2018年圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可).pdf

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1、.椭圆椭圆、双曲线双曲线、抛物线抛物线-经典结论经典结论椭椭圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.x2y2x xy y5.若P0(x0,y0)在椭圆221上,则过P0的椭圆的切线方程是02021.ababx2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦abx xy yP

2、1P2的直线方程是02021.abx2y27.椭圆221 的左右焦 点分别为F1,F2,点 P 为椭圆 上任意 一点abF1PF2,则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2 b2tan2.x2y28.8.椭圆椭圆221a ab b0 0 的焦半径公式：的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|aex0.9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M,A2P 和 A

3、1Q 交于点 N,则 MFNF.x2y211.AB 是 椭 圆221的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦,M(x0,y0)为 AB 的 中 点,则abkOMkABb2x0b2 2,即KAB 2。aa y0 x2y212.若P0(x0,y0)在 椭 圆221内,则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是abx0 xy0yx02y02222.a2babx2y213.若P0(x0,y0)在 椭 圆221内,则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是ab1/12.x2y2x0 xy0y22.a2b2ab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角内角.2

4、.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.内切：P 在右支；外切：P 在左支x2y25.若P0(x0,y0)在双曲线221a0,b0 上,则过P0的双曲线的切线方程是abx0 xy0y21.2abx2y26.若P0(x0,y0)在双曲线221a0,b0 外,则过 Po 作双曲线的两条切线abx xy y切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2的直线方程是02021.abx2y27.双曲线221a0,b

5、o 的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一ab2点F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2 b cot2.x2y28.8.双曲线双曲线221a a0,b0,bo o 的焦半径公式：的焦半径公式：F1(c,0),F2(c,0)ab当当M(x0,y0)在右支上时在右支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当当M(x0,y0)在左支上时在左支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MFNF.10.过

6、双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MFNF.x2y211.AB 是双曲线221a0,b0 的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为 AB 的中abb2x0b2x0点,则KOMKAB2,即KAB2。a y0a y0 x2y212.若P0(x0,y0)在双曲线221a0,b0 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程abx0 xy0yx02y02是2222.abab2/12.x2y213.若P0(x0,y0)在双曲线221a0,b0 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是abx2y2x0

7、 xy0y22.a2b2ab椭圆与双曲线推导的经典结论椭圆与双曲线推导的经典结论椭椭圆圆x2y21.椭圆221abo 的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与 y 轴平行的直线abx2y2交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是221.abx2y22.过椭圆221 上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直abb2x0线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且kBC2常数.a y0 x2y23.若 P 为椭圆221ab0 上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,abPF1F2,PF2F1,则ac tancot.ac22x2y24.设椭圆221ab0 的

8、两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意ab一 点,在 PF1F2中,记F1PF2,PF1F2,F1F2P,则 有sinc e.sinsinax2y25.若椭圆221ab0 的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,则当 0eab2 1时,可在椭圆上求一点P,使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项.x2y26.P 为椭圆221ab0 上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则ab2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.(x x0)2(y y0)21与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是7.椭圆a2b2

9、A2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.3/12.x2y28.已知椭圆221ab0,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP OQ.ab4a2b2111122;2|OP|+|OQ|的最大值为21;3SOPQ的a b2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2最小值是2.a b2x2y29.过椭圆221ab0 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MNab|PF|e.的垂直平分线交 x 轴于 P,则|MN|2x2y210.已知椭圆221 ab0,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分aba2b2a2b2 x0线与 x 轴相交于点P(x0,0),则.aax2y211.设 P

10、点是椭圆221 ab0 上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记ab2b22F1PF2,则|PF1|PF2|.SPF1F2 b tan.1cos2x2y212.设 A、B 是椭圆221 ab0 的长轴两端点,P 是椭圆上的一ab点,PAB,PBA,BPA,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有2ab2|cos|2a2b22cot.|PA|2.tantan1e.SPAB2222a c cosb ax2y213.已知椭圆221 ab0的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的ab直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上,且BC x轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过椭圆

11、焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e.注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的经典结论椭圆与双曲线的经典结论-双曲线双曲线x2y21.双曲线221a0,b0 的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与

12、y 轴平abx2y2行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是221.abx2y22.过双曲线221a0,bo 上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补abb2x0的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且kBC 2常数.a y0 x2y23.若 P 为双曲线221a0,b0 右或左支上除顶点外的任一点,F1,Fab2是 焦 点,PF1F2,PF2F1,则ca tancot 或ca22ca tancot.ca22x2y24.设双曲线221a0,b0 的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点为双ab曲线上任意一点,在 PF1F2中,记F1PF2,PF1

13、F2,F1F2P,则有sinc e.(sinsin)ax2y25.若双曲线221a0,b0 的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,则ab当 1e2 1时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.x2y26.P 为双曲线221a0,b0 上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一ab定点,则|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F25/12.在 y 轴同侧时,等号成立.x2y27.双曲线221a0,b0 与直线Ax By C 0有公共点的充要条件ab22222是A a B b C.x2y28.已知双曲线221ba

14、 0,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,ab且OP OQ.4a2b2111122;12|OP|+|OQ|的最小值为2;3SOPQ的最b a2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2小值是2.2b ax2y29.过双曲线221a0,b0 的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,Nab|PF|e.两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则|MN|2x2y210.已知双曲线221a0,b0,A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直aba2b2a2b2平分线与 x 轴相交于点P(x0,0),则x0或x0.aax2y211.设 P 点是双曲线221a0,b0 上异于实轴端点的任一点,F1

15、、F2为ab2b2其焦点记F1PF2,则|PF1|PF2|.1cosSPF1F2 b2cot.2x2y212.设 A、B 是双曲线221a0,b0 的长轴两端点,P 是双曲线上的一ab点,PAB,PBA,BPA,c、e 分别是双曲线的半焦距离心2ab2|cos|率,则有|PA|2.|a c2cos2|tantan1e.SPAB22a2b22cot.b a2x2y213.已知双曲线221a0,b0 的右准线l与 x 轴相交于点E,过双曲线ab右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上,且BC x轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,

16、与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.6/12.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e.17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线焦点弦性质总结抛物线焦点弦性质总结 3030 条条基础回顾基础回顾1.以 AB 为直径的圆与准线L相切；p22.x1x2;423.y1y2 p;4.ACB 90;5.AFB 90;6.AB x1 x2

17、p 2(x37.p2p;)2sin2112;AFBFP8.A、O、B三点共线；9.B、O、A三点共线；P210.SAOB；2sinS2AOBP()3定值；11.AB2PP；BF；1cos1cos13.BC垂直平分BF；14.AC垂直平分AF；15.CF AB；16.AB 2P；12.AF 17.CC 18.KAB=11AB(AA BB)；22P；y3y19.tan=2p;x2-27/12.20.AB 4 AF BF;21.CF 21AB.222.切线方程y0y mx0 x性质深究一焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处？结论 1 1：交点在准线上先猜后

18、证：当弦AB x轴时,则点 P 的坐标为p,0在准线上2证明:从略结论 2 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点结论 5 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径3、AB 是抛物线y 2pxp0 焦点弦,Q 是 AB 的中点,l是抛物线的准线,AA1 l,BB1 l,过A,B的切线相交于P,PQ与抛物线交于点 M

19、则有结论 6 6PAPB结论 7 7PFAB结论 8 8M平分PQ结论 9 9PA平分A1AB,PB平分B1BA结论 1010FA FB PF结论 1111SPABmin22 p2二非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点,切线交于P点时,也有与上述结论类似结果：结论 1212xpy1y2y y2,yp12p2结论 1313PA平分A1AB,同理PB平分B1BA结论 1414PFA PFB结论 1515点M平分PQ8/12.结论 1616FA FB PF相关考题 1、已知抛物线x 4y的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且AF FB0,过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,1 证明：FM

20、 AB的值；2 设ABM的面积为S,写出S f的表达式,并求S的最小值2、已知抛物线C的方程为x 4y,焦点为F,准线为l,直线m交抛物线于两点A,B；1 过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证：AF DF；2 若直线m过焦点F,分别过点A,B的两条切线相交于点M,求证：AMBM,且点M在直线l上3、对每个正整数n,Anxn,yn是抛物线x 4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于2222另一点Bnsn,tn,1 试证：xnsn 4n1n2 取xn 2,并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点,求证：FC1 FC2 FCn 2n2n11n1抛物线的一个优美性质抛物线的一个优

21、美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象,我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质,作为几何中的圆锥曲线的研究,正是这方面的一个典型代表,作为高中数学中的必修内容,对于培养学生对于数学美的认识,起着相当重要的作用。因此,在研究圆锥曲线的过程中,有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳,并在教学中与学生一起进行一些可行的研究,一方面,作为高考命题也会往这个方向上尝试,另一方面,作为新课程的一个理念,让学生进行一些学有余力的研究,提高学生学习数学的兴趣,提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质,并结合高考

22、的热点题对这一性质作了一些研究。题：抛物线 y2=2pxp0 的准线与 x 轴交于 Q 点,过点 Q 作斜率为 k 的直线 L。则直线 L 与抛物线有且只有一个交点是k=1”的_条件。本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解,要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点,还有当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点,因此,经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。结合抛物线的下面的性质及上题的图形,我们发现了一些共同点。性质 1：已知 AB 是经过抛物线 y2=2px p0 的焦点 F 的弦,则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。yy证明：由

23、图 2 可知,BF=BB1,AF=AA1,2PP1=AA1+BB1。所以 2PP1=AB。B1B其中图 1 是图 2 的一个特例B,即当焦点弦是通径时,图 2 即变成了图 1。这就Q9/12xP1OA1APFxOAF.引导我们思考在图 2 中的两条直线 P1A、P1B 是否也是抛物线的两条切线,这样我们得出了抛物线的一个性质：性质 2：已知AB 是经过抛物线 y2=2pxp0 的焦点 F 的弦,则以 A、B为切点的两条切线的交点 P 落在其准线上。证明：设 Ax1,y1,Bx2,y2,Px,y点 A 在抛物线上：y12=2px11点 B 在抛物线上：y22=2px22过点 A 的切线方程：yy

24、1=px+x13过点 B 的切线方程：yy2=px+x24直线 AB 经过点 F：y1px12y2px225将1 式与2 式分别代入3、4、5 式,得到y12yy1=px+2py1y2=-p22y23yy2=px+2p45t2因为点 P x,y 的坐标满足 3、4,所以 y1、y2可视为是方程 yt=p x+2p的两根,因此由韦达定理可得 y1y2=-p2=2px。即 x=p。2所以点 P 的轨迹为抛物线的准线。从上面的证明中我们可以看出,当 A、B 两点的坐标满足某种条件时,则以 A、B 为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此,我们更进一步地得出了更好的性质：性质 3：已知 A

25、B 是经过抛物线 y2=2px p0 的对称轴 即 x 轴上一定点 P m,0m0 的弦,则以 A、B 为切点的两条切线的交点 Q 的轨迹是一条直线 x=-m。证明：略。对于上述性质的得出,我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法,但如果换一个角度看这个问题,我们也可以得出另一种形式的性质：性质 3：动点 P 在直线 x=-m 上运动,过点 P 作抛物线的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,连结 AB,得到弦 AB,那么弦 AB 过定点m,0。证明：略。根据上面的讨论,我们得到了关于抛物线的一个性质,特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合,在高考题的命题中也常有涉

26、及。例 1：2007XX 高考第 19 题如图,过 C0,cc0 作直线与抛物线 y=x2相交于 A、B 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 y+c=0 交于 P、Q。y1 若OAOB=2,求 c 的值；2 若 P 为线段 AB 的中点,求证：AQ 为抛物线的切线；3 试问2 的逆命题是否成立。10/12PAOQBx.解：1 设 Ax1,y1,Bx2,y2,C0,c点 A 在抛物线上：y1=x121 点 B 在抛物线上：y2=x222直线 AB 经过点 C：y1cy2cx1x23将1 式与2 式分别代入3 式,得到 x1x2=-c,y1y2=c2由OAOB=x1x2+y1

27、y2=2,得 c=2。2P 为线段 AB 的中点,得点 Q 的坐标为由 AQ 的斜率 k1=x1 x22,-cA 的切线的斜率为 k2=2x1。y1c2(x12 x1x2)2x1,过点x1 x2x1 x2x12所以直线 AQ 是抛物线的切线。3 过点 A 的切线方程为 y-y1=2 x1x-x1与直线 y=-c 相交于点 Q,将 y=-c 代入 y-y1=2 x1x-x1,可得-c-x12=2 x1x-x1即 x1x2-x12=2 x1x-x1所以点 Q 的横坐标为x1 x22,即点 P 为线段 AB 的中点。2 的逆命题成立。该题的命题思路就是借助于性质 3 而编制的一道中等难度的题。其中主

28、要运用了切线的斜率,切线的方程的写法,以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。例 2：2006 全国高考卷21 题抛物线 x2=4y 的焦点 F,A、B 是抛物线上两动点,且AF FB,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。（1）证明：FM AB为定值；（2）设ABM 的面积为 S,写出 S=f的表达式,并求出 S 的最小值。解：1 设 Ax1,y1,Bx2,y2,F0,1点 A 在抛物线上：4y1=x121 点 B 在抛物线上：4y2=x222直线 AB 经过点 F：y11y21x1x23得到过点 A 的切线方程：2y-y1=x1x-x14过点 B 的切线方程：

29、2y-y2=x2x-x25由123 得 x1x2=-4,y1y2=1。由4、5 得 M 坐标为所以FM AB=x1 x22x1 x22,-1。x22 x12,-2 x2-x1,y2-y1=2(y2 y1)0。22AF FB,即0-x1,1-y1=x2,y2-1所以-x1=x2,再由 x1x2=-4,得x2x2=4,即 x2=4,则 x1=4,y1=,y2=1。由FM AB=0,2211所以 S=f=AB FM 22x1 x2y1 y211/12 x x 12 422.11=4。当=1 时,ABM 的面积 S 取得最小值。23从上面两例可以看出,高考命题往往借助课本例题中一个典型图形,结合其他知识点进行再创造,即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：例：20XX 全国数学联赛一试 14 题过点0,1 的直线 L 与曲线 C：1y x(x 0)交于两个不同点 M 和 N,求曲线 C 在点 M、N 处的切线的交点的x轨迹。因此在日常教学工作中,我们也应该对课本中的性质定理进行再挖掘,对几何图形的优美性质进行一些研究性的工作,一方面对学生处理新颖题的能力提高有帮助,另一方面对教师的教学研究工作也有促进作用。12/12