2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组a卷）.pdf

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1、12012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 3 分,共 80 分）1（3 分）算式 1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）得值为 2（3 分）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3（3 分）有两个体积之比为 5：8 的圆柱,它们的侧面的展开图为相同的长方形,如果把该长方形的长和宽同时增加 6其面积增加了 114那么这个长方形的面积 4（3 分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮

2、食,如果从甲粮库调 90 袋到乙粮库,则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的 2 倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍那么甲粮库原来最少存有 袋粮食5（3 分）现有 211 名同学和四种不同的巧克力每种巧克力的数量都超过 633 颗规定每名同学最多拿三颗巧克力,也可以不拿若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组,则人数最多的一组至少有 名同学6（3 分）张兵 1953 年出生,在今年之前的某一年,他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和那么这一年他 岁7（3 分）如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为 2按图所示数据,这个五棱柱的体积等于 28（3 分）在

3、乘法算式中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不同数字,那么所代表的四位数最小是 二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9如图 ABCD 是平行四边形,E 为 AB 延长线上一点,K 为 AD 延长线上一点连接 BK,DE 相交于一点 O,问：四边形 ADOB 与四边形 ECKO 的面积是否相等?请说明理由10能否用 500 个如图所示的 12 的小长方形形成一个 5200 的大长方形,使得 5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由11将一个 2n 位数的前 n 位数和后 n 位数各当成一个 n 位数如果这两个 n 位数之和的平方正好等于这个 2n 位数

4、则称这个 2n 位数为卡不列克（Kabulek）怪数,例如,（30+25）23025,所以 3025 是一个拉布列克怪数请问在四位数中有哪些卡不列克怪数?12已知 98 个互不相同的质数 p1,p2p98,记 Np+p+p,问：N 被 3 除的余数是多少3三、解答下列各题（每小题 0 分,共 30 分,要求写出详细过程）13小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步,两人同时同地出发,小华顺时针跑,每 72 秒跑一圈;小张逆时针跑,每 80 秒跑一圈在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间,那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒?14把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为 1 的

5、小立方体其中,两面有红色的小立方块有 40 块,一面有红色的小立方块有 66 块,那么这个长方体的体积是多少?42012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 3 分,共 80 分）1（3 分）算式 1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）得值为9.3【分析】1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）先去掉小括号变成 1010.55.214.69.25.25.43.7+4.61.5,利用乘法的分配律变成1010.55.2（14.69.2）5.43.7+4.61.5,再利用乘法的

6、分配律变成5.25.45.43.7+4.61.5,再次利用乘法的分配律进行简算【解答】解：1010.55.214.6（9.25.2+5.43.74.61.5）,1010.55.214.69.25.25.43.7+4.61.5,1010.55.2（14.69.2）5.43.7+4.61.5,1010.55.25.45.43.7+4.61.5,1010.55.4（5.23.7）+4.61.5,1010.55.41.5+4.61.5,1010.51.5（5.4+4.6）,1010.515,100.7,59.3故答案为：9.32（3 分）箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分

7、之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2【分析】我们设出设红球有 a 个,黑球 b 个,放入的黑红球都是 x 个根据“放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的三分之二若放入的黑球和红球数量相同”列出两个方程进行解答即可【解答】解：设红球有 a 个,黑球 b 个,放入的黑红球都是 x 个,x+a+b4a,x3ab,3a+3x2b+2x,x2b3a,把 x3ab 代入进行计算,3ab2b3a,3b6a,a：b1：2,6原来箱子里红球与黑球数量之比为 1：2故答案为：1：23（3 分）有

8、两个体积之比为 5：8 的圆柱,它们的侧面的展开图为相同的长方形,如果把该长方形的长和宽同时增加 6其面积增加了 114那么这个长方形的面积40【分析】侧面的展开图为相同的长方形,说明这个长方形是横着围成一个长方体,和竖着围成一个长方体,体积比为 5：8,如图,阴影部分的面积是 114,则（a+b）的和为（11466）613,根据体积比为 5：8 可知：,化简为,再化简为,而 a+b13,所以 a、b 分别为 8 和 5,而积为 5840,据此解答即可【解答】解：设长方形的长和宽分别为 a 和 b,则 a+b（11466）613,根据体积比为 5：8 可知：,7化简为,再化简为,而 a+b13

9、,所以 a、b 分别为 8 和 5,而积为 5840,答：这个长方形的面积为 40故答案为：404（3 分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食,如果从甲粮库调 90 袋到乙粮库,则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的 2 倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库,则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍那么甲粮库原来最少存有153袋粮食【分析】两个关系式为：（甲库存粮90）2乙库存粮+90;甲库存粮+若干袋粮（乙库存粮若干袋粮）6,进而得到相应的最小整数解即可【解答】解：设甲库原来存粮 a 袋,乙库原来存粮 b 袋,依题意可得 2（a90）b+90（1）;再设乙库调 c 袋到甲库,则甲库存粮是乙库的 6 倍,即 a+

10、c6（bc）（2）;由（1）式得 b2a270（3）,将（3）代入（2）,并整理得 11a7c1620,由于 ca232+8又 a、c 是正整数,从而有1,即 a148;并且 7 整除 4（a+1）,又因为 4 与 7 互质,所以 7 整除 a+1,a+1 最小为 154,则 a 最小是 153答：甲库原来最少存粮 153 袋故答案为：1535（3 分）现有 211 名同学和四种不同的巧克力每种巧克力的数量都超过 633 颗规定每名同学最多拿三颗巧克力,也可以不拿若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组,则人数最多的一组至少有7名同学【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况1,一个

11、不拿（1 种情况）;2,拿四种糖果中任意一个（4 种情况）;3拿两个,都是同种糖果（4 种情况）;4拿两个且不同的糖果,随机的（6 种情况）;5拿三个,都相同（4 种情况）;6拿三个,两个相同（12 种情况）;7拿三个都不同的糖果（4 种情况）;所以一个同学所取的不同种类共有 1+4+4+6+4+12+435 种情况;因为每一种糖都超过 633 颗,所以第五种情况能够出现,3211633,足够分所以其他六种情况也能够发生所以,要让最多的那组人数最少就是：2113561（余数 1）;即最多的一组最少为 6+17 人【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有 1+4+4+6+4+12

12、+435;这 35 种情况可以看做 35 个抽屉,2113561;所以 6+17（人）,答：人数最多的一组至少有 7 人故答案为：796（3 分）张兵 1953 年出生,在今年之前的某一年,他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和那么这一年他18岁【分析】根据题意,设那一年是 19AB 年,那么他这一年的年龄是 1900+10A+B1953 岁,也是 1+9+A+B 岁,又因为他的年龄是 9 的倍数,那么 1+9+A+B 是 9 的倍数,然后列出方程进一步解答即可【解答】解：设那一年是 19AB 年;根据题意可得：1900+10A+B19531+9+A+B,10A+B5310+A+B,

13、9A63,A7;因为他的年龄是 9 的倍数,那么 1+9+A+B 是 9 的倍数;1+9+7+B17+B 是 9 的倍数;那么 B1 时,17+118 是 9 的倍数;所以,在 1971 年,他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和;这一年他的年龄是：1971195318（岁）答：这一年他 18 岁故答案为：187（3 分）如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为 2按图所示数据,这个五棱柱的体积等于710【分析】如图,两个五边形是折成的五棱柱的底,其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积,正方形的边长是 2,三角形的底和高都是 1,据此可求出这个五边形的面积,也就是五棱柱

14、的底面积,五棱柱的高是 2,根据直棱的体积底面积高,即可求出这个五棱柱的体积【解答】解：（2211）2（40.5）23.527;故答案为：78（3 分）在乘法算式中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不同数字,那么所代表的四位数最小是4396【分析】根据题意,由整数乘法的计算方法进行推算即可【解答】解：有 9 个汉字,没有 0,所以 9 个汉字对应 19,9 个数字;要求最小,那么“花”和“草”我们只能取 1 和 2;根据两个数和一定,差越小积越大,我们选择“花”为 1,“草”是 2;“春”字只能取 3 或者 4;,中,个位的三个数字,至少有 2 个是 5、6、7、8、9 这五个人11数字中的 2

15、 个;一个数与 5 相乘的末尾不是 0 就是 5,因此不能有 5;又因为 6742,个位是 2,有重复不可以;依次判断,只能是 6954,或者 7856,或者 7963;当是 7856 时,有 281574396,这时最小故答案为：4396二、解答下列各题（每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程）9如图 ABCD 是平行四边形,E 为 AB 延长线上一点,K 为 AD 延长线上一点连接 BK,DE 相交于一点 O,问：四边形 ADOB 与四边形 ECKO 的面积是否相等?请说明理由【分析】如图,连结 AC,根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知DCE 的面积等于DCA 的面积,AK

16、C 的面积等于AKB 的面积,四边形 ECKO 的面积+ODK 的面积四边形 EDKC 的面积DCE 的面积+DCK 的面积ADC 的面积+CD 的面积 KACK的面积,又由四边形 ABOD 的面积+ODK 的面积四边形 ECKO 的面积+ODK 的面积,从而得出四边形 ADOB 与四边形 ECKO 的面积相等【解答】解：如图,12连结 AC因为 ABCD,所以 SDCESDCA（同底等高）S 四边形 ABOD+SODKSABK,S 四边形 ECKO+SODKS 四边形 EDKCSDCE+SDCKSADC+SCDKSACK,又因为 DCAB,所以AKCSAKB所以 S 四边形 ABOD+SOD

17、KS 四边形 ECKO+SODK即 S 四边形 ABODS 四边形 ECKO;故答案为：相等10能否用 500 个如图所示的 12 的小长方形形成一个 5200 的大长方形,使得 5200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由【分析】500 个小长方形就有 500 个小星星,500 个星星平均分成 5 行,每行就有 100 个,是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的 100 个平均分给 50 列,每列分 2 个,这50 列每列就是 2+24（个）,剩下的 150 列每列是 2 个,都是偶数,由此可解【解答】解：可以使 5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星,因为

18、;500 个小长方形就有 500 个小星星,5005100（个）,13每行 100 个是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的 100 个平均分给 50 列,每列分 2 个,这 50 列每列就是 2+24（个）,剩下的150 列每列是 2 个,都是偶数;所以可以使 5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星11将一个 2n 位数的前 n 位数和后 n 位数各当成一个 n 位数如果这两个 n 位数之和的平方正好等于这个 2n 位数则称这个 2n 位数为卡不列克（Kabulek）怪数,例如,（30+25）23025,所以 3025 是一个拉布列克怪数请问在四位数中有哪些卡不列克怪数

19、?【分析】设该数的前两位为 x,后两位为 y于是有（x+y）2100 x+yx+y+99x,即：（x+y）（x+y1）99x,从而看出 x+y 与 x+y1 中有一个是 9 的倍数,另一个是 11 的倍数（当然依照位数不同,也可能是别的因数）,从而找出满足条件的三个数：45,55 和 99,然后求出它们的平方数即可【解答】解：设该数的前两位为 x,后两位为 y于是有（x+y）2100 x+yx+y+99x,即：（x+y）（x+y1）99x,从而看出 x+y 与 x+y1 中有一个是 9 的倍数,另一个是 11 的倍数（当然依照位数不同,也可能是别的因数）,可以找出满足条件的三个数：45,55

20、和 99,平方得 2025,3025,9801;即符合：（20+25）22025;（30+25）23025;14（98+1）29801;答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025,3025,980112已知 98 个互不相同的质数 p1,p2p98,记 Np+p+p,问：N 被 3 除的余数是多少【分析】除 3 外,因为质数被 3 除的余数为 1 或 2,质数的平方除以 3,余数只能是 1,（2的平方除以 3 余 1）,然后分是否含有质数 3 讨论【解答】解：（1）这些质数中不含质数 3,所以该数平方后被 3 除的余数就是 1,所以 N 被 3 除的余数就是 98 被 3 除的余数,是 2;（2

21、）如果有 3,那么剩下 97 个除以 3 余 13 的平方除以 3 余数是 0,那么 N 除以 3 的余数 1答：N 被 3 除的余数是 1 或 2三、解答下列各题（每小题 0 分,共 30 分,要求写出详细过程）13小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步,两人同时同地出发,小华顺时针跑,每 72 秒跑一圈;小张逆时针跑,每 80 秒跑一圈在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间,那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒?【分析】如果第一次小李速度出划定区域用时为9,小张速度出划定区域用时10,10 大于 9,所以为 9 秒;第二次：小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间15（1+2）8

22、1（秒）;小张入区域用时（12）70（秒）,出区域用时（1+2）90（秒）,他们在划定区域时间范围 7081 延续时间为 11 秒;第三次：小华 135153,小张 150170 范围 150153 时间为 3 秒;小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间（1+2）81（秒）;816318（秒）;其他类似情况可的同样结果【解答】解：小华出划定区域用时为（2）9,小张出划定区域用时（2）10,109,所以为 9 秒;80（12）,80,70（秒）;1672（1+2）,72,81（秒）;817011（秒）;第三次：小华 135153,小张 150170 范围 150153 时间为 3 秒;

23、小华入划定区域用时（12）63（秒）,出区域时间（1+2）81（秒）;816318（秒）;综上：答案为：3,9,11,18答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为 3,9,11,18 秒14把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为 1 的小立方体其中,两面有红色的小立方块有 40 块,一面有红色的小立方块有 66 块,那么这个长方体的体积是多少?【分析】两面有红色的小立方块处在棱上,一面有红色的小立方块处在 8 个顶点上,设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体 x、y、z 块,根据题意可得,同一个顶点上的三条棱上两面有红色的小立方体的块数和是：x+y+z40410,;同

24、一个顶点上的三个面上一面有红色的小立方体的块数和是：xy+xz+yz66233,;然后联立等式可得：由和可得,x2+y2+z210223334,并且 x、y、z5,然后分17x1、2、3、4、5,分组讨论即可【解答】解：设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体 x、y、z 块,根据题意可得x+y+z40410,xy+xz+yz66233,由和可得,x2+y2+z210223334,并且 x、y、z5,由可得,（x+y）（x+z）x2+33,若 x1,（1+y）（1+z）12+33217134,那么 x 和 y 是：211,17116,或 110,34133,都不合 x、y、z5,舍去;同理

25、,若 x2,（2+y）（2+z）22+33137,那么 x 和 y 是：121,37235,不合 x、y、z5,舍去;若 x3,（3+y）（3+z）32+33426731414221,显然,314 和 142都不合要求,那么 x 和 y 是：633,734,符合 x、y、z5;若 x4,（4+y）（4+z）42+334977,那么 x 和 y 是：743,743,符合x、y、z5;并且和上一种情况是同一种情况,若 x5,（5+y）（5+z）52+3358158,显然,那么 x 和 y 是：154,58554,不符合 x、y、z5;所以,长方体的长、宽、高是：4+26,3+25,3+25,所以,体积是：655150;18答：这个长方体的体积是 150