《高等数学》精品习题答案总汇.pdf

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1、第 1 页 共 112 页第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续一、一、函数函数1.B解析：选项 A、D 中两个函数的定义域均不同,选项 C 中两个函数的对应法则不同，只有选项 B 正确。xxxxxxf234|)(xxxxg2)(2.C解析：两个函数相同必须定义域和对应法则相同，要使二者都相同，只需0 x3.A解析：令，可得，即，可见答案 A 正确。1 xt)1()(tttf)1()(xxxf4.D解析：由函数和的关系验证可知 A，C 为偶函数，B 为非奇非偶函数，D 为)(xf)(xf 奇函数5.A解析：因为，易知最小正周期为，可见选项 A 正确。)3sin(2cos3sinxxxy26

2、.D解析：结合正弦函数的图像，易知的最小正周期为。|sin|xy 7.B解析：验证可知，可见是奇函数。)()(xfxfxxxysincos8.B解析：，可见函数是奇函数。)(sin)()sin()()(xfxeexeexfxxxx)(xf9.1),1sin(1,)1()1(2xxxxxf解析：据已知可得，即01),1sin(01,)1()1(2xxxxxf1),1sin(1,)1()1(2xxxxxf10.4,0解析：解不等式组得004xx40 x11.)10,0(第 2 页 共 112 页解析：解不等式组00lg1xx1000lg10lgxxx12.)3,4解析：分段函数的定义域将各段并起来

3、.13.2)(xxf解析：，所以当时，0,0,0)(),(0)(),()(222xxxxxxxxxf0 x2)(xxf14.xxf4)(解析：xxxxxf42)2()()(22215.（）2935xy03x解析：反解出，然后将与互换并写出定义域即可。x2935yxyx16.（）xycos31 x0解析：反解出，然后将与互换并写出定义域即可。xyxcos31yx17.（）)11lg(xy10 x解析：反解出，然后将与互换并写出定义域即可。x)11lg(yxyx二、数列极限和函数极限二、数列极限和函数极限（1 1）抓大头准则）抓大头准则1.2.xxxxx423512lim1242lim223xxx

4、xx 015121lim342xxxxx323121412limxxxxxx3.4.532)32()25()1(limxxxx23)1(1)2(limxxxx 32)3225()321(limxxxxx233)11(1)21(limxxxx 32)3225()3211(limxxxxx1第 3 页 共 112 页5325 5.6.3234)13(limxxxxx11lim4232nnnn 3432332411311lim13limxxxxxxxxxx1)1(lim423422nnnn （2 2）分子分母同乘以共轭式求极限）分子分母同乘以共轭式求极限 1.2.)1(limnnnn41221lim

5、5xxxx nnnnnn1111lim1lim)21)(5()412)(5(lim5xxxxxx 212321412lim5xxxx 3.4.38231limxxx)11(lim22xxxxx )31)(8()24)(8(lim32318xxxxxx112lim22xxxxxx 231)24(lim32318xxxx11111112lim22xxxxx（3 3）计算前）计算前 n n 项和后求极限项和后求极限 1.2.)44241(lim222nnnnn)2141211(limnn 421lim2nnn2)222(lim211211lim11nnnn 218211lim)4(2)1(lim22

6、nnnnnnn23.321132112111 limnn第 4 页 共 112 页)1(2432322212limnnn111413131212111lim2nnn2)111(lim2nn（4 4）通分或因式分解后求极限）通分或因式分解后求极限 1.2.1331lim2331xxxxx)1211(lim21xxx 321)1()1)(1(limxxxxx)1(1lim11lim121xxxxx 221)1(1limxxxx21 3.4.)9631(lim9xxx)8121(lim38xxx )3)(9(9lim93lim99xxxxxxx832lim31328xxxx 6131lim9xx（5

7、 5）重要极限）重要极限 1sinlim0 xxx 1.2.332sinlimxxxxxxxxsinsinlim0 22212sinlim33xxx0sin1sin1lim0 xxxxx 3.4.212sinlimxxxxxxxx4sin3553lim2 2222122112sinlimxxxxxxxxxxxxx4414sin3553lim22 212lim22xxx5123553lim422xxxx第 5 页 共 112 页（6 6）重要极限）重要极限或或exxx)11(limexxx10)1(lim 1.2.xxxx)11(limxxx2cot20)tan21(lim xxxx)121(l

8、imxxx2tan120)tan21(lim 1221)121(limxxxxx2tan21202)tan21(limxxx 2 e2e 3.4.xxx3)21ln(lim0ln)2ln(limnnnn 2210)21ln(lim31xxxnnnnnnn)21ln(lim2lnlim 32ln312e2ln)21ln(lim222ennn（7 7）夹逼准则）夹逼准则 1.)2211(lim222nnnnnnnnn记，nnnnnnnnxn2222211，)2(2)1(212222nnnnnnnnnnnnnnyn)1(2)1(112112222nnnnnnnnnnnzn所以，且，nnnzxy21)

9、2(2)1(limlim2nnnnynnn21)1(2)1(limlim2nnnnznnn所以由夹逼准则可知，212211limlim222nnnnnnnnxnnn 2.)41241141(lim222nnnnn第 6 页 共 112 页记，nnnnxn22241241141，nnnnnnnnnyn22224414141141411411412222nnnnnzn所以，且，nnnzxy214limlim2nnnynnn2114limlim2nnznnn所以由夹逼准则可知，nnxlim21)41241141(lim222nnnnn（8 8）有界函数乘以无穷小量）有界函数乘以无穷小量 1.2.xx

10、x1arctanlim20 xxx21sin)2(lim2 当时，函数是有界量 当时，函数是有界量0 xx1arctan2xx21sin 函数是无穷小量，函数是无穷小量，所以2xx2 所以 01arctanlim20 xxx021sin)2(lim2xxx 3.4.xxxcoslim021lim1)211(limnnnn 当时，函数是有界量 所以当时，函数是无穷小量0 xxcosnn1n211 函数是无穷小量，而是有界函数,所以x12cosn 所以 0coslimxxx0cos)211(lim2nnn5.xarcxx1cotlim20 当时，函数是有界量，函数是无穷小量，所以.0 xxarc1

11、cot2x01cotlim20 xarcxx（9 9）等价无穷小量代换）等价无穷小量代换 1.2.xxxxxsintan)cos1(lim01cos1lim20 xexx第 7 页 共 112 页 xxxxsintanlim2130221lim220 xxx )cos1(tanlim2130 xxxx 1cos1lim2120 xxx 3.4.)1ln(2)cos(sin1lim20 xxx)1ln(lim2cos0 xxeexxxx 412sinlim21220 xxx3cos0)1(limxeexxxxx 30coslimxxxxx 21cos1lim20 xxx 5.6.3232443a

12、rcsin)21ln(limxxxxxxx)2cos1(2lim0 32324432limxxxxxxx2022limxxx|2lim0 所以，32322231lim4432limxxxxxx2|2lim0 xxx2|2lim0 xxx 所以不存在21xxx)2cos1(2lim0*（1010）单调有界准则）单调有界准则1.设，试证数列极限存在，并求101xnnxx61),2,1(nnxnnxlim证明：，101xnnxx61,以此类推，由数学归纳法可得1121066xxx，即数列单调递减。又且，nxxxx321nx3101x，同理由数学归纳法可得数列有下界 3336612xxnx第 8 页

13、共 112 页因此，由单调有界准则知，数列必有极限。不妨设，nxaxnnlim则由可知，解得或（舍去）nnnnxx6limlim1aa63a2a所以3limnnx2.已知，证明数列的极限存在，并求)3(1nnnxxx),2,1(nnxnnxlim证明：由可知，因此数列是有界数列。0)3(n nx x30nxnx又且，)3(23)3(21nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx而二次函数，)23()(tttf30 t1）当，即时，所以230 t230nx0)(tf0)3()23(1nnnnnnnxxxxxxx即数列单调递增，且有上界，因此，由单调有界准则知，数列必有极限。不nx23nx妨设，则由

14、可知，解得或axnnlim)3(limlim1nnnnnxxx)3(aaa23a（舍去），所以.0a23limnnx2）当，即时，所以323 t323nx0)(tf0)3()23(1nnnnnnnxxxxxxx即数列单调递减，且有下界，因此，由单调有界准则知，数列必有极限。不nx23nx妨设，则由可知，解得或axnnlim)3(limlim1nnnnnxxx)3(aaa23a（舍去）所以，综合 1）2）可知，.0a23limnnx23limnnx三、三、连续连续（1 1）函数在一点处的连续性）函数在一点处的连续性 1.),2)1,(解析：此函数在其定义域内处处连续，故只需要求定义域即可。2.2

15、a 解析：由函数在处连续的定义可得0 x)0()(lim)(lim00fxfxfxx2a 3.),0(a第 9 页 共 112 页 解析：由函数在处右连续知，而，1x)1()(lim1fxfx)1(011cos)1(lim1fxxax 故必须有.0a 4.9 解析：由函数的连续性可知，)(xf9)2(3)2sin(lim3)2sin(3sinlim00fxxfxxfxxxx 5.问、为何值时，函数在点和处均连续ab4,42,2,)(2xxxbaxxexfx2x4x 解：，222lim)(limeexfxxxbabaxxfxx2)(lim)(lim22 因为函数在处连续，因此)(xf2x)(li

16、m2xfx)2()(lim2fxfx 即 22eba，babaxxfxx4)(lim)(lim4416lim)(lim244xxfxx 因为函数在处连续，因此)(xf4x)(lim4xfx)4()(lim4fxfx 即 164ba 由解得，2218ea1622 eb（2 2）函数在一点处的间断函数在一点处的间断 1.设，求函数的间断点，并说明间断点所属类型01),1ln(0,)(11xxxexfx)(xf 解：因为，0)1ln(lim)(lim00 xxfxx11100lim)(limeexfxxx 所以，是函数的第一类跳跃间断点。)(lim)(lim00 xfxfxx0 x)(xf 又因，0

17、lim)(lim1111xxxexf1111lim)(limxxxexf 所以不存在，是函数的第二类无穷间断点)(lim1xfx1x)(xf 2.设函数，求它的间断点并说明所属类型.23|ln)(2xxxxf 解：，都是间断点，由于，0 x1x2x23|lnlim)(lim200 xxxxfxx，所以和都是函数)1)(2(|lnlim23|lnlim)(lim2222xxxxxxxfxxx0 x2x)(xf第 10 页 共 112 页 的第二类无穷间断点。又因，而函数1321lim23lnlim)(lim1211xxxxxxfxxx在)(xf处无定义，所以是函数的第一类可去间断点。1x1x)(

18、xf3.讨论函数的间断点，并指明属于哪一种类型.xxf1sin11)(解：显然是间断点，再由可知（）0 x11sinxkx221Zk 即，故和（）是间断点)14(2kxZk 0 x)14(2kxZk 又因不存在，所以是函数的振荡间断点。xxfxx1sin11lim)(lim000 x)(xf而，所以（）是函数xxfkxkx1sin11lim)(lim)14(2)14(2)14(2kxZk 的无穷间断点。)(xf（3）闭区间上连续函数的性质）闭区间上连续函数的性质 1.D 解析：由已知条件可知函数在上满足零点定理的条件，即选项 C 正确。再)(xf,ba 由和的导数定义及函数极限的保号性可知，选

19、项 A 和 B 正确，选项 D 错误。)(af)(bf 2.证明方程恰有三个实根。0193 xx 证明：令，19)(3xxxfRx 所以函数处处连续，且，)(xf01)0(f011)2(f0)2(f0)4(f，所以在闭区间，上都满足零点定理的条件，所0)4(f)(xf2,40,22,0以 分别至少存在，和，使得，)2,4(1)0,2(2)4,0(30)(1f0)(2f第 11 页 共 112 页，又且函数是三次函数，所以方程恰有三个0)(3f19)(3xxxf0193 xx实根。3.设函数在闭区间上连续，且恒为正。证明：对于任意，且)(xf,ba21xx ，必存在一点，使得.),(,21bax

20、x,21xx)()()(21xfxff 证明：函数在闭区间上连续，且恒为正，)(xf,ba 令，任取，且，)(ln)(xfxF,1bax,2bax 21xx,21xxx 在闭区间上连续，所以在闭区间上必有最大)(xF,21xxx)(xF,21xxx 值和最小值，即，MmMxFm)(1MxFm)(2，所以由介值定理可知，至少存在一点，使得MxFxFm2)()(21,21xx，所以，即2)()()(21xFxFF)(ln)(ln21)(ln21xfxff。)()()(21xfxff 4.证明：方程在内必有唯一实根，并求121xxxxnn)1,0(nx.),4,3,2(limnxnn 证明：令，（）

21、1)(21xxxxxfnn 1,0 x4,3,2n 所以函数在闭区间上连续，又且，)(xf 1,0 x01)0(f01)1(nf 所以由零点定理可知，至少存在一点使得)1,0(0)(f 即方程在内至少有一个实根。121xxxxnn)1,0(又因，所以函数在上严格单012)1()(21xxnnxxfnn)(xf 1,0 x 调递增。所以方程在内必有唯一实根.121xxxxnn)1,0(nx 所以011)(1 1)()()()(21nnnnnnnnnnnxxxxxxxxf 所以（因，）11)(1 limnnnnnxxx0)(lim2nnx10nx第 12 页 共 112 页 所以，即.11nnxx

22、21nx单元测试题单元测试题1.A解析：对于选项 A，数列是一摆动数列，可以找到它的奇子列为常数列，偶子列nu0为常数列，所以发散，易知选项 B，C，D 都收敛。12.D解析：由数列收敛与其子列收敛的关系可知，选项 D 正确。3.A解析：由函数在点处极限存在的定义和充要条件可知选项 A 正确。)(xf0 x4.D解析：由易知，选项 D 正确。1121lim220 xxx5.C解析：由有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量可知，选项 C 正确。6.D解析：由，可见为偶函)()()()()(xfeexeexeexxfxxxxxx)(xf数，选项 D 正确。7.D解析：因为存在推不出和都存在，因此，也)(

23、)(limxxgx)(limxgx)(limxx)(limxfx不一定存在，或者可以举反例，如，1)(2xxf2)(2xxg2)(xx，但不存在；对于存在的情况，容易举例，只要0)()(limxxgx)(limxfx)(limxfx满足夹逼准则即可，所以正确答案选 D.8.B解析：因为xxxxxxxxxxxxxx)1ln(lim)1ln(lim)1ln()1ln(lim11lnlim0000，因此，选项 B 正确。1)1(limlimlim000 xxxxxxxx9.A第 13 页 共 112 页解析：由重要极限和可知选项 B，C,D 都错误；对于选项exxx10)1(limexxx)11(l

24、imA，)11ln(0)11ln(00limlim)11(limxxxxxxxeexx且0111lim1)1(111lim1)11ln(lim)11ln(lim022000 xxxxxxxxxxxx所以，故选项 A 正确。1limlim)11(lim0)11ln(0)11ln(00eeexxxxxxxxx10.C 解析：由，由零点定理，并结合函数011)4(f05)1(f011)5(f单调性可知，方程在内有两个不同的实根，可见选项 C 正确。0)(xf)0,(11.B解析：由已知条件可知，函数在闭区间上恒大于零，即选项 B 正确。反正法，)(xf,ba假设存在，使得，则由零点定理可得有零点，这

25、与已知条件,0bax 0)(0 xf)(xf（无零点）矛盾。12.B解析：因为，21321lim)(lim1100 xxxxeexf313211lim321lim)(lim1101100 xxxxxxxeeeexf可见是函数的跳跃间断点，即选项 B 正确。0 x)(xf13.C解析：因为，故答案 C 正)(|sin|cos|)2cos(|)2sin(|)2(xfxxxxxf确。14.A解析：利用重要极限可知，和；可见选项 B 和 C1sinlim0 xxx111sinlim1sinlimxxxxxx第 14 页 共 112 页错误，由无穷小量乘以有界函数仍为无穷小量可知，故01sinlim0

26、xxx0sinlimxxx选项 A 正确，D 错误。15.D解析：由条件易知，即不存在，而不一定存在，可nnncblim0limnnnbannncalim见选项 D 正确。16.D解析：由于不存在，但是当时，函数是有界量，因xxx1sin1lim200 x21xx1sin此函数是无界的，但不是无穷大量，选项 D 正确。xx1sin1217.B解析：由数列收敛与子列的关系易知 A，C 中不存在，对于选项 D 可知nnulim，即数列发散，因此选项 B 正确。（）)1(limnnnnu11limnnn18.A解析：，即极限存1)1(lim)(lim100 xxxexf1)1sin1(lim)(li

27、m00 xxxfxx)(lim0 xfx在，但，因此可知是函数的可去间断点。)0()(lim0fxfx0 x)(xf19.)1arcsin()(2xx2,2x解析：，结合反函数存在条件可知，21)(sin)(xxxf)1arcsin()(2xx2,2x20.1x解析：当时，当时，1|xxxxxfnn111lim)(21|x011lim)(2nnxxxf，即，1)1(f0)1(f1,01,11|,01|,1)(xxxxxxf2)1(lim)(lim11xxfxx，所以是函数的间断点；而00lim)(lim11xxxf1x)(lim00lim)(lim111xfxfxxx，所以函数在处连续，是连续

28、点。)1(0)1(lim1fxx)(xf1x1x21.b第 15 页 共 112 页解析：当时，则，再由夹逼准则可知ba 0nnnnbbab2bbabnnnn2bbannnnlim22.1x解析：由于，故是函数的)1(|lim)1(|lim)(lim12211xxxxxxxxfxxx1x)(xf第二类间断点。23.3lna解析：，解得。9)21(lim)(lim222aaxaxaaxxxxeaxaaxax3lna24.0a解析：，由函数在axaxfxx)8(lim)(lim20001coslim)(lim200 xxxfxx)(xf处连续可知，即。0 x)(lim0 xfxafxfx)0()(

29、lim00a25.2lna解析：，解得。8)31(lim)2(lim333aaxaxaaxxxxeaxaaxax2lna26.，2a0b解析：由渐近线定义可知，21414lim222xxxxax02141lim)214(lim22xxxxbxx27.0 x解析：先求函数的表达式，可见是)(xfxnxxnnxxnxfnn11)11(lim1)1(lim)(220 x函数的间断点。)(xf28.，1a1b解析：由渐近线定义可知，1)1(lim2xxxax11lim)1(lim2xxxxxbxx29.31a第 16 页 共 112 页解析：，所以.132123limcos11)1(lim)()(li

30、m22023200axaxxaxxxxxx31a30.112111limxxexx，而，所以不存111)1(limxxex0)1(lim111xxex111)1(limxxex111)1(limxxex在，即不存在112111limxxexx31.210)sin(limxxxx，32sinsin010)sin1(lim)1sin1(limxxxxxxxxxxxxxx而，因此6131coslimsinlim2030 xxxxxxx61102)sin(lim exxxx32.132lim2xxxx因为，1)1(32lim132lim222xxxxxxxx，因此，不存在。1)1(32lim132li

31、m222xxxxxxxx132lim2xxxx33.xxxxxcossin1lim0 xxxxxxxxxxxxxxxxxx)sin(sinlim21sinsinlim21)cossin1(cossin1lim020200)sin(lim210 xxx34.xxxx2sin3553lim2563553lim22212sin3553lim2222xxxxxxxxxx第 17 页 共 112 页35.)1(2121(limnnnnnnnnnnnnnnnnnnn22222lim21)(lim21)2)1(2)1(lim2111112lim21nnn36.，试确定，的值0)743(lim2baxxxxa

32、bbaxxxbxabxabaxxxxx7437)24()3(lim)743(lim22222（必须）baxxxbxabx7437)24(lim2232a，故，0324743)7()24(lim22aabxbaxxxbabx024ab3a32b或者也可以用渐近线的定义计算方法更简便，同样可得，3743lim2xxxaxxxxxxxxbxx374374lim)3743(lim2232324374374lim2xxxx37.xxxxxxtan2cossin1lim0220220202sinsinlim21)2cossin1(2cossin1lim2cossin1limxxxxxxxxxxxxxxxx

33、xx25)1cos4(lim21sincos4lim21sin)sincos4(lim212020220 xxxxxxxxxxxxx38.xxxx)121(lim2第 18 页 共 112 页，而xxxx)121(lim2xxxxxxx212122)211(lim221limxxx 故22)121(limexxxx39.2)1cos2(sinlim2xxxx221202)cos2(sinlim1)1cos2(sinlimttxxttxtxx，而22222coscos2coscos120120)2coscos1(lim)cos2(sinlimttttttttttttttttttttt22cos2

34、sin4sinlim2coscoslim02202742122cos2sinlim4sinlim2100ttttttt所以2722)1cos2(sinlimexxxx40.求函数的表达式1lim)(212nnnxxxxf当时，所以；1|x0lim2nnxxxxxxfnnn1lim)(212当时，；1|xxxxxxxxxfnnnnnn1111lim1lim)(122212当时，；当时，1x0)1(f1x0)1(f所以1,01|,1|,)(xxxxxxf41.已知，试确定，的值。4313)(lim1xxbxbaxab由得 0)(lim1bxbax02 ba第 19 页 共 112 页所以4)(21

35、)(lim2)1(2)313()(lim11baxbxbaxxxbxbaxx即 2ba由 和解得，4a2b42.已知函数，求)(2|)(Rxxxxf00)(2xxxxxg)(xgf0,0,2|2|)(|)()(2xxxxxxgxgxgf0,0,0)(2xxxxgf43.当时，与是等价无穷小量，求常数0 x2)(kxx xxxxcosarcsin1)(k)cosarcsin1(cosarcsin1limcosarcsin1lim)()(lim20200 xxxkxxxxkxxxxxxxxxarcsinlimcos1lim21cosarcsin1lim2102020 xxxxkxxxxkxxx,故

36、arcsinlim21lim210220 xxxxkxx143k43k44.已知函数为连续函数，试确定，1lim)(2212nnnxbxaxxxfab当时，所以；1|x0lim2nnxbxaxxbxaxxxfnnn222121lim)(当时，；1|x1lim)(2212nnnxbxaxxxfxxxbxaxnnnn1111lim21222当时，；当时，所以1x21)1(baf1x21)1(baf第 20 页 共 112 页1,211,211|,11|,)(2xbaxbaxxxbxaxxf又因函数处处连续，所以，)(xf)1()(lim)(lim211fbabxaxxfxx，因此，即 )1(11l

37、im)(lim11fxxfxx121baba1ba同理，因此)1(11lim)(lim11fxxfxx)1()(lim)(lim211fbabxaxxfxx，即 121baba1ba由解得，0a1b45.设在上连续，在内可导，且，又。证明：)(xf),0),0(0)(kxf0)0(f方程在内必有唯一实根。0)(xf),0(证明：在上连续，在内可导)(xf),0),0(所以，在上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点)(xf,0a),0(a)0(a使得affaf)()0()(又因，所以，且0)(kxfkaaf)(0ka所以取，则有，即0)0(kfakakafafaf)0()()(0)(af另外

38、由可知在上连续且，又，)(xf,0a0)0(f0)(af所以由零点定理知，方程在内至少有一个实根，0)(xf),0(a又因，所以在上单调递减0)(kxf)(xf,0a所以方程在内有唯一实根。0)(xf),0(46.设有三次方程，其中，均为实数，且，。023)(3baxxxfab0a32ab 讨论方程在区间内是否存在实根，若存在，判断有几个实根。0)(xf)2,2(aa第 21 页 共 112 页 解：由，可知0a32ab aabaa 所以 aaaxxxfaaaxx23)(2333 即)2()()()2()(22axaxxfaxax所以，0)2(af0)(af0)(af0)2(af又因在闭区间上

39、连续，)(xf2,2aa所以由零点定理知，三次方程在内至少有三个实根，分别属于0)(xf)2,2(aa，),2(aa),(aa)2,(aa又因方程是三次方程，所以方程最多有 3 个实根0)(xf0)(xf故方程在内存在 3 个实根。0)(xf)2,2(aa第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、导数的定义一、导数的定义1.D解析：由极限存在分析可知 A.B.C 都正确；对于选项 D，若存在，再xxfxfx)()(lim0由在处连续，可推出，但是，不能说明存在，因此，)(xf0 x0)0(f0)0(f)0(f 选项 D 错误。2.A解析：由的导数定义可知，比较可得 A 正确。)(af ha

40、fhafafh3)()3(lim)(03.D解析：凑导数定义，hhfffhfhhfhfhh)()0()0()(lim)()(lim00=，可见选项 D 正确。)0(2)0()(lim)0()(lim00fhfhfhfhfhh4.，2121解析：由在处连续，可知)(xf1x0)1()(lim)(lim211fbabaxxfxx再由在处可导，可得，所以)(xf1x)1()1(ff，aaxxbaxxfxfxxx22lim1lim1)1()(lim121111lim1lnlim1)1()(lim111xxxxfxfxxx故，从而可求得，12 aab第 22 页 共 112 页5.1解析：由，所以1)3

41、(21)3()3(lim212)3()3(lim00fhfhfhfhfhh1)3()3(2lim0fhfhh6.1解析：，11lim)0()(lim)0(00 xexfxffxxx，故1sinlim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx1)0()0()0(fff7.讨论函数在处的连续性与可导性0,00,1arctan)(2xxxxxf0 x解：当时，是有界量，是无穷小量，0 xx1arctan2x)0(01arctanlim)(lim200fxxxfxx在处连续)(xf0 x又01arctanlim1arctanlim)0()(lim)0(0200 xxxxxxfxffxxx在处可导。

42、)(xf0 x8.分别讨论函数在，处的可导性|sin)(3xxxxf0 x1x1x解：0|lim|sinlim)0()(lim)0(30300 xxxxxxxfxffxxx在处可导)(xf0 x1|1|)1(|sinlim1)1()(lim)1(11xxxxxxfxffxx1sin2|)1(|sinlim1)1(|)1(|sinlim)1(11xxxxxxxxfxx 1sin2|)1(|sinlim1)1(|)1(|sinlim)1(11xxxxxxxxfxx在处不可导)(xf1x第 23 页 共 112 页1|1|)1(|sinlim1)1()(lim)1(11xxxxxxfxffxx ，1

43、sin21)1(|)1(|sinlim1)1()(lim)1(11xxxxxxfxffxx1sin21)1(|)1(|sinlim1)1()(lim)1(11xxxxxxfxffxx在处不可导。)(xf1x二、导函数的计算二、导函数的计算1.C解析：令，可得，即，tx 2ttf11)(xxf11)(，可见选项 C 正确。2)1(21)(xxxf2.C解析：令，可得，即得，所以选xtlntetf211)(xexf211)(222)1(2)(xxeexf项 C 正确。3.3125e解析：，)()()(ththfthfxexxf1)12()(31312521.5)0()3()0()0(eehfhhf

44、4.41解析：利用反函数导数与原函数导数的关系可知41112xydxdydydx5.4解析：利用反函数导数与原函数导数的关系可知4120 xydxdydydx6.9第 24 页 共 112 页解析：利用参数方程求导法，32313tttdtdxdtdydxdy33229)3(tdtdxtdxyd9122tdxyd7.!27327)27(y解析：高阶导数计算，!27327)27(y8.1)0()(32!)1(nnnnny解析：高阶导数，故1)()32(2!)1(nnnnxny1)0()(32!)1(nnnnny9.设，求xxylncos222dxyd解：，xxxxxxxxxdxdy22cosln2

45、sincoslncossin222222cos2sin2sinln2cos2)cosln2sin(xxxxxxxxxxxxdxyd22cos2sin2ln2cos2xxxxxx10.设，求xxxysec222)1(y解：对数求导法，两边取对数得：，两边同时对求导xxz22)1()1ln(2ln2xxzx数，得，所以；而22214)1ln(2xxxzz zxx22)1(14)1ln(2222xxx2lntansec2)2(secsecxxxx所以xxy22)1(14)1ln(2222xxx2lntansec2secxxx11.设，求242arcsinxxxyy解：)2()4(2121412arc

46、sin2122xxxxxy第 25 页 共 112 页2arcsin442arcsin22xxxxxx12.已知函数由方程所确定，求。)(xyy)cos(yxaeydxdy解：方程两边同时对求导数，)cos(yxaeyx)1)(sin(yyxayey)sin()sin(yxaeyxayy13.已知函数参数方程为，求)1ln(arctan2tyttx2|tdxdy解：，212ttdtdy2221111tttdtdxtttttdtdxdtdydxdy2112222故1222tttdxdy14.已知参数方程，求02cos3223ttyyttaxdxdy解：，方程两边同时对 求导，得ttadtdxsi

47、ncos3202322ttyytt，解得03224222ttyyyytty2222234ttytytydtdy故)sincos3)(22(342222ttattytytydtdxdtdydxdy15.求由方程所确定的隐函数的二阶导数。0sin21yyx解：方程两边同时对求导数，(*)0sin21yyxx0cos211yyy在(*)式两边同时对求导数，x0sin)(21cos212 yyyyy解得32)cos211(2sincos211sin)(21yyyyyy 第 26 页 共 112 页16.设，且已知，试求0,00,)()(xxxxgxf0)0()0(gg3)0(g)0(f 解：，因为，2

48、000)(lim)(lim)0()(lim)0(xxgxxfxfxffxxx0)0()0(gg3)0(g23)0(21)0()(lim212)(lim)(lim)0(0020 gxgxgxxgxxgfxxx三、微分三、微分1.B解析：利用微分和导数定义，xxfxfxxfdyyxx)()()(limlim00000，可见选项 B 正确。1)()()()(lim)(1000000 xfxfxxfxxfxfx2.B解析：xxxfxfxxfxdyyxx)()()(limlim00000，可见选项 B 正确。0)()()()()(lim000000 xfxfxfxxfxxfx3.B解析：求复合函数微分，

49、可以先求复合函数导数，xxfysin)(cos故，可见选项 B 正确。xdxxfdysin)(cos4.dx43解析：先求复合函数的导数，2)23(12)2323(xxxfy因此dxdxfdxydyx43)1(3)0(05.dxxxfxfxfedxydyxf)(ln)(ln)()(解析：，因此)()()(ln)(ln)(xfxfexxfxfxfeydxxxfxfxfedxydyxf)(ln)(ln)()(6.解析：利用微分的计算：dxydy第 27 页 共 112 页 291xdx31)3(arctan xddxex22)1(2xed dxxex2)21(2Cedxdxx2)13(1)1313

50、1(Cxd7.设是由方程所确定的隐函数，求)(xyy)ln()(2yxyxxydy解：方程：两边同时对求导数)ln()(2yxyxxyx，即所以yxyyxyxyy1)()ln()1(12yyxyy1)ln()1(12，故)ln(3)ln(2yxyxydxyxyxdxydy)ln(3)ln(2四、导数的应用四、导数的应用(1)(1)洛必达法则洛必达法则1.2.)1ln()2ln(limxxxxxxexxxlnlim211 xxxxxxxx112lnlim12lnlim2ln21lim11xxxexx3)1)(2(3lim1)1(321lim222xxxxxxxxx3.4.xxxxxsintanl