值全不为0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：*AAA AA E=无条件恒成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA =*111()()()TTTABB AABB AABB A =4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论

4、，其中均A、B可逆：若12sAAAA =O，则：、12sAAAA=L；、111121sAAAA =O；、111AOAOOBOB =；（主对角分块）、111OAOBBOAO =；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB =；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB =；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn 矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO =；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB=?；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得

5、；、每行首个非0元素必须为 1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EE X?，则A可逆，且1XA =；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B ，即：1(,)(,)cA BE A B ；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb=，如果(,)(,)rA bE x?，则A可逆，且1xA b =；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；23、12n =O ，左乘矩阵A，i 乘A的各行元素；右乘，i 乘A的

6、各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i jE i j =，例如：1111111 =；、倍乘某行或某列，符号()E i k，且11()()E i kE ik =，例如：1111(0)11kkk =；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij kE ijk =，如：11111(0)11kkk =；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)m nr Am n ；、()()Tr Ar A=；、若AB?，则()()r Ar B=；、若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ=；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()

7、()r A r Br A Br Ar B+；（）、()()()r ABr Ar B+；（）、()min(),()r ABr A r B ；（）、如果A是mn 矩阵，B是ns 矩阵，且0AB=，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX=解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn+、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn+；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb 的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC

8、 abC abCa bC bC a b =+=+=LL；注：、()nab+展开后有1n+项；、0(1)(1)!11 2 3!()!+=LL?L?mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：111102 +=+=nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An=；34、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX =；、*1AA A =、1*nAA =8.关于A矩阵秩的描述：、()r An=，A中有n阶子式不为0，1n+阶子式全部为0；（两句话）

9、、()r An ，A中有n阶子式全部为0；、()r An ，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb=，其中A为mn 矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb=有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb=为n元方程；10.线性方程组Axb=的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb+=+=+=LL LLLLLLLLLLL L；、11

10、12111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb =LL MMOMMM L（向量方程，A为mn 矩阵，m个方程，n个未知数）、()1212nnxxaaax =L M（全部按列分块，其中12nbbb =M）；、1122nna xa xa x +=L（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An =（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,m L 构成n m 矩阵12(,)mA=L ；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm L 构成mn 矩阵12TTTmB =M；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应

11、；2.、向量组的线性相关、无关0Ax=有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb=是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB=是否有解；（矩阵方程）3.矩阵m nA 与l nB 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax=和0Bx=同解；(101P例14)4.()()Tr A Ar A=；(101P例15)5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0 =；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；45、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s L 线性相关，则121,ss +L 必线性相关；若12,s L 线性无关，则121,s L 必线性无关；（向

12、量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr 个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B ；（86P定理3）向量组A能由向量组B线性表示AXB=有解；()(,)r Ar A B=（85P定理2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B =（85P定理2推论）8.方阵A可逆 存在有限个初等矩阵1

13、2,lP PPL，使12lAPPP=L；、矩阵行等价：rABPAB=（左乘，P可逆）0Ax=与0Bx=同解、矩阵列等价：cABAQB=（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB=（P、Q可逆）；9.对于矩阵m nA 与l nB ：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax=与0Bx=同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若m ss nm nABC =，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx

14、=的解一定是0ABx=的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx=只有零解0Bx =只有零解；、0Bx=有非零解0ABx =一定存在非零解；12.设向量组12:,n rrBb bb L 可由向量组12:,n ssAa aa L 线性表示为：（110P题19结论）1212(,)(,)rsb bba aaK=LL（BAK=）其中K为sr ，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr=；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr=Q；充分性：反证法）注：当rs=时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵m nA ，存在n mQ ，mAQE=()r Am=、Q的列向量线性无关；（87P）、对矩阵m nA ，存在n mP ，nPAE=()r An=、P的行向量线性无关；14.12,s L 线性相关 存在一组不全为0的数12,sk kkL，使得11220sskkk +=L 成立；（定义）1212(,)0ssxxx =L M 有非零解，即0Ax=有非零解；12(,)srs ；(必要条件)6