高中数学函数解题技巧与方法.pdf

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1、专题专题 1 1函数函数(理科理科)一、考点回忆一、考点回忆1.1.理解函数的概念，了解映射的概念理解函数的概念，了解映射的概念.2.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.5.理解对数的概念，

2、掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫解上下功夫复习函数的性质，可以从复习函数的性质，可以从“数数”和和“形形”两个方面

3、，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以稳固，和证明函数的性质的问题中得以稳固，在求复合函数的单调区间、在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：化具体要求是：1 1 正确理解函数单调性和奇偶性的定义，正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2 2从数形结合的角度认识函数的

4、单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法结求函数最大值和最小值的常用方法3 3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力题的能力这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数 y yf f(

5、x x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制对函数奇偶性定义的理解，对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在不能只停留在 f f(x x)f f(x x)和和 f f(x x)f f(x x)这两个等式上，这两个等式上，要明确对定义要明确对定义域内任意一个域内任意一个 x x，都有，都有 f f(x

6、 x)f f(x x)，f f(x x)f f(x x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数 f f(x x)的图象关于直线的图象关于直线 x xa a 对称的充要条件是对定义域内的任对称的充要条件是对定义域内的任意意 x x，都有，都有 f f(x xa a)f f(a ax x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方这部分的难点

7、是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求法解决问题，是对学生能力的较高要求-1-函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的表达。复习函数图像要注意因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的表达。复习函数图像要注意以下方面。以下方面。1 1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变

8、换法2 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点重点运用描点法作图

9、象应防止描点前的盲目性，也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线运用描点法作图象应防止描点前的盲目性，也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点函数的图象为基础进行变换，以及确定

10、怎样的变换这也是个难点例例 1 1 设设 a a0 0，求函数，求函数f(x)x ln(x a)(x x(0(0，)的单调区间的单调区间分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式f(x)0(递增递增)及及f(x)0(递减递减)。解：解：f(x)12 x1(x 0)x a当当 a a0 0，x x0 0 时时f f (x x)0 0 x x2 2(2(2a a4)4)x xa a2 20 0，f f (x x)0 0 x x2 2(2(2a a4)4)x xa a2 20 0()当当 a a 1 1 时，对所有时，对所有 x x 0 0，有，有x x2 2(2(

11、2a a4)4)x xa a2 20 0，即即 f f (x x)0 0，此时，此时 f f(x x)在在(0(0，)内单调递增内单调递增()当当 a a1 1 时，对时，对 x x1 1，有，有x x2 2(2(2a a4)4)x xa a2 20 0，即即 f f (x x)0 0，此时，此时 f f(x x)在在(0(0，1)1)内单调递增，在内单调递增，在(1(1，)内单调递增内单调递增又知函数又知函数 f f(x x)在在 x x1 1 处连续，因此，函数处连续，因此，函数 f f(x x)在在(0(0，)内单调递增内单调递增()当当 0 0a a1 1 时，令时，令 f f (x

12、x)0 0，即，即x x2 2(2(2a a4)4)x xa a2 20 0，解得解得x 2 a 2 1 a，或，或x 2 a 2 1 a2 a 2 1 a）因此，函数因此，函数 f f(x x)在区间在区间(0，内单调递增，在区间内单调递增，在区间(2 a 2 1 a，内也单调递内也单调递-2-增增令令 f f (x x)0 0，即，即 x x2 2(2(2a a4)4)x xa a2 2 0 0，解得解得：2 a 2 1 a x 2 a 2 1 a2 a 2 1 a）因此，函数因此，函数 f f(x x)在区间在区间(2 a 2 1 a，内单调递减内单调递减点评：本小题主要考查导数的概念和

13、计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力例例 2 2 已已 知知a 0，函函 数数f(x)1 ax2,x(0,)。设设0 x1，记记 曲曲 线线y f(x)在在 点点xaM(x1,f(x1)处的切线为处的切线为l。()求求l的方程；的方程；()设设l与与x轴交点为轴交点为(x2,0)。证明：。证明：1；a11 假设假设x1，则，则x1 x2aa0 x2()分析：欲求切线分析：欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不

14、难发现，问题归结为求曲线曲线y f(x)在点在点M(x1,f(x1)的一阶导数值。的一阶导数值。解：求解：求f(x)的导数：的导数：f(x)1，由此得切线，由此得切线l的方程：的方程：2xy(1 ax11)2(x x1)。x1x()分析：分析：要求要求x2的变化范围，的变化范围，则须找到使则须找到使x2产生变化的原因，产生变化的原因，显然，显然，x2变化的根本原因可归结为变化的根本原因可归结为x1的的变化，因此，找到变化，因此，找到x2与与x1的等量关系式，就成；的等量关系式，就成；欲比较欲比较x2与与x1的大小关系，判断它们的差的符号即的大小关系，判断它们的差的符号即可。可。证：依题意，切线

15、方程中令证：依题意，切线方程中令 y y0 0，x2 x1(1 ax1)x1 x1(2 ax1)，其中0 x1 由由0 x12.a211,x2 x1(2 ax1),有x2 0,及x2 a(x1)2aaa1110 x2,当且仅当x1时，x2.aaa11，因此，x2 x1(2 ax1)x1，且由，x2当x1时，ax11aa1所以x1 x2。a点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。能力。-3-例例 3 3、函数函数 y y1 11的图象是的图象是()x 1解

16、析一：解析一：该题考查对该题考查对 f f(x x)111图象以及对坐标平移公式的理解，图象以及对坐标平移公式的理解，将函数将函数 y y的图形变形到的图形变形到 y y，xxx 111即将前面图形沿即将前面图形沿 x x 轴翻转，再变形到轴翻转，再变形到 y y1 1，从而，从而x 1x 1即向右平移一个单位，再变形到即向右平移一个单位，再变形到 y y得到答案得到答案 B B.解析二：可利用特殊值法，取解析二：可利用特殊值法，取 x x0 0，此时，此时 y y1 1，取，取 x x2 2，此时，此时 yByB.答案：答案：B B点评：点评：1 1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等

17、。、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。2 2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。法将问题复合、化归为所确定的标准模型。考点二：二次函数考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机可

18、以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础是学生进入高校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出因此，从这个意义上说，有关

19、二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例例 设设 二二 次次 函函 数数fx ax bx ca 0，方方 程程f

20、x x 0的的 两两 个个 根根x1,x2满满 足足20 x1 x21.当当x 0,x1时，证明时，证明x fx x1.a分析：在已知方程分析：在已知方程fx x 0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数fx x的的表达式，从而得到函数表达式，从而得到函数f(x)的表达式的表达式.-4-证明：由题意可知证明：由题意可知f(x)x a(x x1)(x x2).0 x x1 x21，aa(x x1)(x x2)0，当当x 0,x1时，时，f(x)x.又又f(x)x1 a(x x1)(x x2)x x1(x x1)(ax ax21)，x

21、x1 0,且ax ax211 ax2 0,f(x)x1，综上可知，所给问题获证综上可知，所给问题获证.点评：此题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式点评：此题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y ax x1x x2.。例例 5 5已知二次函数已知二次函数f(x)ax bx 1(a,b R,a 0)，设方程，设方程f(x)x的两个实数根为的两个实数根为x1和和2x2.(1)(1)如果如果x1 2 x2 4，设函数，设函数f(x)的对称轴为的对称轴为x x0，求证：，求证：x0 1；(2)(2)如果如果x1 2，x2 x1 2，求，求b的取值范围的取值范围.分析：条件分析

22、：条件x1 2 x2 4实际上给出了实际上给出了f(x)x的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化述图像特征去等价转化.解：设解：设g(x)f(x)x ax (b 1)x 1，则，则g(x)0的二根为的二根为x1和和x2.(1)(1)由由a 0及及x1 2 x2 4，可得，可得2g(2)04a 2b1 0，即，即，即，即g(4)016a 4b3 0b333 0,2a4ab3 4 2 0,2a4ab1，所以，所以，x0 1;2ab 1242)，可得可得2a 1(b1)21.(2)(2)由由(x1 x2)(aa1又又x1x2 0，所以

23、，所以x1,x2同号同号.a0 x1 2 x2x2 2 x1 0 x1 2，x2 x1 2等价于等价于或或，222a 1(b 1)12a 1(b 1)1两式相加得两式相加得-5-g(2)0g(2)0即即g(0)0或或g(0)0222a 1(b 1)12a 1(b 1)1解之得解之得b 17或或b.44点评：点评：在处理一元二次方程根的问题时，在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。题的关键。考点三：抽象函数考点三：抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，抽象函数是指没有给出具体的

24、函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困因此理解研究起来比较困难难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那但由于此类试题即能考查函数的概念

25、和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，(一一)函数性质法函数性质法函数的特征是通过其性质函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，

26、抽象函数问题才能转化，化难为易，常用有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有的解题方法有:1:1，利用奇偶性整体思考，利用奇偶性整体思考;2;2，利用单调性等价转化，利用单调性等价转化;3;3，利用周期性回归已知，利用周期性回归已知 4;4;利用对称性数利用对称性数形结合形结合;5;5，借助特殊点，布列方程等，借助特殊点，布列方程等.(二二)特殊化方法特殊化方法1 1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将 x x 换成换成x x 等；等；2 2、在求函数值时

27、，可用特殊值代入；、在求函数值时，可用特殊值代入；3 3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法思路和方法.总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之成效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之成效，真有些山穷水复疑无路，

28、柳暗花明又一村的快感感.例例 6 6、A A 是由定义在是由定义在2,4上且满足如下条件的函数上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意组成的集合：对任意x1,2，都有，都有(2x)(1,2)；存存 在在 常常 数数L(0 L 1)，使使 得得 对对 任任 意意 的的x1,x21,2，都都 有有|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|()设设(x)31 x,x2,4，证明：，证明：(x)A-6-()设设(x)A，如果存在，如果存在x0(1,2)，使得，使得x0(2x0)，那么这样的，那么这样的x0是唯一的是唯一的;()设设(x)A，任取，任取xl(1,2)，令，令xn1(2xn),n 1,

29、2,证明证明:给定正整数给定正整数 k k，对任意的正整数，对任意的正整数 p p，成立不等式成立不等式|xklLk1 xk|x2 x1|1 L3解解：对对任任意意x1,2，(2x)31 2x,x1,2，3(2x)35，133 35 2，所所以以(2x)(1,2)对任意的对任意的x1,x21,2，|(2x1)(2x2)|x1 x2|231 2x1231 2x11 x21 x232，3312x123312x11 x231 x2，所以所以 0 0212x122312x11 x21 x233222，3令令3212x1312x11 x21 x2L，0 L 1，|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|所

30、以所以(x)A(1,2),x0 x0使得使得x0(2x0)，x0(2x0)则则反证法反证法:设存在两个设存在两个x0,x0由由|(2 x0)(2 x0)|L|x0 x0|，得，得|x0 x0|L|x0 x0|，所以，所以L 1，矛盾，故结论，矛盾，故结论成立。成立。/x3 x2(2x2)(2x1)L x2 x1，所以，所以xn1 xn Ln1x2 x1|xkp xk|xkpLk1 xkp1xkp1 xkp2xk1 xk|x2 x1|1 L xkp xkp1 xkp1 xkp2 xk1 xkLkp2x2 x1 Lkp3x2 x1Lk1LK1x2 x1x2 x11 L点评：此题以高等数学知识为背景

31、，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查点评：此题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。了特殊与一般、化归与转化等数学思想。考点四：函数的综合应用考点四：函数的综合应用-7-函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和

32、变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键题的意识是运用函数思想的关键例例 7 7 设函数设函数f(x)tx 2t xt 1(xR R，t 0)()求求f(x)的最小值的最小值h(t)；()假设假设h(t)2t m对对t(

33、0，2)恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围解：解：()22f(x)t(xt)2t3t 1(xR R，t 0)，当当x t时，时，f(x)取最小值取最小值f(t)t3t 1，即即h(t)t t 1()令令g(t)h(t)(2t m)t 3t 1m，由由g(t)3t 3 0得得t 1，t 1(不合题意，舍去不合题意，舍去)当当t变化时变化时g(t)，g(t)的变化情况如下表：的变化情况如下表：233t(0(0，1)1)10极大值极大值(1(1，2)2)g(t)g(t)g(t)在在(0，2)内有最大值内有最大值g(1)1m递增递增递减递减1mh(t)2t m在在(0，2)内恒成立等价

34、于内恒成立等价于g(t)0在在(0，2)内恒成立，内恒成立，即等价于即等价于1m 0，所以所以m的取值范围为的取值范围为m 1点评：此题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题点评：此题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力的能力例例 8 8 甲、乙两地相距甲、乙两地相距 S S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c c 千米时，已知汽车每千米时，已知汽车每小时的运输成本小时的运输成本(以元为单位以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度由可变部

35、分和固定部分组成：可变部分与速度 v v(千米时千米时)的平方成正比，的平方成正比，比例系数为比例系数为 b b；固定部分为；固定部分为 a a 元元.把全程运输成本把全程运输成本 y y(元元)表示为速度表示为速度 v v(千米时千米时)的函数，并指出函数的定义域；的函数，并指出函数的定义域；-8-为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：几个变量分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值小值.解：解：(读题读题)

36、由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，S(建模建模)有有 y y(a abvbv)v2(解题解题)所以全程运输成本所以全程运输成本 y y(元元)表示为速度表示为速度 v v(千米时千米时)的函数关系式是：的函数关系式是：abvbv)，其中函数的定义域是，其中函数的定义域是 v v(0(0，c c.vaab整理函数有整理函数有 y yS S(bvbv)S S(v v)，vvk由函数由函数 y yx x(k k0)0)的单调性而得：的单调性而得：xy yS S(当当aac c 时，则时，则 v v时，时，y y 取最小值；取最小值；bba当当c c

37、时，则时，则 v vc c 时，时，y y 取最小值取最小值.b综上所述，为使全程成本综上所述，为使全程成本 y y 最小，当最小，当应为应为 v vc c.点评：点评：1.1.对于实际应用问题，对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，可以通过建立目标函数，然后运用解然后运用解(证证)不等式的方法求出函数的最大值不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如此题中速度或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如此题中速度 v v 的范围，一旦无视，将出现解答不完整的范围，一旦无视，将出现解答不完整.此此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型种应用问题既属于函数模型，

38、也可属于不等式模型.方法总结与方法总结与 20082008 年高考预测年高考预测(一一)方法总结方法总结本专题主要思想方法：本专题主要思想方法：1.1.数形结合数形结合2.2.分类讨论分类讨论3.3.函数与方程函数与方程(二二)2008)2008 年高考预测年高考预测1.1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.2.2.考查与函数

39、图象有关的试题，要从图中考查与函数图象有关的试题，要从图中(或列表中或列表中)读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对-9-aaac c 时，行驶速度应为时，行驶速度应为 v v；当；当c c 时，行驶速度时，行驶速度bbb称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.3.3.考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需求出反考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一般不需

40、求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.4.4.考查与指数函数和对数函数有关的试题考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决托，结合运算推理来解决.5 5 加强函数思想、加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，善于转化命题，引进变量建立函数，引进变量建立函数，运用变化的运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发

41、展能力.6 6 注意与导数结合考查函数的性质注意与导数结合考查函数的性质.一、强化训练一、强化训练（一）（一）选择题选择题(12(12 个个)y ex1(xR)的反函数是的反函数是()A Ay 1ln x(x 0)B By 1ln x(x 0)C Cy 1ln x(x 0)D Dy 1ln x(x 0)(3a1)x4a,x 1f(x)是是(,)上的减函数，那么上的减函数，那么a的取值范围是的取值范围是logax,x 1(A A)(0,1)(B B)(0,)(C C),)131 17 3(D D),1)173.3.在以下四个函数中，在以下四个函数中，满足性质：满足性质：“对于区间“对于区间(1,

42、2)上的任意上的任意x1,x2(x1 x2)，|f(x1)f(x2)|x2 x1|恒恒成立”的只有成立”的只有(A A)f(x)1x(B B)fx|x|(C C)f(x)2x(D D)f(x)x24.4.已知已知f(x)是周期为是周期为 2 2 的奇函数，当的奇函数，当0 x1时，时，f(x)lgx.设设a f(),b f(),c f(),则则(A A)a bc(B B)b a c(C C)c b a(D D)c a b6532523x2f(x)lg(3x1)的定义域是的定义域是1 xA A.(,)B B.(,1)C C.(,)D D.(,)6 6、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数

43、的是、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A A.y x3,xRB B.y sinx,xRC C.y x,xRD D.y()x,xR13131 13 313y127 7、函数、函数y f(x)的反函数的反函数y f1(x)的图像与的图像与y轴交于点轴交于点P(0,2)(如右图所示如右图所示)，则方程，则方程f(x)0在在1,4上的根是上的根是x A A.4.4B B.3.3C C.2.2D D.1.1-10-421O3y f1(x)x8 8、设、设f(x)是是 R R 上的任意函数，则以下表达正确的选项是上的任意函数，则以下表达正确的选项是(A A)f(x)f(x)是奇函数是奇函数

44、(B B)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(C C)f(x)f(x)是偶函数是偶函数(D D)f(x)f(x)是偶函数是偶函数9 9、已知函数、已知函数y e的图象与函数的图象与函数y fx的图象关于直线的图象关于直线y x对称，则对称，则xA Af2xe(xR)B Bf2xln2 lnx(x 0)2xC Cf2x 2e(xR)D Df2xlnxln2(x 0)xx12e,x2，1010、设、设f(x)则f(f(2)的值为2log3(x 1)，x 2.(A A)0)0(B B)1)1(C C)2)2(D D)3)31111、对、对 a a，b bR R，记，记 maxmax a a，b b(A

45、 A)0)0(B B)a,a b，函数，函数 f f(x x)maxmax|x x1|1|，|x x2|(2|(x xR R)的最小值是的最小值是b,ab13(C C)(D D)3)3221212、关于、关于x的方程的方程(x21)2 x21 k 0，给出以下四个命题：，给出以下四个命题：存在实数存在实数k，使得方程恰有，使得方程恰有 2 2 个不同的实根；个不同的实根；存在实数存在实数k，使得方程恰有，使得方程恰有 4 4 个不同的实根；个不同的实根；存在实数存在实数k，使得方程恰有，使得方程恰有 5 5 个不同的实根；个不同的实根；存在实数存在实数k，使得方程恰有，使得方程恰有 8 8 个

46、不同的实根；个不同的实根；其中假其中假命题的个数是命题的个数是A A0 0B B1 1C C2 2D D3 3（二）（二）填空题填空题(4(4 个个)fx对于任意实数对于任意实数x满足条件满足条件fx21，假设，假设f1 5,则则ff5_。fxex,x 0.12 2 设设g(x)则则g(g()_2lnx,x 0.fx a 1,，假设，假设fx为奇函数，则为奇函数，则a _。x2 124.4.设设a 0,a 1，函函 数数f(x)loga(x 2x3)有有 最最 小小 值值，则则 不不 等等 式式loga(x1)0的的 解解 集集为为。（三）（三）解答题解答题(6(6 个个)-11-1.1.设函

47、数设函数f(x)x2 4x 5.(1)(1)在区间在区间 2,6上画出函数上画出函数f(x)的图像；的图像；(2)(2)设集合设集合A x f(x)5,证明；证明；(3)(3)当当k 2时，求证：在区间时，求证：在区间1,5上，上，y kx3k的图像位于函数的图像位于函数f(x)图像的上方图像的上方.2 2、设、设 f(x)f(x)3ax3ax2bx c.若a bc 0，f f(0)(0)0 0，f f(1)(1)0 0，求证：，求证：()a a0 0 且且2 2bB (,20,46,).试判断集合试判断集合A和和B之间的关系，之间的关系，并给出并给出a1 1；b()方程方程 f f(x x)

48、0 0 在在(0(0，1)1)内有两个实根内有两个实根.2xb3.3.已知定义域为已知定义域为R的函数的函数f(x)x1是奇函数。是奇函数。2a()求求a,b的值；的值；()假设对任意的假设对任意的tR，不等式，不等式f(t 2t)f(2t k)0恒成立，求恒成立，求k的取值范围；的取值范围；22c2,其中其中 a a 为实数为实数.f f(x x)2x ax a()假设假设 f f(x x)的定义域为的定义域为 R R，求，求 a a 的取值范围的取值范围;()当当 f f(x x)的定义域为的定义域为 R R 时，求时，求 f f(x x)的单减区间的单减区间.5.5.已知定义在正实数集上

49、的函数已知定义在正实数集上的函数f(x)12x 2ax，g(x)3a2ln xb，其中，其中a 0设两曲线设两曲线2y f(x)，y g(x)有公共点，且在该点处的切线相同有公共点，且在该点处的切线相同(I I)用用a表示表示b，并求，并求b的最大值；的最大值；(II II)求证：求证：f(x)g(x)(x 0)6.6.已知函数已知函数f(x)x2 x1，,是方程是方程 f f(x x)0 0 的两个根的两个根()，f(x)是是 f f(x x)的导数；设的导数；设a11，an1 anf(an)(n n1 1，2 2，)f(an)(1)(1)求求,的值；的值；(2)(2)证明：对任意的正整数证

50、明：对任意的正整数 n n，都有，都有ana a；(3)(3)记记bn lnan(n n1 1，2 2，)，求数列，求数列 b bn n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n。ana（四）（四）创新试题创新试题-12-1.1.以下列图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口以下列图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数的机动车辆数如下列图，图中如下列图，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数的机动车辆数(假设：单位时假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出